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einfaches, nicht überschlagenes, planares, konvexes, regelmäßiges Siebeneck

Ein Polygon (v. griech.: polys = viel + gonos = Winkel) oder auch Vieleck ist ein Begriff aus der Geometrie und dabei insbesondere der Planimetrie. Einfach gesagt erhält man ein Polygon, indem man mindestens drei voneinander verschiedene Punkte in einer Zeichenebene durch Strecken so miteinander verbindet, dass eine geschlossene Figur entsteht. Dreiecke, Vierecke und Sechsecke sind aus dem Alltag bekannte Beispiele für Polygone.

Mathematische Definition

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Ein Polygon ist eine geschlossene Figur, die durch ein Tupel $P\; :=\; \backslash left(\; P\_1,\; P\_2,\; \backslash ldots\; ,\; P\_n\; \backslash right),\; P\_i\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}^m,\; 1\; \backslash le\; i\; \backslash le\; n$ von $n$ Punkten (die Eckpunkte oder kurz Ecken genannt werden) eindeutig definiert wird.

Die Strecken $\backslash overline\; \{P\_i\; P\_\{i+1\}\}\; \backslash left(i=1,\; \backslash ldots,\; n-1\; \backslash right)$ und $\backslash overline\; \{\; P\_n\; P\_1\; \}$ bezeichnet man als Seiten oder Kanten des Polygons, alle anderen Verbindungsstrecken $\backslash overline\; \{\; P\_i\; P\_j\; \}$ zweier Polygon-Eckpunkte als Diagonalen.

Meist werden noch weitere Bedingungen vorausgesetzt:

• Das Polygon hat mindestens drei paarweise voneinander verschiedene Eckpunkte.
• Die Kanten schneiden (berühren) einander nur in den Eckpunkten. Andernfalls bezeichnet man das Polygon auch als überschlagen.
• Drei angrenzende Eckpunkte liegen nicht auf einer Geraden. Auch $P\_n,P\_1,P\_2$ und $P\_\{n-1\},P\_n,P\_1$ gelten als angrenzende Eckpunkte.
• Falls der Schnitt zweier Kanten entweder leer oder eine Ecke ist, und jede Ecke zu höchsten zwei Kanten gehört (das heißt, es liegt keine Selbstüberschneidung vor), bezeichnet man das Polygon als einfach.

In einigen Fällen wird die Kante $\backslash overline\; \{\; P\_n\; P\_1\; \}$ nicht mitgezählt und das Polygon als offen bezeichnet, falls $P\_n\; \backslash ne\; P\_1$ ist.

Mathematische Beziehungen

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Innenwinkel

In einem nicht überschlagenen, ebenen, konvexen $n$-Eck ist die Summe der Innenwinkel

$\backslash alpha\_1+...+\backslash alpha\_n\; =\; (n\; -\; 2)\; \backslash cdot\; 180^\backslash circ$.

Sind darüber hinaus alle Innenwinkel gleich groß, so haben diese den Wert

$\backslash alpha\; =\; \backslash frac\{(n\; -\; 2)\}\{n\}\; \backslash cdot\; 180^\backslash circ$.

Anzahl der Diagonalen

Für konvexe Polygone gilt zur Berechnung der Anzahl der Diagonalen folgende Überlegung:

1. Jede der $n$ Ecken kann durch eine Strecke mit einer der anderen Ecken verbunden werden.
2. Die Verbindung von Ecke $P\_a$ zur Ecke $P\_b$ ist mit der Verbindung von $P\_b$ nach $P\_a$ identisch.
3. Genau $n$ Verbindungen sind Seiten des Polygons.

Also hat ein konvexes $n$-Eck genau $\backslash frac\{n\; \backslash cdot\; (n-1)\}\{2\}\; -\; n$ Diagonalen.

Besondere Polygone

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Unter den unendlich vielen Polygonen stellen die nachstehend aufgelisteten etwas Besonderes dar. Einige von ihnen können entweder unerwarteterweise exakt (Beispiel 65537-Eck) oder in sehr guter Näherung (Beispiel Siebeneck) mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. Andere haben neben der geometrischen eine Bedeutung als Form in der Architektur (Beispiel Pentagon) oder in der Symbolik (Beispiel Pentagramm).

