Definition

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Die Poisson-Verteilung $\backslash operatorname\{Poi\}(\backslash lambda,k)$ ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung für Zufallsvariablen, die dem Poisson-Prozess genügen, deren Erwartungswert $\backslash lambda$ ist, und die den natürlichen Zahlen $k\; =\; 0,\; 1,\; 2,\; ...$ die Wahrscheinlichkeiten

$P\_\backslash lambda\; (k)\; =\; \backslash frac\{\backslash lambda^k\}\{k!\}\backslash ;\; \{\backslash rm\; e\}^\{-\backslash lambda\}$

zuordnet. Dabei ist $e$ die Eulersche Zahl; $e^x$ steht somit für die Exponentialfunktion; $k!$ bezeichnet die Fakultät von $k$.

Der Parameter $\backslash lambda$ wird Ereignisrate genannt.

Wie auch die Binomialverteilung so resultiert die Poisson-Verteilung aus dem mehrmaligen, aufeinander folgenden Ausführen von Bernoulli-Experimenten, also einzelnen, gleichartigen Zufallsversuchen mit genau zwei möglichen Ergebnissen (z.B. "Erfolg" und "Misserfolg").

Die Poisson-Verteilung ist für den Spezialfall einer großen Anzahl von Durchführungen mit geringer Erfolgswahrscheinlichkeit eine gute Näherung an die Binomialverteilung. Die Poissonverteilung wird deshalb manchmal als die Verteilung der seltenen Ereignisse bezeichnet, siehe auch Gesetz der kleinen Zahlen.

Die Poisson-Verteilung ist zugleich ein Spezialfall der Panjer-Verteilung.

Siméon Denis Poisson (1781-1840) veröffentlichte 1837 diese Verteilung zusammen mit seiner Wahrscheinlichkeitstheorie in dem Werk „Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et en matière civile“. („Forschungsarbeiten zur Wahrscheinlichkeit von Urteilen im verbrecherischen Bereich und im Zivilbereich“).

Vor allem im Bereich der Versicherungsmathematik existieren Erweiterungen der Poisson-Verteilung wie die Verallgemeinerte Poisson-Verteilung und die Gemischte Poisson-Verteilung.

Herleitung

Mit der mittleren Anzahl der eintretenden Ereignisse pro Zeiteinheit $\backslash lambda$ und der Wahrscheinlichkeit $P\_\{n\}(T)$, daß im Zeitraum $T$ insgesamt $n$ Ereignisse eintreten, gibt $\backslash lambda\backslash operatorname\{d\}t$die Wahrscheinlichkeit an, daß in $\backslash operatorname\{d\}t$ ein Ereignis stattgefunden hat, und $1-\backslash lambda\backslash operatorname\{d\}t$ die Wahrscheinlichkeit, daß in $\backslash operatorname\{d\}t$ kein Ereignis stattgefunden hat. Daraus resultieren die Beziehungen

$P\_\{0\}(T+\backslash operatorname\{d\}t)\; =\; P\_\{0\}(T)(1-\backslash lambda\backslash operatorname\{d\}t)$

$P\_\{n\}(T+\backslash operatorname\{d\}t)\; =\; P\_\{n\}(T)(1-\backslash lambda\backslash operatorname\{d\}t)\; +\; P\_\{n-1\}(T)\backslash lambda\backslash operatorname\{d\}t$.

Durch Bilden der Differenzenquotienten entsteht ein rekursives System von Differentialgleichungen:

$P\_\{0\}(T)\text{'}\; =\; -\backslash lambda\; P\_\{0\}(T)$

$P\_\{n\}(T)\text{'}\; =\; -\backslash lambda\; (P\_\{n\}(T)-P\_\{n-1\}(T))$.

Dieses System läßt sich durch Verwenden einer generierenden Funktion lösen. Dabei werden die $P\_\{i\}(T)$ als Koeffizienten einer Potenzreihe eingesetzt, durch Koeffizentenvergleich läßt sich ein geschlossener Ausdruck für die $P\_\{i\}(T)$ gewinnen

$P\_\{n\}(T)\; =\; \backslash frac\{e^\{-\backslash lambda\; T\}(\backslash lambda\; T)^\{n\}\}\{n!\}$.

