Polynom

In der Mathematik ist ein Polynom eine Summe von Vielfachen von Potenzen einer Variablen x. In der elementaren Algebra identifiziert man diese formale Summe mit einer Funktion in x (einer Polynomfunktion), in der abstrakten Algebra unterscheidet man streng zwischen diesen beiden Begriffen. Polynomialdeg5.png

Polynome in der elementaren Algebra

Definition

In der elementaren Algebra ist eine Polynomfunktion oder kurz Polynom eine Funktion P(x) der Form

P(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_2x^2 + a_1x + a_0

wobei als Definitionsbereich für die Variable x jeder beliebige Ring in Frage kommt, z.B. ein Körper oder ein Restklassenring. Meist werden aber die reellen oder die komplexen Zahlen genommen; man spricht dann auch kurz von reellen bzw. komplexen Polynomen.

Die a_i stammen aus dem Definitionsbereich und werden Koeffizienten genannt. Als Grad des Polynoms wird der höchste Exponent n bezeichnet, für den der Koeffizient $a_n$ des Monoms $a_n x^n$ nicht null ist. Dieser Koeffizient heißt Leitkoeffizient. Die übliche Schreibweise $\deg f$ für den Grad des Polynoms $f$ ist vom englischen Begriff degree abgeleitet. Für das Nullpolynom wird der Grad als $-\infty$ definiert. Ist der Leitkoeffizient 1, dann heißt das Polynom normiert. Der Koeffizient a₀ heißt Absolutglied. Beispielsweise ist 2x³ - 7x² + x + 5 ein Polynom vom Grad 3 mit Leitkoeffizient 2 und Absolutglied 5.

Polynome des Grades

0 werden konstante Funktionen genannt (z. B. P(x) = -1).
1 werden lineare Funktionen genannt (z. B. P(x) = 3x + 5).
2 werden quadratische Funktionen genannt (z. B. P(x) = 3x² - 4x + 2).
3 werden kubische Funktionen genannt (z. B. P(x) = 4x³ - 2x² + 7x - 2).

Eigenschaften

Polynome sind von besonderer Bedeutung, weil sie eine einfache Funktionenfamilie bilden, die insbesondere leicht zu differenzieren und integrieren sind. Die Ableitung eines Polynoms

a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_nx^n

ist das Polynom

a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + \ldots + na_nx^{n-1}.

Es gibt viele Möglichkeiten, komplexere Funktionen durch Polynome anzunähern (siehe z. B. Taylor-Formel, Polynominterpolation, Approximationssatz von Weierstraß).

Polynome wachsen als Summe von Potenzen langsamer als jede exponentielle Funktion, unabhängig von den Koeffizienten.

Reelle Polynome ungeraden Grades haben die ganze Zahlenachse $\R$ als Wertebereich, d.h. sie sind surjektiv.

Reelle Polynome geraden Grades haben einen Wertebereich von

\left

bzw.

\left-\infty,\,y_{max}\right" target="_blank" >

^*, je nachdem, ob der Leitkoeffizient

a_n

positiv oder negativ ist.

Für den Grad von Polynomen $f, g$ gelten die Gradabschätzungen

\deg(f+g) \le \max(\deg f, \deg g)

und für reelle Polynome oder allgemein für Polynome über einem Integritätsbereich

\deg(f\cdot g) = \deg f + \deg g.

Für allgemeinere Ringe gilt auch in der letzten Beziehung lediglich

\leq

Mit dem Horner-Schema kann die Auswertung $f(a)$ eines Polynoms an einer bestimmten Stelle $a$ effizient vorgenommen werden.

Nullstellen

Allgemeine Eigenschaften

Als Nullstellen oder Wurzeln eines Polynoms werden jene Werte von x bezeichnet, für die der Funktionswert

P(x)

null ist. Sie sind also die Lösungen der Gleichung

P(x) = 0

. Ein Polynom über einem Körper (oder allgemeiner einem Integritätsbereich) hat stets höchstens so viele Nullstellen, wie sein Grad angibt.