• Dreieck
• Viereck
  • Drachenviereck
  • Parallelogramm
  • Quadrat
  • Raute
  • Rechteck
  • Trapez
• Fünfeck (Pentagon)
• Sechseck (Hexagon)
• Siebeneck (Heptagon)
• Achteck (Oktogon)
• Neuneck (Nonagon, Enneagon)
• Siebzehneck (Heptadekagon)

• 257-Eck
• 65537-Eck

Spezielle Typen

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Vielecke können gleichseitig und/oder gleichwinklig sein; hat ein Vieleck gleiche Seiten und gleiche Winkel, dann wird es als reguläres oder regelmäßiges Vieleck (Isogon) bezeichnet. Ein reguläres $n$-Eck hat stets einen Umkreis mit Radius $r\_\backslash mathrm\; u$ und einen Inkreis mit Radius $r\_\backslash mathrm\; i$. Die Länge jeder Seite wird mit $a$ bezeichnet, die Seitenanzahl mit $n$. Daraus ergeben sich folgende Formeln für reguläre, nicht-überschlagene Polygone:

Flächeninhalt

$A\; \backslash \; =\; \backslash \; \backslash frac\{n\}\{2\}\backslash ,\; a\backslash ,\; r\_\backslash mathrm\; i\; \backslash \; =\; \backslash$

\frac{n}{2}\, r_\mathrm u^2 \, \sin { \frac{2 \pi }{n}} \ = \ \frac{1}{4} n a^2 \cot \frac{180^\circ}{n}=\frac{n\cdot a^2}{4\cdot\tan \left( \frac{180^\circ}{n} \right)}

Inkreisradius

$r\_\backslash mathrm\; i\; =\; \backslash frac\{a\}\{2\}\; \backslash cot\; \backslash frac\{180^\backslash circ\}\{n\}=\backslash frac\{a\}\; \{2\backslash cdot\backslash tan\; \backslash left(\; \backslash frac\{180^\backslash circ\}\{n\}\; \backslash right)\}$

Umkreisradius:

$r\_\backslash mathrm\; u\; =\; \backslash frac\{a\}\{2\; \backslash sin\; \backslash frac\{180^\backslash circ\}\{n\}\}=\backslash frac\{a\}\{2\backslash cdot\backslash sin\; \backslash left(\; \backslash frac\{180^\backslash circ\}\{n\}\; \backslash right)\}$

Nicht überschlagene Vielecke können konvex oder konkav sein.

Man unterscheidet in der Ebene liegende (planare) und im Raum liegende (nicht-planare) Polygone.

Planare überschlagene reguläre Polygone werden wegen ihres Aussehens auch als Sternpolygone bezeichnet.

Regelmäßige Polygone

Wichtige Kenndaten:

Regelmäßige Polygone

Polygon	Seitenlänge $a$	Zentriwinkel $\backslash alpha$	Umfang $u$	Fläche $A$
Dreieck	$a\; =\; r\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{3\}$	$120^\backslash circ$	$u\; =\; r\; \backslash cdot\; 3\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{3\}$	$A\; =\; r^2\; \backslash cdot\; \backslash frac\{3\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{3\}\}\{4\}$
Quadrat	$a\; =\; r\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{2\}$	$90^\backslash circ$	$u\; =\; r\; \backslash cdot\; 2\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{2\}$	$A\; =\; r^2\; \backslash cdot\; 2$
Fünfeck	$a\; =\; r\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{5\; -\; \backslash sqrt\{5\}\}\{2\}\}$	$72^\backslash circ$	$u\; =\; r\; \backslash cdot\; 5\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{5\; -\; \backslash sqrt\{5\}\}\{2\}\}$	$A\; =\; r^2\; \backslash cdot\; \backslash frac\{5\}\{8\}\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{10\; +\; 2\backslash sqrt\{5\}\}$
Sechseck	$a\; =\; r$	$60^\backslash circ$	$u\; \backslash approx\; r\; \backslash cdot\; 6$	$A\; =\; \backslash frac\{3\}\{2\}\; r^2\; \backslash sqrt\{3\}$
Siebeneck	$a\; \backslash approx\; r\; \backslash cdot\; 0\{,\}867767$	$51\; \backslash frac\{3\}\{7\}^\backslash circ$	$u\; \backslash approx\; r\; \backslash cdot\; 6\{,\}074372$	$A\; \backslash approx\; r^2\; \backslash cdot\; 2\{,\}736410$
Achteck	$a\; =\; r\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{2\; -\; \backslash sqrt\{2\}\}$	$45^\backslash circ$	$u\; =\; r\; \backslash cdot\; 8\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{2\; -\; \backslash sqrt\{2\}\}$ $u\; \backslash approx\; r\; \backslash cdot\; 6\{,\}122935$	$A\; =\; r^2\; \backslash cdot\; 2\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{2\}$ $A\; \backslash approx\; r^2\; \backslash cdot\; 2\{,\}828427$
Neuneck	$a\; \backslash approx\; r\; \backslash cdot\; 0\{,\}68404029$	$40^\backslash circ$	$u\; \backslash approx\; r\; \backslash cdot\; 6\{,\}15636258$
Zehneck	$a\; =\; r\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(\backslash sqrt\{5\}-1\; \backslash right)$ $a\; \backslash approx\; r\; \backslash cdot\; 0\{,\}618034$	$36^\backslash circ$	$u\; =\; r\; \backslash cdot\; 5\; \backslash cdot\; \backslash left(\backslash sqrt\{5\}-1\; \backslash right)$ $a\; \backslash approx\; r\; \backslash cdot\; 6\{,\}180340$	$A\; =\; r^2\; \backslash cdot\; \backslash frac\{5\}\{4\}\; \backslash sqrt\{10-\; 2\backslash sqrt\{5\}\}$
$n$-Eck	$a\; =\; 2\; \backslash cdot\; r\; \backslash cdot\; \backslash sin\; \backslash frac\{180^\backslash circ\}\{n\}$	$\backslash frac\{360^\backslash circ\}\{n\}$	$u\; =\; 2\; \backslash cdot\; n\; \backslash cdot\; r\; \backslash cdot\; \backslash sin\; \backslash frac\{180^\backslash circ\}\{n\}$
Grenzwert $n\; \backslash to\; \backslash infty$ (Kreis)	$\backslash to\; 0$	$\backslash to\; 0$	$u\; =\; r\; \backslash cdot\; 2\; \backslash cdot\; \backslash pi$	$A\; =\; r^2\; \backslash cdot\backslash pi$

