Orthodrome.png

Die Orthodrome (orthos "gerade", dromos "Lauf") ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte auf einer Kugeloberfläche.

Die Orthodrome ist immer ein Teilstück eines Großkreises. In der Luftfahrt fliegt man meist entlang dieser Orthodrome, um die geringste Flugstrecke zurücklegen zu müssen. Damit ist die Orthodrome mit der so genannten Luftlinie identisch.

Bei der Navigation von Punkt A nach B mit einem Kompass eignet sich die Loxodrome besser, da sie immer mit dem gleichen Winkel die Meridiane kreuzt. Dafür ist die Strecke der Loxodrome allerdings auch etwas länger als die der Orthodrome.

Loxodrome.jpg und Orthodrome]]

Rechenformeln

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Grundlage für die folgenden Berechnungen sind die Formeln aus der Sphärischen Trigonometrie.

Verwendete Variablen	Bedeutung
$\backslash ,\; \backslash phi$	Geographische Breite
$\backslash ,\; \backslash lambda$	Geographische Länge
$\backslash ,\; A\; (\backslash phi\_A,\; \backslash lambda\_A)$	Anfangspunkt
$\backslash ,\; B\; (\backslash phi\_B,\; \backslash lambda\_B)$	Endpunkt
$\backslash ,\; P\_N(\backslash phi\_N,\; \backslash lambda\_N)$	Nördlichster Punkt der Orthodrome
$\backslash ,\; \backslash alpha$	Kurswinkel bei A
$\backslash ,\; \backslash beta$	Kurswinkel bei B
$\backslash ,\; \backslash zeta$	Zentriwinkel (Strecke AB, ausgedrückt als Winkel)

Dabei ist $\backslash ,\; \backslash lambda$ in Richtung Westen positiv, Richtung Osten negativ; $\backslash ,\; \backslash phi$ ist positiv für Breiten der Nordhemisphäre und negativ auf der Südhalbkugel.

Nördlichster Punkt

Gnomonische_Abbildung.jpg werden Orthodrome immer als gerade Strecke abgebildet]] Berechnung des nördlichsten Punkts einer Orthodrome für einen Anfangspunkt A und einen Anfangs-Kurswinkel α:

$\backslash ,\; \backslash phi\_N\; =\; \backslash arccos\; \backslash Big(\; \backslash sin(|\backslash alpha\_A|)\; \backslash cdot\; \backslash cos(\backslash phi\_A)\; \backslash Big)$

$\backslash lambda\_N\; =\; \backslash operatorname\{sgn\}(\backslash alpha\_A)\; \backslash cdot\; \backslash left|\; \backslash arccos\; \backslash left(\; \backslash frac\{\backslash tan(\; \backslash phi\_A\; )\}\{\backslash tan(\; \backslash phi\_N\; )\}\backslash right)\; \backslash right|$

Strecke

Als Winkel lässt sich die Strecke folgendermaßen angeben: $\backslash ,\; \backslash zeta\; =\backslash arccos\backslash Big(\backslash sin(\backslash phi\_A)\; \backslash cdot\; \backslash sin(\backslash phi\_B)\; +\; \backslash cos(\backslash phi\_A)\; \backslash cdot\; \backslash cos(\backslash phi\_B)\; \backslash cdot\; \backslash cos(|\backslash lambda\_B\; -\; \backslash lambda\_A|)\; \backslash Big)$

Um die Distanz zwischen den zwei Punkten zu berechnen, muss $\backslash zeta$ noch mit dem Erdradius (rund 6.370 km) multipliziert werden (für $\backslash zeta$ im Bogenmaß; falls $\backslash zeta$ in Grad angegeben ist, muss noch zusätzlich mit $2\; \backslash pi\; /\; 360$ multipliziert werden).

