Orthogonalsystem

In der linearen Algebra bezeichnet man eine Teilmenge M eines Innenproduktraums V als Orthogonalsystem, wenn gilt:

Der Nullvektor ist nicht in der Menge enthalten.
Je zwei verschiedene Vektoren aus M sind zueinander orthogonal: $\forall v,w \in M : v \ne w \Rightarrow \langle v, w \rangle = 0$ .

Mit $\langle v, w \rangle$ ist das Skalarprodukt des Raumes V gemeint, im euklidischen Raum also das euklidische Skalarprodukt.

In der Literatur wird der Nullvektor manchmal auch hinzugenommen, denn er steht orthogonal zu jedem Vektor. Dann gilt die nun gezeigte lineare Unabhängigkeit nicht mehr.

Das Konzept des Orthogonalsystems erlangt Bedeutung, wenn man aus dem System durch Normalisierung ein Orthonormalsystem macht und dieses zu einer Orthonormalbasis erweitert. Eine Voraussetzung ist schon für ein Orthogonalsystem gegeben:

Jedes Orthogonalsystem ist linear unabhängig.

Denn es sei $S = { v_1, ..., v_n }$ und es gelte

\sum_{\nu=1}^n \lambda_\nu v_\nu = 0.

Für jedes k zwischen 1 und n gilt also wegen der Orthogonalität und der Linearität des Innenprodukts

$0 = \langle 0, v_k \rangle = \left\langle ( \sum_{\nu=1}^n \lambda_\nu v_\nu ) , v_k \right\rangle = \lambda_k \langle v_k, v_k \rangle \Rightarrow \lambda_k=0,$

denn das Innenprodukt ist positiv definit. Die letzte Folgerung ist gleichbedeutend mit der linearen Unabhängigkeit.

Zu beliebigen linear unabhängigen Vektoren lässt sich mittels des Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens ein Orthogonalsystem berechnen, das den gleichen (Unter-)Vektorraum erzeugt.

Lineare Algebra

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