Berühmte Vielecke

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• das „Pentagon“ (Sitz des US-Verteidigungsministeriums);
• das Pentagon in Kronach: die Festung Rosenberg zeigt ein Fünfeck als Grundriss;
• Frankreich wird aufgrund seiner geographischen Form auch als Hexagon bezeichnet;
• das karolingische Oktogon im Grundriss des Aachener Doms.

Polygone in der Computergraphik

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Polygon_face.jpg

In der 3D-Computergrafik meint man mit Polygonen oft Dreiecke, da diese Grundlage für die Berechnung bei der Bildsynthese sind. Dieses Primitiv wird durch drei Vertices (Scheitelpunkte), in Form eines dreidimensionalen Vektors, beschrieben. Mit Hilfe spezieller 3D-Grafiksoftware kann ein Polygon aus beliebigen einzelnen Eckpunkten und Kanten/Segmenten zusammengefügt werden. Sobald ein Linienzug zu einem einfachen Polygon geschlossen wird, verschwinden alle übriggebliebenen Punkte und Segmente und nur das einfache Polygon bleibt übrig. In diesem geschlossenen Polygon wird nun der Kern bzw. das Sichtbarkeitspolygon eingezeichnet. Auch nach dem Schließen des Polygons kann dessen Gestalt weiterverändert werden; der Grafik-Editor erlaubt neben dem Verschieben von Eckpunkten, Kanten oder des gesamten Polygons auch das Rotieren, Skalieren oder Scheren des Polygons in einem Kontextmenü. Eckpunkte und Kanten können auch gelöscht und neue hinzugefügt werden.

Je zahlreicher und kleiner die Polygone sind, desto realistischer kann die künstliche Bildschirmwelt wirken.

Die technische Grafik-Leistung eines Computerspiels bemisst sich zu einem großen Teil nach der Qualität der gleichzeitig darstellbaren Bildpunkte, Farben, bewegten Flächen und Lichtreflexe. Je mehr solcher Attribute ohne sichtbare Zeitverzögerung für jede Perspektivänderung zu berechnen sind, desto räumlicher und plastischer wirkt die Grafik im Spiel. Voraussetzung für eine „wirklichkeitsnahe“ Wiedergabe am Bildschirm ist daher ein schneller Prozessor. Die PlayStation 2 kann theoretisch 70 Millionen Polygone pro Sekunde verarbeiten. Nicht vergleichbar, doch kann moderne 3D-Grafiksoftware mehrere Milliarden Polygone verarbeiten.

Siehe auch

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• Polyeder, Polytop, Winkelsumme, Außenwinkel
• Satz von Pick (für Polygone auf dem Gitter)
• Häufigkeitspolygon

Weblinks

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• Zur Mathematik unregelmäßiger Polygone
• In siebzig Millionen Polygonen um die Welt
• Sichtbarkeit in einfachen Polygonen
• Rasterung von Polygonen

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