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass ein komplexes Polynom vom Grad n genau n komplexe Nullstellen hat; dabei müssen Nullstellen entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt werden, beispielsweise hat das Polynom $(x-2)^2$ eine doppelte Nullstelle bei $x=2$ . Polynome lassen sich mit Hilfe des Wurzelsatzes von Vietá in ein Produkt von Linearfaktoren zerlegen.

Die Nullstellen von Polynomen ersten, zweiten, dritten und vierten Grades lassen sich mit Formeln exakt berechnen (z. B. pq-Formel), dagegen lassen sich Polynome höheren Grades nur in Spezialfällen exakt faktorisieren.

Polynome ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten haben immer mindestens eine reelle Nullstelle.

Nullstellenschranken

Die Lage aller Nullstellen eines Polynoms vom Grad n lässt sich durch Nullstellenschranken, in deren Berechnung nur die Koeffizienten und der Grad des Polynoms eingehen, abschätzen. Wir definieren hier kurz speziell reelle Nullstellenschranken für reelle Polynome: Eine Zahl

B\in\R_+

heißt reelle Nullstellenschranke des Polynoms

f\in\R wenn alle reellen Nullstellen von

f im Intervall

[-B,B

liegen; sie heißt obere reelle Nullstellenschranke von f, wenn alle reellen Nullstellen von f kleiner oder gleich B sind. Analog sind untere Nullstellenschranken erklärt. Für viele reelle Nullstellenschranken spielt die Teilindexmenge

N=\{k\in\{0,1,\dots,n\}\mid a_k < 0\}

der echt negativen Koeffizienten von

f

eine besondere Rolle. Beispiele reeller Nullstellenschranken für normierte Polynome

f = X^n+\sum_{i=0}^{n-1}a_i X^i

sind:

$\max\left\{\big(|N|\cdot |a_i|\big)^{1\over n-i}\mid i\in N\right\}$ ist eine obere reelle Nullstellenschranke (Cauchy-Regel),
$\min\{x\in\R: f^{(i)}(x)\geq 0\ \mathrm{f\ddot ur\ alle}\ i=0,\ldots,n\}$ ist eine obere reelle Nullstellenschranke (Newton-Regel);
die beiden Lösungen der folgenden quadratischen Gleichung bilden ein Paar aus einer unteren und einer oberen reellen Nullstellenschranke:

n \cdot x^2 + 2 \cdot a_{n-1} \cdot x + 2 \cdot (n-1) \cdot a_{n-2} - (n-2) \cdot a_{n-1}^2 = 0

Jedes B\in\R_+, das die Ungleichung B^n\geq \sum_{i=0}^{n-1}|a_i|B^i erfüllt, ist eine reelle Nullstellenschranke (das so definierte B ist sogar eine komplexe Nullstellenschranke für komplexe Polynome). Spezialfälle hiervon sind
- $1 + \max_{i=0}^{n-1} |a_i|$ und
- $\max\left(1, \sum_{i=0}^{n-1}|a_i|\right)$ .
Jedes B\in\R_+, das die Ungleichung B^n\geq \sum_{i\in N}|a_i|B^i erfüllt, ist eine obere reelle Nullstellenschranke. Spezialfälle hiervon sind
- $1 + \max_{i\in N} |a_i|$ ,
- $\max\left(1, \sum_{i\in N}|a_i|\right)$ .

Lösungsformeln

Prinzipiell gibt es mehrere Möglichkeiten, die Nullstellen eines Polynoms zu bestimmen:

Allgemeine Iterationsverfahren, wie das Newton-Verfahren und die Regula Falsi oder auf Polynome spezialisierte Iterationsverfahren, wie das Bairstow-Verfahren sind einerseits auf jedes Polynom anwendbar, verlieren allerdings bei mehrfachen oder dicht beieinanderliegenden Nullstellen an Genauigkeit und Konvergenzgeschwindigkeit.
Für quadratische Gleichungen, kubische Gleichungen und biquadratische Gleichungen gibt es allgemeine Lösungsformeln.

