Gourt Home::Gourt :: Planimetrie
Unter dem Begriff Planimetrie versteht man allgemein die Geometrie in der Ebene. Im Speziellen versteht man darunter die Messung von Flächen in der Ebene.
Einfache Flächen wie die eines Kreises oder eines Rechtecks in der Ebene können aus bekannten Längenwerten berechnet werden. Unregelmäßige Flächen, wie z. B. die Fläche eines Ahornblattes, müssen mit planimetrischen Methoden abgeschätzt oder mit dem Planimeter ausgemessen werden.
Dreiecke
Die Summe der Innenwinkel im Dreieck beträgt 180°.
Gleichschenkliges Dreieck
Wenn in einem Dreieck ABC gilt: AC=BC, dann geht bei einer Spiegelung an der Winkelhalbierenden durch C das Dreieck in sich über, weil beim Spiegeln alle Winkelweiten erhalten bleiben. Schlussfolgerung: Die Winkel a (Satz vom gleichschenkligen Dreieck: Wenn in einem Dreieck zwei Seiten gleich lang sind, dann sind die diesen Seiten gegenüber liegenden Winkel gleich groß. Wenn in einem Dreieck zwei Winkel gleich groß sind, dann sind die diesen Winkeln gegenüber liegenden Seiten gleich lang.
Merke: Der Satz vom gleichschenkligen Dreieck schließt von Streckenlängen auf Winkelweiten oder von Winkelweiten auf Streckenlängen
- Die beiden gleich langen Seiten werden als Schenkel bezeichnet, die dritte Seite heißt Basis.
- Die gleich großen Winkel, die den Schenkeln gegenüberliegen, heißen Basiswinkel.
- Den Punkt, an dem beide Schenkel zusammentreffen, nennt man Spitze.
- In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Mittelsenkrechte, die Seitenhalbierende und die Höhe der Basis sowie die Winkelhalbierende des Winkels an der Spitze identisch.
- Das gleichseitige Dreieck lässt sich als eine spezielle Form des gleichschenkligen Dreiecks auffassen: Jede Seite ist gleichzeitig Schenkel und Basis und jede Ecke ist auch Spitze.
Gleichseitiges Dreieck
Beim gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang. Alle drei Winkel sind immer 60° groß und damit 1/3 der Winkelsumme im Dreieck (180°/3).Rechtwinkliges Dreieck
Die 2 Katheten bilden den rechten Winkel. Die Hypotenuse ist immer die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck.Satz des Thales
Liegt eine Seite eines Dreiecks auf dem Durchmesser des Umkreises, so ist der Winkel, der dieser Seite gegenüberliegt, ein rechter Winkel. Umkehrung: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Strecke vom Mittelpunkt der Hypotenuse zum Punkt gegenüber der Hypotenuse halb so groß wie die Hypotenuse.Dreiecksungleichung
In jedem Dreieck ist die Summe zweier Seitenlängen größer als die Länge der dritten Seite.Flächenberechnung
Allgemein berechnet man die Fläche eines Dreieckes als Fläche eines halben Parallelogramms.Besondere Linien und Punkte
Mittelsenkrechte
Die Mittelsenkrechten stehen senkrecht auf den Seitenmitten und schneiden sich im Mittelpunkt des Umkreises.Winkelhalbierende
Die Winkelhalbierenden halbieren die Innenwinkel und schneiden sich im Mittelpunkt des Inkreises.Seitenhalbierende
Die Seitenhalbierenden verbinden die Seitenmitten mit den gegenüber liegenden Ecken und schneiden sich im Schwerpunkt des Dreiecks.Winkel am Kreis
Beispiel: Mittelpunktwinkel = 120° Umfangswinkel = 60° Sehnen-Tangenten-Winkel = 60°- Die Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel über einem Kreisbogen sind alle gleich groß.
- Die Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel über einem Kreisbogen sind halb so groß wie der entsprechende Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel .
- Die beiden Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Sehnentangentenwinkel gleich Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel ; halb so groß, wie Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel
Strahlensätze
2 Strahlen mit gemeinsamen Anfangspunkt werden von 2 Parallelen geschnitten.1. Strahlensatz
Vom Schnittpunkt ausgesehen verhalten sich Abschnitte auf dem einen Strahl zueinander, wie die gleich liegenden Abschnitte auf den anderen.2. Strahlensatz
Werden zwei von einem Punkt ausgehende Strahlen von zwei Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte auf dem einen Strahl, wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen.Kongruenz
Ein Dreieck ist dann kongruent mit einem anderen, wenn sie durch Verschiebungen, Drehungen und Spiegelungen deckungsgleich sind, also die gleiche Form haben.- Ein Dreieck besteht aus 3 Seiten und 3 Winkeln (also 6 Angaben).
- 3 Angaben reichen aus, um ein Dreieck mit Zirkel und Geodreieck konstruieren zu können
- 5 Kombinationen: SSS, SWS, WSW, WWS, SSW
- Wenn 3 Winkel gegebenen sind, kann Dreieck nicht eindeutig gezeichnet werden, weil das Dreieck unendlich oft unterschiedlich groß gezeichnet werden kann.
- SSS bedeutet, dass Dreiecke kongruent sind, wenn die Länge der 3 Seiten mit dem anderen Dreieck übereinstimmen.
- SWS: Seite-Winkel-Seite: 2 Seiten und der eingeschlossene Winkel stimmen überein.
Ähnlichkeit
2 Dreiecke sind ähnlich wenn,- jede Seite Verhältnis
- zwei Winkel übereinstimmen (Hauptähnlichsatz)
- in einem Winkel und den anliegen den Seiten übereinstimmen
- in zwei Seiten übereinstimmen und der größte Winkel der größten Seite gegenüberliegt
- Ähnlichkeit ist nicht gleich Kongruenz
"Planimetrie"