Orthonormalbasis

Eine Orthonormalbasis eines Innenproduktraums ist in der linearen Algebra und der Funktionalanalysis eine Basis dieses Vektorraums, deren Vektoren alle die Länge (die Norm) 1 haben (also Einheitsvektoren sind), und die alle orthogonal (daher auch Orthogonalbasis) zueinander stehen.

Der Begriff ist sowohl im Fall endlicher Dimension als auch für unendlich-dimensionale Räume, insbesondere Hilberträume, von großer Bedeutung. Der Begriff meint aber in beiden Fällen nicht exakt das gleiche.

Endlich-dimensionale Räume

Eine Orthonormalbasis eines Vektorraums $V$ ist eine Basis $B = {b_1, ..., b_n }$ von $V$ , für die gilt:

Für alle $b_i \in B$ gilt $\|b_i\| = 1.$
Für alle $b_i, b_j \in B, i \ne j$ gilt $\langle b_i, b_j \rangle = 0.$

(Mit $\langle . , . \rangle$ ist hier das innere Produkt gemeint, mit $\|.\|$ die Norm.)

Beispielsweise ist für den dreidimensionalen euklidischen Vektorraum $\mathbb{R}^3$ die Menge

\vec i = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\vec j = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\vec k = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

eine Orthonormalbasis: Jeder dieser Vektoren hat die Länge 1, und je zwei dieser Vektoren stehen senkrecht aufeinander, denn ihr Skalarprodukt ist 0.

Orthonormalbasis.PNG Die Orthonormalbasis

{\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}}

\mathbb{R}^3

und ein mit ihr dargesteller Vektor

\mathbf{r} = 3\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}

Allgemeiner Fall

(Eine anwendungsorientierte Herleitung zu diesem Thema bietet der Abschnitt zur Verallgemeinerung im Artikel Fouriertransformation)

Im allgemeinen Fall eines Innenproduktraums $V$ unendlicher Dimension, insbesondere eines Hilbertraums, nennt man

ein Orthonormalsystem $S$ in $V$ (eine Untermenge $S$ von $V$ , deren Elemente zueinander orthogonal sind und die die Norm 1 haben), dessen lineare Hülle dicht in $V$ liegt,
ein vollständiges Orthonormalsystem $S$ in $V$ (vollständig im Sinne der Funktionalanalysis, nicht im Sinne des vollständigen Raums),
ein Orthonormalsystem $S$ in $V$ , bei dem für jedes $v \in V$ die Fourierentwicklung $v=\sum_{u \in S} \langle v, u \rangle u$ existiert und gegen $v$ konvergiert,

eine Orthonormalbasis von $V$ .

Es ist zu beachten, dass im Sinne dieses Abschnitts, im Gegensatz zur endlichen Dimension, eine Orthonormalbasis keine Hamelbasis ist, d.h. ein Element aus v lässt sich nicht notwendigerweise mit endlich vielen Linearkombinationen aus $S$ , wohl aber mit abzählbar unendlich vielen, darstellen - mit anderen Worten, die lineare Hülle ist nicht gleich $V$ , liegt aber dicht in V. Jeder Vektorraum besitzt eine Hamelbasis, die aber möglicherweise überabzählbarer Dimension und von keinem praktischen Nutzen ist.

Allgemein findet man für Innenprodukträume und die vollständigen Innenprodukträume, die Hilberträume, folgende Sätze:

In einem Innenproduktraum $V$ ist ein Orthonormalsystem genau dann eine Orthonormalbasis, wenn die Parseval'sche Gleichung

\|x\|^2=\sum_{v\in B}|\langle x,v\rangle|^2

für alle

x \in V

erfüllt ist.

Jeder separable Innenproduktraum (nicht der Nullraum) besitzt eine Orthonormalbasis, die von höchstens abzählbarer Dimension ist.
In einem Hilbertraum $V$ ist ein Orthonormalsystem $S$ genau dann eine Orthonormalbasis, wenn es maximal ist, d.h. wenn für alle x aus V folgende Implikation gilt:

\left( \langle x, s \rangle = 0 \  \forall s \in S \right) \Rightarrow x=0

Jeder Innenproduktraum (nicht der Nullraum) besitzt maximale Orthonormalsysteme, und wenn es ein Hilbertraum ist, somit auch Orthonormalbasen.
Ein Hilbertraum besitzt genau dann eine abzählbare Orthonormalbasis, wenn er separabel ist.

Insbesondere besitzt also jeder separable und jeder vollständige Innenproduktraum eine Orthonormalbasis.

Siehe auch: Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren

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