Für Polynome höheren Grades gibt es Lösungsformeln, sofern diese spezielle Formen haben:

Reziproke Polynome haben die Form

f(x) = c_0 \cdot x^n + c_1 \cdot x^{n-1} + ... + c_1 \cdot x + c_0

d.h. für den

i

-ten Koeffizienten gilt

c_i = c_{n-i} \,

; anders gesagt: die Koeffizienten sind symmetrisch. Für diese Polynome und solche, die eine leichte Modifikation dieser Symmetriebedingung erfüllen, kann die Nullstellenbestimmung mithilfe der Substitution

z = x+1/x

(bzw.

z=x-1/x

) auf eine Polynomgleichung reduziert werden, deren Grad halb so groß ist. Für Details siehe reziprokes Polynom.

Binome haben die Form $f(x) = x^n + c\,$

Setzen wir c als reell voraus, so sind die n Lösungen Vielfache der komplexen n-ten Einheitswurzeln:

x_k = \sqrt

^*{\vert c \vert } \cdot \exp\left({2k\pi\mathrm{i}\over n}\right), \quad c < 0

x_k = \sqrt

^*{c} \cdot \exp\left({(2k+1)\pi\mathrm{i}\over n}\right), \quad c \geq 0 ,

wobei

k=0,\dots, n-1

durchläuft.

Polynome, die nur gerade Potenzen von x enthalten, haben die Form:

f(x) = c_n \cdot x^n + c_{n-2} \cdot x^{n-2} + c_{n-4} \cdot x^{n-4} + ... + c_4 \cdot x^4 + c_2 \cdot x^2 + c_0

Die Lösung erfolgt durch die Substitution

z = x^2 \,

. Hat man eine Lösung für

z_1

gefunden, so ist zu berücksichtigen, dass daraus zwei Lösungen für x abzuleiten sind:

x_1 = \sqrt{z_1}

und

x_2 = - \sqrt{z_1}

Polynome, die nur ungerade Potenzen von x enthalten, haben die Form:

f(x) = c_n \cdot x^n + c_{n-2} \cdot x^{n-2} + ... + c_5 \cdot x^5 + c_3 \cdot x^3 + c_1 \cdot x

Hier ist offensichtlich 0 eine Nullstelle des Polynoms. Man dividiert das Polynom durch x aus und behandelt es dann wie ein Polynom (n-1)-ten Grades, welches nur gerade Potenzen von x enthält

Polynome in der Linearen Algebra

In der Linearen Algebra ist die Veranschaulichung eines Vektorraums (genauer: von dessen Vektoren) nicht immer durch geometrische Musterdarstellungen offensichtlich. Ein Beispiel dafür stellt die Menge aller reellen Polynomfunktionen beliebigen aber endlichen Grades dar, welche zusammen mit den bekannten Operationen - Addition und Multiplikation - über dem Körper der reellen Zahlen einen Vektorraum bildet. D.h. ein Polynom kann als Vektor des obigen Vektorraumes aufgefasst werden.

Polynome in der abstrakten Algebra

Definition

In der abstrakten Algebra ist ein Polynom eine formale Summe der Form

f = a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \cdots + a_1 X + a_0,

wobei die Koeffizienten a_i aus einem Ring R stammen und X ein formales Symbol ist.

Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn sie in allen Koeffizienten übereinstimmen. Polynome werden koeffizientenweise addiert und die Multiplikation ergibt sich mit dem Distributivgesetz aus den Regeln

X · a = a · X für a aus R

X^m · Xⁿ = X^m+n für natürliche Zahlen m,n.

