Die Pauli-Matrizen $\backslash sigma\; \_i$ sind ein Satz von komplexen 2×2–Matrizen, die nach dem Physiker Wolfgang Pauli benannt sind. Mit ihnen kann der Spin der Elektronen beschrieben werden. Der Spin-Operator ist definiert als $S\_i\; =\; \backslash frac\{\backslash hbar\}\{2\}\; \backslash sigma\; \_i$ und ermöglicht es, Elektronen als 2-komponentige Weyl-Spinoren darzustellen.

Die Pauli-Matrizen lauten

$\backslash sigma\; \_\; 1\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}$

\sigma _ 2 = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix} \qquad

\sigma _ 3 = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Sie gehorchen der Drehimpulsalgebra

$\backslash sigma\_i\; \backslash ,\; \backslash sigma\_j\; =\; I\_2\; \backslash delta\_\{ij\}\; +\; i\backslash ,\; \backslash epsilon\_\{ijk\}\; \backslash sigma\_k\; \backslash ;$,

$\backslash sigma\_i\; ,\backslash ,\; \backslash sigma\_j=\; 2i\backslash ,\; \backslash epsilon\_\{ijk\}\backslash ;\; \backslash sigma\_k$

Mathematisch bedeutet dies, dass die Pauli-Matrizen eine komplex 2-dimensionale Darstellung der Clifford-Algebra $Cl(0,3,\backslash mathbb\; R)$ erzeugen. Diese ist der gerade Anteil der Clifford-Algebra $Cl(1,3,\backslash mathbb\; R),$ die die quantenphysikalisch bedeutsame Spin(1,3)-Gruppe, die Spin-Gruppe der Lorentz-Transformationen, enthält.

Die drei Matrizen $-i\backslash ,\backslash sigma\_k$ und ihre reellen Vielfachen erzeugen die Quaternionen-Algebra. Dabei entspricht $-i\backslash ,\backslash sigma\_3$ der imaginären quaternionischen Einheit i, $-i\backslash ,\backslash sigma\_1$ entspricht j und $-i\backslash ,\backslash sigma\_2$ entspricht k, wenn die Quaternionen als $\backslash begin\{pmatrix\}z^1\backslash \backslash z^2\backslash end\{pmatrix\}\backslash mapsto\; kz^1+z^2$ parametrisiert werden.

Darstellungstheorie | Quantenphysik

Pauli matrices | ماتریس‌های پاولی | Matrices de Pauli | מטריצות פאולי | Matrici di Pauli | パウリ行列 | 파울리 행렬 | Macierze Pauliego | Матрицы Паули | Paulijeva matrika | 泡利矩陣