Dieser Artikel behandelt Polarkoordinaten der Ebene sowie die eng damit verwandten Zylinderkoordinaten im Raum. Für räumliche Polarkoordinaten siehe den Artikel Kugelkoordinaten.

Ebene Polarkoordinaten: Kreiskoordinaten

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Die Polarkoordinaten (auch: Kreiskoordinaten) eines Punktes in der euklidischen Ebene werden in Bezug zu einem Koordinatenursprung (einem Punkt der Ebene) und einer Polarkoordinatenrichtung (ein im Koordinatenursprung beginnender Strahl) angegeben

Ebene_polarkoordinaten.PNG

Ebene Polarkoordinaten und ihre Transformation in kartesische Koordinaten

Für die Funktionaldeterminante in ebenen Polarkoordinaten erhält man

$\backslash det\backslash frac\{\backslash partial(x,y)\}\{\backslash partial(r,\backslash varphi)\}=\backslash begin\{vmatrix\}$

\cos\varphi & -r\sin\varphi \\ \sin\varphi & r\cos\varphi \end{vmatrix}=r\cos\varphi\cos\varphi + r\sin\varphi\sin\varphi=r

Umrechnung zwischen Polarkoordinaten und kartesischen Koordinaten

Wenn man ein kartesisches Koordinatensystem mit gleichem Ursprung sowie der x-Achse in Polarkoordinatenrichtung wählt, ergibt sich

$\backslash vec\; r=r\backslash ,\; \backslash cos\backslash varphi\; \backslash ,\; \backslash vec\; e\_x\; +\; r\backslash ,\; \backslash sin\backslash varphi\; \backslash ,\; \backslash vec\; e\_y$

als Transformation zu kartesischen Koordinaten.

Polar zu kartesisch lässt sich demnach folgendermaßen umrechnen:

$x=r\backslash ,\backslash cos\backslash varphi$

$y=r\backslash ,\backslash sin\backslash varphi$

Für kartesisch zu polar gelten die folgenden Formeln:

$r=\backslash sqrt\{x^2\; +\; y^2\}$

$\backslash varphi\; =\; \backslash arctan\; \backslash frac\{y\}\{x\}$

Einige Programmier- und Skriptsprachen benutzen eine bivariate "Arkustangens"-Funktion atan2(y,x), die den korrekten Wert für φ für jedes gegebene x und y findet. Vereinfacht kann man schreiben, dass für negative Imaginärwerte π zu φ addiert werden muss.

Das Linienelement

Aus der obigen Transformationsgleichung

$\backslash vec\; r=r\backslash ,\; \backslash cos\backslash varphi\; \backslash ,\; \backslash vec\; e\_x\; +\; r\backslash ,\; \backslash sin\backslash varphi\; \backslash ,\; \backslash vec\; e\_y$

folgen

$dx=dr\backslash ,\; \backslash cos\backslash varphi\; -\; r\backslash ,\; d\backslash varphi\; \backslash ,\; \backslash sin\backslash varphi$

$dy=dr\backslash ,\; \backslash sin\backslash varphi\; +\; r\backslash ,\; d\backslash varphi\; \backslash ,\; \backslash cos\backslash varphi$

Für das kartesische Linienelement gilt

$ds^2=dx^2+dy^2$

wofür in Polarkoordinaten folgt

$ds^2=dr^2+d\backslash varphi^2\; r^2$

Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten

Die Geschwindigkeit $\backslash dot\; \{\backslash vec\; r\}$ ist gegeben durch $\backslash dot\{\backslash vec\; r\}=\backslash dot\{r\}\backslash vec\; e\_r\; +\; r\backslash dot\{\backslash varphi\}\backslash vec\; e\_\backslash varphi$

Die Beschleunigung $\backslash ddot\; \{\backslash vec\; r\}$ ist gegeben durch $\backslash ddot\{\backslash vec\; r\}=(\backslash ddot\; r\; -\; r\backslash dot\backslash varphi^2)\; \backslash vec\; e\_r+(2\backslash dot\; r\; \backslash dot\; \backslash varphi\; +\; r\; \backslash ddot\; \backslash varphi)\; \backslash vec\; e\_\{\backslash varphi\}$

Räumliche Polarkoordinaten: Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten

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Zylinderkoordinaten

Zylindrische Koordinaten sind im Wesentlichen ebene Polarkoordinaten, die um eine dritte Koordinate ergänzt sind. Diese dritte Koordinate, im Allgemeinen h genannt, beschreibt die Höhe eines Punktes über (oder unter) der Ebene des Kreiskoordinatensystems.

Zylinderkoordinaten.PNG

Wenn man ein kartesisches Koordinatensystem mit gleichem Ursprung wie beim Kreiskoordinatensystem wählt, und eine dritte Achse (z-Achse) senkrecht auf der Ebene errichtet, dann ergeben sich

x = r cos φ,

y = r sin φ

z = h

als Transformationsgleichungen zwischen den beiden Darstellungen. Der Abstand r ist jetzt nicht mehr der Abstand des Punktes vom Koordinatenursprung, sondern von der z-Achse.

Die Hinzunahme der geradlinigen Koordinaten h hat keinen Einfluss auf die Funktionaldeterminante:

$\backslash det\backslash frac\{\backslash partial(x,y,z)\}\{\backslash partial(r,\backslash varphi,h)\}=\backslash begin\{vmatrix\}$

\cos\varphi & -r\sin\varphi & 0 \\ \sin\varphi & r\cos\varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}=r

Folglich ergibt sich für das Volumenelement dV:

$\backslash mathrm\{d\}V=r\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}r\backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\backslash varphi\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}h$

Umrechnung kartesisch und zylindrisch

$x=r\backslash ,\backslash cos\backslash varphi$

$y=r\backslash ,\backslash sin\backslash varphi$

$z=h\; \backslash quad$

$r=\backslash sqrt\{x^2\; +\; y^2\}$

$\backslash varphi$

=\arctan\frac{y}{x} + \pi u_0(-x) \, \sgn y

$h=z\; \backslash quad$

$$

\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos\varphi&-r\sin\varphi&0\\ \sin\varphi&r\cos\varphi&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}dr\\d\varphi\\dh\end{pmatrix}

$$

\begin{pmatrix}dr\\d\varphi\\dh\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}&0\\ \frac{-y}{x^2+y^2}&\frac{x}{x^2+y^2}&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}

Kugelkoordinaten

Kugelkoordinaten sind im Wesentlichen ebene Polarkoordinaten, die um eine dritte Koordinate ergänzt sind, und zwar in der gleichen Art und Weise, nämlich indem man einen Winkel für die dritte Achse spezifiziert. Diese dritte Koordinate beschreibt den Winkel der Geraden zwischen Ursprung, Punkt P und der Ebene x,y. Der Punkt P wird auch als Aufpunkt bezeichnet.

Kugelkoordinaten.PNG

Für eine genauere Erklärung, siehe Kugelkoordinaten.

Weitere Artikel zum Thema

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Siehe auch: Koordinate, geografische Koordinaten, Affine Koordinaten, Kreis, Zylinder, Box-Muller-Verfahren, Konfiguration (Mechanik)

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