Eigenschaften

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• Die Poisson-Verteilung $P\_\backslash lambda$ wird durch den Parameter $\backslash lambda$ vollständig charakterisiert.
• Die Poisson-Verteilung ist stationär, d.h. nicht von der Zeit abhängig.
• In einem Poisson-Prozess ist die zufällige Anzahl der Ereignisse bis zu einem bestimmten Zeitpunkt Poisson-verteilt, die zufällige Zeit bis zum $n$-ten Ereignis Erlang-verteilt. Wichtig ist der Spezialfall $n=1$, der zur Exponentialverteilung führt. Sie beschreibt die Zeit bis zum ersten zufälligen Ereignis (sowie die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen) eines Poissonprozesses.

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion $F(x)$ der Poisson-Verteilung lautet

$F\_\{\backslash lambda\}(n)=\backslash sum\_\{k=0\}^n\; P\_\backslash lambda\; (k)\; =\; e^\{-\backslash lambda\}\; \backslash sum\_\{k=0\}^n\; \backslash frac\{\backslash lambda^k\}\{k!\}$.

Erwartungswert, Varianz, Moment

$\backslash lambda$ ist zugleich Erwartungswert, Varianz und auch 3. zentriertes Moment ($\backslash operatorname\{E\}\; \backslash left(\; (X-\backslash operatorname\{E\}(X))^3\; \backslash right)$), denn

Erwartungswert

$\backslash operatorname\{E\}(X)\; =\backslash sum\_\{k=0\}^\{\backslash infty\}k\backslash frac\{\backslash lambda^k\}\{k!\}e^\{-\backslash lambda\}$

= \lambda e^{-\lambda}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} = \lambda

Varianz

{| |$\backslash operatorname\{Var\}(X)$ |$=\; \backslash sum\_\{k=0\}^\{\backslash infty\}(k-\backslash lambda)^2\backslash frac\{\backslash lambda^k\}\{k!\}e^\{-\backslash lambda\}\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\{\backslash infty\}(k^\{2\}-2k\backslash lambda+\backslash lambda^\{2\})\backslash frac\{\backslash lambda^k\}\{k!\}e^\{-\backslash lambda\}\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\{\backslash infty\}k^\{2\}\backslash frac\{\backslash lambda^k\}\{k!\}e^\{-\backslash lambda\}\; -2\backslash lambda^\{2\}\; +\backslash lambda^\{2\}$ |- | |$=\; \backslash sum\_\{k=0\}^\{\backslash infty\}(k(k-1)+k)\backslash frac\{\backslash lambda^k\}\{k!\}e^\{-\backslash lambda\}\; -\backslash lambda^\{2\}\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\{\backslash infty\}(k(k-1))\backslash frac\{\backslash lambda^k\}\{k!\}e^\{-\backslash lambda\}\; +\backslash lambda\; -\backslash lambda^\{2\}$ |- | |$=\; \backslash lambda^\{2\}\backslash sum\_\{k=2\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{\backslash lambda^\{k-2\}\}\{(k-2)!\}e^\{-\backslash lambda\}\; +\backslash lambda\; -\backslash lambda^\{2\}\; =\; \backslash lambda$ |}

Variantionskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man sofort den Variationskoeffizienten

$\backslash operatorname\{VarK\}(X)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{\backslash lambda\}\}$.

Schiefe und Wölbung

Die Schiefe ergibt sich zu

$\backslash operatorname\{v\}(X)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{\backslash lambda\}\}$.

Die Wölbung läßt sich ebenfalls geschlossen darstellen als

$\backslash beta\_2\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash lambda\}$.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

$\backslash phi\_\{X\}(s)\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\{+\backslash infty\}e^\{iks\}\backslash frac\{\backslash lambda^\{k\}\}\{k!\}e^\{-\backslash lambda\}$

= e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(\lambda e^{is})^{k}}{k!} = e^{-\lambda} e^{\lambda e^{is}} = e^{\lambda(e^{is}-1)}.

Erzeugende Funktion

Für die erzeugende Funktion erhält man

$g\_\{X\}(s)\; =\; e^\{\backslash lambda(s-1)\}$.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der Poisson-Verteilung ist

$m\_\{X\}(s)\; =\; e^\{\backslash lambda(e^\{s\}-1)\}$.

