Poisson-Prozess

Ein Poisson-Prozess ist ein Zählprozess, genauer ein Erneuerungsprozess, für statistisch unabhängige, seltene Ereignisse dessen Zuwächse poissonverteilt sind.

Im wesentlichen wird bei einem Poisson-Prozess für jedes "infinitesimal kleine" Intervall $\left t+\operatorname{d}t\right$ ausgewürfelt, ob darin ein bestimmtes Ereignis stattfindet, was jeweils mit Wahrscheinlichkeit $\lambda\operatorname{d}t$ eintritt. Dabei ist $t$ nicht notwendigerweise eine Zeit, sondern kann analog auch einen infinitesimalen Flächen- oder Raumbereich bezeichnen. $\lambda$ charakterisiert die Poisson-Verteilung.

Die mit einem Poisson-Prozess beschriebenen seltenen Ereignisse besitzen aber typischerweise ein großes Risiko (als Produkt aus Kosten und Wahrscheinlichkeit). Daher werden damit im Versicherungswesen z.B. Störfälle an komplexen Industrieanlagen, Flutkatastrophen, Flugzeugabstürze, usw. berechnet.

Prinzipiell kann man diese Zufallsgrößen auch mit der Binomialverteilung beschreiben, denn die Einzelereignisse genügen dem Bernoulli-Prozess, jedoch wird die konkrete Rechnung durch einige Punkte erschwert:

Die Anzahl $N$ der durchgeführten unabhängigen Versuche ist sehr groß $N>100$ .
Die Wahrscheinlichkeit des interessierenden Ereignisses in jedem einzelnen Versuch ist sehr klein $p<0,01$ .

Definition

Ein stochastischer Prozess

(P_{\lambda,t}),\;t\ge 0

heißt homogener Poisson-Prozess mit der Intensität

\lambda

, wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind:

$P_{\lambda,0}=0$ und der Pfad des Prozesses ist rechtsseitig stetig (beides fast sicher).
$P_{\lambda,t}-P_{\lambda,s} \sim \mathcal{P}_{\lambda \cdot (t-s)}$ $\forall \, s . Hierbei bezeichnet \mathcal{P}_{\lambda\cdot (t-s)} die Poisson-Verteilung mit Parameter {\lambda \cdot (t-s)} .$
Ist $0, so sind P_{\lambda,t}-P_{\lambda,s} und P_{\lambda,v}-P_{\lambda,u} unabhängige Zufallsvariable n (d.h. der Prozess hat unabhängige Zuwächse).$

Ein homogener Poisson-Prozess ist ein Markow-Prozess.

Eigenschaften

Der Zeitraum zwischen zwei Zuwächsen, also $\min \left\{ t | P_{\lambda,t}=n+1 \right\} - \min \left\{ s | P_{\lambda,s}=n \right\}\;\; n \ge 0$ ist exponentialverteilt mit dem Parameter $\lambda$ .
Ist $P_{\lambda,t}$ ein Poisson-Prozess, so ist $\hat P_{\lambda,t}=P_{\lambda,t+s}-P_{\lambda,s} \;\; \forall s ebenfalls ein Poisson-Prozess. Dabei werden nur die Zuwächse betrachtet, die nach s stattfinden.$
Für den Erwartungswert gilt $\operatorname{E}(P_{\lambda,t})=\lambda \cdot t$ .
Für die quadratische Variation gilt ebenfalls $_t=\lambda \cdot t$ .
Da der Pfad des Prozesses monoton steigt, ist $P_{\lambda,t}$ ein Submartingal bezüglich seiner natürlichen Filtrierung.
Zieht man allerdings den Erwartungswert von $P_{\lambda,t}$ ab, also $\hat P_{\lambda,t}=P_{\lambda,t}-\lambda \cdot t$ , so ist $\hat P_{\lambda,t}$ ein Martingal bezüglich seiner natürlichen Filtrierung.
Ein Poisson-Prozess ist gedächtnislos.

Zusammengesetzte Poisson-Prozesse

Ist

N_t

ein Poisson-Prozess mit Intensität

\mu

sowie

Y_1, Y_2, \ldots

unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen, so wird der stochastische Prozess

X_t := \sum_{n=1}^{N_t} Y_n

als zusammengesetzter Poisson-Prozess bezeichnet. Wie der ursprüngliche Poisson-Prozess ist auch X ein Sprungprozess unabhängiger Zuwächse und exponential(µ)-verteilter Abstände zwischen den Sprüngen, jedoch sind die Sprunghöhen nicht mehr konstant eins, sondern nach Y verteilt. Hat Y einen endlichen Erwartungswert, so gilt die Formel von Wald über den Erwartungswert:

\operatorname{E}(X_t) = \operatorname{E}(N_t) \operatorname{E}(Y_1) = \mu t \operatorname{E}(Y_1) \;\;\forall t \ge 0

Inhomogener Poisson-Prozess

In manchen Fällen kann es sinnvoll sein,

\lambda

nicht als Konstante, sondern als Funktion der Zeit aufzufassen.