Kurswinkel und rechtweisende Kurse

Kurswinkel

$\backslash alpha\; =\; \backslash arccos\; \backslash left(\; \backslash frac\{\backslash sin(\backslash phi\_B)\; -\; \backslash sin(\backslash phi\_A)\; \backslash cdot\; \backslash cos(\backslash zeta)\}\; \{\backslash sin(\backslash phi\_A)\; \backslash cdot\; \backslash sin(\backslash zeta)\}\backslash right)$

$\backslash beta\; =\; \backslash arccos\; \backslash left(\; \backslash frac\{\backslash sin(\backslash phi\_A)\; -\; \backslash sin(\backslash phi\_B)\; \backslash cdot\; \backslash cos(\backslash zeta)\}\; \{\backslash cos(\backslash phi\_B)\; \backslash cdot\; \backslash sin(\backslash zeta)\}\backslash right)$

rechtweisende Kurse A => B

$\backslash ,\; rwK\_A\; =\; \backslash alpha$

$\backslash ,\; rwK\_B\; =\; 180^\backslash circ\; -\; \backslash beta$

rechtweisende Kurse B => A

$\backslash ,\; rwK\_B\; =\; 360^\backslash circ\; -\; \backslash beta$

$\backslash ,\; rwK\_A\; =\; 180^\backslash circ\; +\; \backslash alpha$

Beispiel Berechnung der Entfernung Berlin - Tokio

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Geographische Koordinaten der Anfangs- und Endpunkte:

• Berlin
  • 52° 31' 0" N = 52,52°
  • 013° 24' 0" E = 013,40°
• Tokio
  • 35° 42' 0" N = 35,70°
  • 139° 46' 0" E = 139,77°

Winkelberechnung

$\backslash ,\; \backslash phi\_A\; =\; 52\{,\}52^\backslash circ$ $\backslash ,\; \backslash lambda\_A\; =\; -13\{,\}40^\backslash circ$

$\backslash ,\; \backslash phi\_B\; =\; 35\{,\}70^\backslash circ$ $\backslash ,\; \backslash lambda\_B\; =\; -139\{,\}77^\backslash circ$

$\backslash ,\; \backslash zeta\; =\backslash arccos\; \backslash Big(\; \backslash sin(\backslash phi\_A)\; \backslash sin(\backslash phi\_B)\; +\; \backslash cos(\backslash phi\_A)\backslash cos(\backslash phi\_B)\backslash cos(|\backslash lambda\_B\; -\; \backslash lambda\_A|)\; \backslash Big)$

$\backslash ,\; \backslash zeta\; =\backslash arccos\; \backslash Big(\; \backslash sin(52\{,\}517^\backslash circ)\; \backslash sin(35\{,\}70^\backslash circ)\; +\; \backslash cos(52\{,\}52^\backslash circ)\backslash cos(35\{,\}70^\backslash circ)\backslash cos(|-139\{,\}767^\backslash circ\; +\; 13,40^\backslash circ|)\; \backslash Big)$

$\backslash ,\; \backslash zeta\; =\backslash arccos(0\{,\}79353\; \backslash cdot\; 0\{,\}58354\; +\; 0\{,\}60853\; \backslash cdot\; 0\{,\}81208\; \backslash cdot\; (-0\{,\}59296)\; )$

$\backslash ,\; \backslash zeta\; =\backslash arccos(\; 0\{,\}1700)$

$\backslash ,\; \backslash zeta\; =\; 80\{,\}212^\backslash circ$ bzw. $\backslash ,\; \backslash zeta\; =\; 1\{,\}400$ (Bogenmaß)

Streckenberechnung

Zur Vereinfachung wird von einer Erdkugel mit U = 40.000 km bzw. 6.370 km Radius ausgegangen.

$\backslash ,\; L\; =\; \backslash frac\{\backslash zeta\}\{360^\backslash circ\}\; \backslash cdot\; 40\backslash ,000\backslash \; km$

$\backslash ,\; L\; =\; \backslash frac\{80\{,\}212^\backslash circ\}\{360^\backslash circ\}\; \backslash cdot\; 40\backslash ,000\backslash \; km$

$\backslash ,\; L\; =\; 8912\backslash \; km$

Oder für $\backslash ,\; \backslash zeta$ im Bogenmaß:

$\backslash ,\; L\; =\; \backslash zeta\; \backslash cdot\; 6370\backslash \; km$

$\backslash ,\; L\; =\; 8918\backslash \; km$

Das ist aufgrund der idealisierten Geodaten selbstverständlich nur eine Näherung. Die tatsächliche Entfernung zwischen Berlin und Tokyo kann bei Verwendung des WGS84 Referenzellipsoids zu 8941,2 km berechnet werden.

siehe auch: Geodätische Linie, Abweitung

Weblinks

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• Berechnung der Entfernung zwischen zwei geographischen Koordinaten

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