Reproduktivität

Die Poisson-Verteilung ist reproduktiv, d.h. die Summe $X\_1+X\_2$ zweier stochastisch unabhängiger Poisson-verteilter Zufallsgrößen $X\_1$ und $X\_2$ mit den Parametern $\backslash lambda\_1$ und $\backslash lambda\_2$ ist wieder Poisson-verteilt mit dem Parameter $\backslash lambda\_1+\backslash lambda\_2$.

Symmetrie

Die Poisson-Verteilung $P\_\{\backslash lambda\}$ hat für kleine Mittelwerte $\backslash lambda$ eine stark asymmetrische Gestalt. Für größer werdende Mittelwerte wird $P\_\{\backslash lambda\}$ symmetrischer und lässt sich für $\backslash lambda\; >\; 30$ in guter Näherung durch die Gauß-Verteilung darstellen.

Beziehung zu anderen Verteilungen

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Beziehung zur Binomialverteilung

Die Poisson-Verteilung lässt sich aus der Binomialverteilung $\backslash operatorname\{Bin\}(p,n)$ herleiten. Sie ist die Grenzverteilung der Binomialverteilung bei sehr kleinen Anteilen der interessierten Merkmale und sehr großem Stichprobenumfang: $n\backslash rightarrow\backslash infty$ und $p\backslash rightarrow\; 0$ unter der Nebenbedingung, dass das Produkt $np=\backslash lambda$ konstant ist. $\backslash lambda$ ist dann für alle in der Grenzwertbildung betrachteten Bimonialverteilungen wie auch für die resultierende Poissonverteilung der Erwartungswert.

Mit $p=\backslash frac\{\backslash lambda\}\{n\}$ ist der Wert einer Poisson-verteilten Zufallsvariable an der Stelle $k$ der Grenzwert

|$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; P(X=k)$ |$=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\{n!\; \backslash over\; (n-k)!\backslash ,k!\}\; \backslash left(\{\backslash lambda\; \backslash over\; n\}\backslash right)^k\; \backslash left(1-\{\backslash lambda\backslash over\; n\}\backslash right)^\{n-k\}$ |- | |$=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; \backslash left(\backslash right)\; \backslash left(\backslash end\{matrix\}\; \backslash begin\{matrix\}\; \backslash \backslash \; \backslash underbrace\{\backslash left(1-\{\backslash lambda\; \backslash over\; n\}\backslash right)^\{-k\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash to\; 1\}\; \backslash end\{matrix\}$ |- | |$=\{\backslash lambda^k\; e^\{-\backslash lambda\}\; \backslash over\; k!\}.$ |}

Beziehung zur Normalverteilung

Falls die Anzahl der Ereignisse $n$ sehr groß und die Wahrscheinlichkeit ihres Auftretens $p=0,5$ wird, so wird aus der Poisson-Verteilung bzw. Binomial-Verteilung die Gaußsche Normalverteilung.

Beziehung zur Erlang-Verteilung

In einem Poisson-Prozess genügt die zufällige Anzahl der Ereignisse bis zu einem festgelegten Zeitpunkt der Poisson-Verteilung $\backslash operatorname\{Poi\}(\backslash lambda,n)$. Die zufällige Zeit bis zum Eintreffen des $n$-ten Ereignis hingegen ist $\backslash operatorname\{Erl\}(\backslash lambda,n)$Erlang-verteilt. Im Fall $n=1$ geht diese Erlang-Verteilung in eine Exponentialverteilung über $\backslash operatorname\{Erl\}(\backslash lambda,1)=\backslash operatorname\{Exp\}(\backslash lambda)$. Man sagt auch, daß die Poisson-Verteilung und die Erlang-Verteilung zueinander konjugierte Verteilungen sind.

Beziehung zur Exponentialverteilung

Die Zeit bis zum ersten zufälligen Ereignis sowie die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen eines Poisson-Prozesses mit dem Parameter $\backslash lambda$ ist $\backslash operatorname\{Exp\}(\backslash lambda)$exponentialverteilt.

Anwendung

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Die Poisson-Verteilung ist eine typische Verteilung für die Zahl von Phänomenen, die innerhalb einer Einheit auftreten.

