Potential

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Das Potential oder auch Potenzial (lat.: potentialis, von potentia Macht, Kraft, Leistung) kennzeichnet die einem System oder einer Person innewohnende Fähigkeit, Macht, Kraft zur Verrichtung einer Aufgabe.

Das Potential in der Physik

In der Physik ist das Potential die Fähigkeit eines Feldes, eine Arbeit zu verrichten, unabhängig von den beteiligten Körpern.

In diesem Zusammenhang wird das Potential häufig durch den Buchstaben $\phi\!$ bezeichnet.

$U\!$ verwendet man meistens für eine Potentialdifferenz (Spannung):

U = \Delta \phi = \; \phi_2-\phi_1\!

Das Potential beschreibt die Wirkung des Feldes auf Massen, Ladungen, etc. unabhängig von den Massen, Ladungen, etc. selbst.

Das Kraftfeld erhält man durch partielle Ableitung des Potentials nach dem Ort (Position), also sozusagen aus dem Gefälle des Potentials:

\vec G = -\mbox{grad}\,\phi = -\vec{\nabla}\,\phi = -\partial\,\phi/\partial\vec r.

Die Ableitung nach

\vec r

bei der Bildung des Gradienten

\vec{\nabla}\phi

von

\phi\!

symbolisiert dabei eine Ableitung nach allen Komponenten (Koordinaten) von

\vec r

. Im eindimensionalen Fall ist der Gradient die gewöhnliche Ableitung.

Die tatsächlich wirkende Kraft hängt von der Masse, Ladung, etc. ab. Man erhält sie aus:

\vec F=m \cdot \vec G.

Energie und Potential

Energie und Potential werden oft nicht genau unterschieden, da sie beide ihre Ursache im Kraftfeld haben.

Das Potential ist eine dem Kraftfeld äquivalente Felddarstellung.

Der oben erwähnte Zusammenhang ermöglicht es, das im Allgemeinen dreidimensionale Kraft-Vektorfeld mit Hilfe von Skalaren darzustellen, ohne dass dabei Informationen über das Feld verloren gehen. Das führt zur Vereinfachung vieler Rechnungen. Allerdings ist der Rückschluss auf den das Feld verursachenden Körper nicht mehr eindeutig. So hat z.B. eine homogene Vollkugel das gleiche Gravitationspotential wie eine Punktmasse (zumindest außerhalb der Vollkugel).

Die Energie ist aus physikalischer Sicht die Fähigkeit eines Körpers, Arbeit zu verrichten.

Das Potential dient zur Beschreibung der Fähigkeit eines Feldes, einen Körper Arbeit verrichten zu lassen.

Eine Potentialdifferenz ist also ein körperunabhängiges Maß für die Stärke eines Feldes.

Der Zusammenhang zwischen Energie und Potential ist:

$E=m \cdot \phi.$

Beispiel: Gravitationspotential und Schwerefeld

Die Kraft zwischen zwei Massen ist

F = \gamma\,\frac{m_1 m_2}{r^2}

wobei

\gamma = 6{,}6742 \cdot 10^{-11}\;\frac{\rm m^3}{\rm kg\,s^2}

die Gravitationskonstante (die oft auch mit

G\!

bezeichnet wird) und r der Abstand der beiden Massen m₁ und m₂ zueinander sind.

Für die Erde und einen Körper der Masse $m$ gilt mit $r = r_E + h$ :

F = m \cdot \gamma \frac{M_E}{r^2} = m \cdot \gamma \frac{M_E}{(r_E + h)^2}

mit

M_E

: Masse der Erde,

r_E

: Radius der Erde und

h

: Höhe der Masse

m

über der Erdoberfläche.

Man nennt $g = \gamma \frac{M_E}{r^2}$ das Schwerefeld der Erde. Mit Hilfe des Schwerefeldes kann man leicht die Schwerkraft $F_g\!$ auf Körper ermitteln:

$F_g = m \cdot g$

Das Schwerefeld kann für geringe Höhen über der Erdoberfläche als konstant angesehen werden, da die Höhe $h$ dann klein gegenüber dem Erdradius ist und für den Abstand zwischen Masse $m$ und dem Erdmittelpunkt gilt: $r \approx r_E$ . Man spricht dann auch von der Erdbeschleunigung $g = 9,81 m/s^2$ .

Das Potential P berechnet sich aus dem Zusammenhang: $\vec G = -\mbox{grad}\,\phi$ . Im Eindimensionalen vereinfacht sich das zu $g = -\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}r}.$

Damit ergibt sich das Potential der Erde:

$P = -\int g\, \mathrm{d}r = -\int \gamma \frac{M_E}{r^2}\, \mathrm{d}r=\gamma \frac{M_E}{r}.$

Die Energie einer Masse m in der Höhe h über der Erdoberfläche ist:

$E=m \cdot P(h + r_{\rm E}).$

Anschauliche Erklärung

Das Gravitations- und das elektrische Potential lassen sich gut mit einem Wasserlauf vergleichen. Zwischen der Quelle des Wassers auf einem Berg (Punkt mit höherem Potential) und der Mündung im Meer (Punkt mit niedrigerem Potential) gibt es einen Höhenunterschied (Potentialdifferenz, Spannung). Das Wasser fließt bergab (vom Berg zum Meer) - es folgt dem Gefälle und damit der Schwerkraft. Ebenso fließen im Leiter die Ladungsträger, die den elektrischen Strom bilden, vom Punkt mit dem höheren Potential zum Punkt mit dem niedrigeren Potential.

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