Als Produkt ergibt sich aus der Cauchy-Produktformel :

\Big(\sum_{i=0}^n a_ix^i\Big)\cdot\Big(\sum_{k=0}^m b_kx^k\Big)= \sum_{i=0}^{n+m}\Big(\sum_{k=0}^i a_k b_{i-k}\Big)  x^i

Stellt man Polynome durch die Folge ihrer Koeffizienten dar, dann ist das Produkt zweier Polynome die Faltung ihrer Koeffizientenfolgen.

Polynomfunktion

Indem man an Stelle von $X$ ein Element $x$ des Rings $R$ einsetzt, erhält man ein Element $f(x)$ von $R$ als Bild. Diese Zuordnung $x\mapsto f(x)$ ist eine Funktion von $R$ nach $R$ , die von $f$ induzierte Funktion, eine Polynomfunktion.

In den Formeln wird dieser Unterschied nicht deutlich; meist schreibt man jedoch Unbestimmte als Großbuchstaben und Ringelemente als Kleinbuchstaben.

Die Unterscheidung ist jedoch wichtig, weil verschiedene Polynome dieselbe Polynomfunktion induzieren können. Ist beispielsweise $R$ der Restklassenring $\mathbb Z/3\mathbb Z$ , so induzieren die beiden Polynome

f(X)=X(X-\bar1)(X-\bar2)=X^3-\bar3X^2+\bar2X=X^3-X

und

g(X)=0

beide die Nullfunktion

f(x)=g(x)=0

für alle

x\in\mathbb Z/3\mathbb Z=\{\bar0,\bar1,\bar2\}

Für Polynome über den reellen oder ganzen Zahlen oder allgemein jedem unendlichen Integritätsbereich ist ein Polynom jedoch durch die induzierte Polynomfunktion bestimmt.

Polynomring

Die Menge aller Polynome mit Koeffizienten in einem Ring R und der Unbestimmten X bezeichnet man als R^*. Sie ist mit der oben angegebenen Addition und Multiplikation ein Ring, der so genannte Polynomring über R .

Auch die Menge der Polynomfunktionen über dem Ring R bildet einen Ring, der jedoch nur selten betrachtet wird. Es gibt einen natürlichen Ring-Homomorphismus von R^* in den Ring der Polynomfunktionen, dessen Kern die Menge der Polynome ist, die die Nullfunktion induzieren.

Für weitere Informationen siehe den Artikel Polynomring.

Verallgemeinerung

Allgemein versteht man jede Summe von Monomen der Form $a_{i_1,\ldots,i_n}X_1^{i_1}\cdots X_n^{i_n}$ als Polynom:

P(X_1, \ldots, X_n) = \sum_{i_1,\ldots,i_n}a_{i_1,\ldots,i_n}X_1^{i_1}\cdots X_n^{i_n}

Auch die Polynome in den n Unbestimmten X₁ bis X_n über dem Ring R bilden einen Polynomring, geschrieben als

R \ldots, X_n

Die Größe $i_1+\ldots+i_n$ heißt der Totalgrad eines Monoms $X_1^{i_1}\cdots X_n^{i_n}$ . Haben alle (nichtverschwindenden) Monome in einem Polynom denselben Totalgrad, so heißt es homogen.

Sind alle Unbestimmten in gewisser Weise „gleichberechtigt“, so heißt das Polynom symmetrisch.

Geht man zu unendlichen Reihen der Form

f = \sum_{i=0}^\infty a_i X^i

über, erhält man formale Potenzreihen.

Lässt man auch negative Exponenten zu:

f = \sum_{i=-N}^\infty a_i X^i

dann erhält man formale Laurentreihen.

Siehe auch

Algebra | Analysis

Gourt Home::Gourt :: Polynom

Polynome in der elementaren Algebra

Definition

Eigenschaften

Nullstellen

Allgemeine Eigenschaften

Nullstellenschranken

Lösungsformeln

Polynome in der Linearen Algebra

Polynome in der abstrakten Algebra

Definition

Polynomfunktion

Polynomring

Verallgemeinerung

Siehe auch