So wird sie häufig dazu benutzt, zeitliche Ereignisse zu beschreiben. Gegeben sind ein zufälliges Ereignis, das durchschnittlich einmal in einem zeitlichen Abstand $t\_1$ stattfindet, sowie ein zweiter Zeitraum $t\_2$, auf den dieses Ereignis bezogen werden soll.

Die Poissonverteilung $P\_\backslash lambda(n)$ mit $\backslash lambda=t\_2/t\_1$ gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass im Zeitraum $t\_2$ genau $n$ Ereignisse stattfinden. Anders ausgedrückt ist $\backslash lambda$ die mittlere Auftretenshäufigkeit eines Ereignisses.

Beispiel 1

Ein Kaufhaus wird an einem Samstag durchschnittlich alle 10 Sekunden ($t\_1$) von einem Kunden betreten. Werden nun im Takt von einer Minute bzw. 60s die Personen gezählt, so würde man im Mittel 6 Personen erwarten (λ = 1Person/10s *60s = 6), die das Kaufhaus betreten. $P\_6(n)$ gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass in der nächsten Minute ($t\_2$) genau $n$ Kunden das Kaufhaus betreten.

poisson-lambda6.png

0 0,25 0,25 1 1,49 1,74 2 4,46 6,20 3 8,92 15,12 4 13,39 28,51 5 16,06 44,57 6 16,06 60,63 7 13,77 74,40 8 10,33 84,72 9 6,88 91,61 10 4,13 95,74 11 2,25 97,99 12 1,13 99,12 13 0,52 99,64 14 0,22 99,86 15 0,09 99,95

-	P6(n)			-	n	Wahrscheinlichkeit in %	Summe in %	-

Mit einer Wahrscheinlichkeit von fast 5% betreten genau 2 Personen in einer Minute das Kaufhaus. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 92% treten 9 Personen, oder 8, oder 7.. oder keine Person ein. Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 9 Personen in einer Minute eintreten, ist folglich 8% .

Beispiel 2

In der Natur folgt zum Beispiel die zeitliche Abfolge radioaktiver Zerfälle einzelner Atome der Poisson-Statistik.

Beispiel 3

Die Blitzhäufigkeit in Deutschland beträgt 10 Einschläge pro km² = 0,1 Einschläge pro ha und Jahr. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in einer Parzelle von 1 ha zu $n$ Blitzeinschlägen in einem Jahr kommt?

$\backslash lambda=0,1$ Einschläge pro Hektar und Jahr.

$P\_\{0,1\}(n=0)$ (kein Einschlag im betrachteten Jahr): 90%

$P\_\{0,1\}(n=1)$ (ein Einschlag im betrachteten Jahr): 9%

$P\_\{0,1\}(n=2)$ (zwei Einschläge im betrachteten Jahr): 0,5%

$P\_\{0,1\}(n=3)$ (drei Einschläge im betrachteten Jahr): 0,02%

Statistisch ist es nicht verwunderlich, wenn ein Blitz innerhalb von 200 Jahren zweimal am gleichen Ort einschlägt, wobei es außerordentlich unwahrscheinlich ist, den Ort voraussagen zu können (Siehe hierzu auch Geburtstagsproblem).

Beispiel 4

Wenn das zeitliche Eintreffen seltener Ereignisse einen Poisson-Prozess bildet, folgen die Zeitintervalle zwischen den Ereignissen einer Exponentialverteilung. Ein Anwendungsbeispiel für die Simulation poissonverteilter Zufallszahlen findet sich unter Verteilung von Zufallszahlen.

Zufallszahlen

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Zufallszahlen zur Poisson-Verteilung werden üblicherweise mit Hilfe der Inversionsmethode erzeugt.

Siehe auch

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• Zufallsverkehr, Warteschlangentheorie

Literatur

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• Erich Härtter: Wahrscheinlichkeitsrechnung für Wirtschafts- und Naturwissenschaftler. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1974, ISBN 3525031149

Weblinks

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• Universität Konstanz - Interaktive Animation
• StatWiki - Herleitung der momenterzeugenden Funktion

Wahrscheinlichkeitsverteilung

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