\lambda(t)

muss dabei die beiden Bedingungen

$\lambda(t) >0$ für alle $t\in \mathbb{R}_{+}$ und
$\int_{\tau_1}^{\tau_2} \lambda(t)\, dt <\infty$ für $\tau_1, \tau_2 \in \mathbb{R}_{+}$

erfüllen.

Für einen inhomogenen Poisson-Prozess $(P_{\lambda(t),t})_{t\ge 0}$ gilt abweichend von einem homogenen Poisson-Prozess:

$P_t -P_s \sim \mathcal{P}_{\int_s^t \lambda(u)\, du}$ , wobei $\mathcal{P}$ wieder die Poisson-Verteilung mit dem Parameter $\int_s^t \lambda(u)\, du$ bezeichnet.
Für den Erwartungswert gilt $\operatorname{E}(P_t)=\int_0^t \lambda(u)\, du$ .
Für die Varianz gilt ebenfalls $\operatorname{Var}(P_t)=\int_0^t \lambda(u)\, du$ .
Sind $\tau_1$ und $\tau_2$ zwei Sprungstellen des inhomogenen Poisson-Prozesses, dann ist $\int_{\tau_1}^{\tau_2} \lambda(t)\, dt$ exponentialverteilt mit dem Parameter 1.

Cox-Prozess

Ein inhomogener Poisson-Prozess mit stochastischer Intentitätsfunktion

\lambda(t)

heißt Cox-Prozess. Betrachtet man eine bestimmte Realisierung von

\lambda(t)

, verhält sicht ein Cox-Prozess wie ein inhomogener Poisson-Prozess. Für den Erwartungswert von

P_{\lambda(t),t}

gilt

\operatorname{E}(P_{\lambda(t),t}) = \operatorname{E}(\int_0^t \lambda(u)\, du)

Auf Grund seiner stochastischen Intensität wird der Cox-Prozess teilweise auch als doppelt stochastischer Poisson-Prozess bezeichnet.

Anwendungsbeispiele

Allgemein:

Zählung von seltenen, gleichverteilten Ereignissen pro Flächen-, Raum- oder Zeitmaß.
Bestimmung der Häufigkeit seltener Ereignisse wie Versicherungsfälle, Zerfallsprozesse, Reparaturaufträge.
- Bediensysteme:

die zufällige Anzahl von Telefonanrufen pro Zeiteinheit.
die zufällige Anzahl der Kunden an einem Schalter pro Zeiteinheit.
die Zeitpunkte, in denen Anforderungen (Personen, Jobs, Telefonanrufe, Heap,...) bei einem Bediener (Bank, Server, Telefonzentrale, Speicherverwaltung, ... ) eingehen.
- Fehler, Ausfälle, Qualitätskontrolle:

die zufällige Anzahl von nichtkeimenden Samenkörnern aus einer Packung.
die Orte, an denen ein Faden Noppen hat.
Anzahl der Pixelfehler auf einem TFT Display.
Anzahl der Schlaglöcher auf einer Landstraße.
Anzahl der Druckfehler in einem Buch.
Anzahl der Unfälle pro Zeiteinheit an einer Kreuzung.
Auf ^* wird der Versuch unternommen, die Abfolge von Selbstmorden am Massachusetts Institute of Technology als Poisson-Prozess zu modellieren.
- Physik:

die Zeitpunkte, in denen eine radioaktive Substanz ein $\alpha$ -Teilchen emittiert.
zufällige Anzahl der \alpha-Teilchen, die von einer radioaktiven Substanz in einem bestimmten Zeitraum emittiert werden.
- Versicherungsmathematik:

die Zeitpunkte von Großschäden einer Versicherung. In der Finanz- und Versicherungsmathematik wird das Auftreten von zu deckenden Schäden üblicherweise durch einen zusammengesetzten Poisson-Prozess beschrieben, bei dem die einzelnen, unabhängig voneinander auftretenden Schäden nach Y verteilt sind. Versieht man diesen Schadensprozess dann noch mit einem deterministischen, negativen Drift (Versicherungsbeiträge), so erhält man einen Vermögensprozess des Versicherungsunternehmens. Dem schließen sich Fragestellungen an wie: Wie wahrscheinlich ist es, dass der Vermögensprozess einen gewissen Schwellwert x, dass heißt die Rücklagen der Versicherung, überschreitet und damit einen Konkurs erleidet? Wie stark muss der negative Drift beziehungsweise der Beitragssatz sein, um die Wahrscheinlichkeit eines Konkurses unter eine vorgegebene Schwelle zu drücken?

Stochastische Prozesse