In der Komplexitätstheorie bezeichnet man ein Problem als in Polynomialzeit lösbar, wenn die benötigte Rechenzeit m mit der Problemgröße n nicht stärker als mit einer Polynomfunktion wächst. Die besondere Bedeutung der Polynomialzeit besteht darin, dass man sie als eine Grenze zwischen praktisch lösbaren und praktisch nicht lösbaren Problemen betrachtet. Der Aufwand für Probleme, die nicht in Polynomialzeit lösbar sind, explodiert derart schnell, dass sie schon für geringe Problemgrößen praktisch als unlösbar gelten müssen.

Ob ein gegebenes Problem in Polynomialzeit lösbar ist, ist nicht von vornherein klar. So wurde erst 2002 von Agrawal, Kayal und Saxena ein Algorithmus (AKS-Primzahltest) angegeben, der in polynomialer Zeit entscheidet, ob eine vorgegebene natürliche Zahl eine Primzahl ist oder nicht. Das natürliche Verfahren, einfach alle möglichen Teiler durchzuprobieren, ist nicht polynomial.

Formale Definition

---

Ein Problem wird in polynomialer Zeit lösbar genannt, wenn es von einem Algorithmus gelöst wird, dessen benötigte Rechenzeit $m$ (z. B. gemessen als Anzahl von Bitoperationen eines passenden Algorithmus auf einer Turing-Maschine) höchstens polynomial mit der Größe der Eingabe $n$ des Problems (z. B. gemessen in Anzahl Bits) wächst, d. h. es gibt eine natürliche Zahl $k\backslash geq\; 1$ mit $m(n)\; =\backslash hbox\{O\}(n^k)$ gemäß der Landau-Notation.

Polynomieller Algorithmus - ein Beispiel

---

Ein einfaches Verfahren zum Sortieren eines Arrays ist das fortwährende Finden und Löschen des Größten der vorhandenen Elemente. Der Aufwand dieses Verfahrens ist quadratisch, weil für jedes Element der Eingabe maximal alle anderen Elemente einmal betrachtet werden müssen. Da eine quadratische Abhängigkeit von der Eingabe auch polynomiell ist, handelt es sich um einen polynomiellen Algorithmus.

Superpolynomialzeit

---

Probleme, deren Berechnungszeit mit der Problemgröße stärker als mit einer Polynomfunktion wächst, heißen in Superpolynomialzeit lösbar; ein Beispiel dafür ist exponentielle Zeit, also $m(n)\; =\; \backslash Omega(c^n)$ mit $c>1$ konstant.

Bezug zu den Komplexitätsklassen

---

Die Klasse aller Probleme, die sich auf einer deterministischen sequentiellen Maschine in Polynomialzeit lösen lassen, wird als P (von polynomial) bezeichnet. Die Klasse aller Probleme, die sich von einer (hypothetischen) nichtdeterministischen Maschine in Polynomialzeit lösen lassen, wird als NP (von nondeterministic-polynomial time) bezeichnet. Es ist klar, dass $P\; \backslash subseteq\; NP$, also P eine Teilmenge von NP ist. Eine bis heute unbewiesene Vermutung ist, dass beide Klassen echt verschieden sind, dass also $P\; \backslash subsetneq\; NP$ gilt. Diese Frage wird P/NP-Problem genannt und gilt als wichtigstes offenes Problem der Theoretischen Informatik.

Kritik

---

Die Polynomialzeit wurde bereits in den 1970er Jahren als Grenze zwischen den praktisch lösbaren und den praktisch unlösbaren Problemen angesehen. Diese Abgrenzung ist allerdings für die Praxis nicht trennscharf. Einerseits gibt es auch Methoden mit exponentieller worst-case Laufzeit, die in der Praxis einsetzbar sind; ein Beispiel hierfür ist der Simplex-Algorithmus. Andererseits wachsen Polynome höheren Grades bereits so schnell, dass viele in Polynomialzeit ablaufende Algorithmen für praktisch vorhandene Problemgrößen dennoch nicht mehr handhabbar sind.

Es sprechen jedoch eine Reihe von Gründen für die Beibehaltung der Polynomialzeit als „Grenze der Machbarkeit“. Insbesondere hat sich herausgestellt, dass eine Vielzahl von Problemen, die lange Zeit nur mit schlechtem (hochgradigem) polynomiellen Aufwand lösbar waren, jeweils recht bald auch mit niedrigem polynomiellem Aufwand (etwa vom Grad 2 oder 3) gelöst werden konnten.

Komplexitätstheorie

Polynomial time | Tiempo polinómico | זמן ריצה פולינומיאלי | 多項式時間 | 다항 시간 | Algorytm wielomianowy