OrnsteinUhlenbeck3.png|thumb|450px|Drei Pfade von unterschiedlichen Ornstein-Uhlenbeck Prozessen mit σ=0.1, θ=1, μ=1:
navy: Startwert a=0 (f.s.)
olivgrün: Startwert a=2 (f.s.)
rot: Startwert so normalverteilt, dass der Prozess stationär ist]] Der Ornstein-Uhlenbeck-Prozess (oft abgekürzt: OU-Prozess) ist ein spezieller stochastischer Prozess, welcher nach den beiden niederländischen Mathematikern George Uhlenbeck (1900-1988) und Leonard Ornstein (1880-1941) benannt ist. Er ist neben der geometrischen Brownschen Bewegung einer der einfachsten über eine stochastische Differentialgleichung definierte Prozess.

Definition und Parameter

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Seien $a,\; \backslash mu\; \backslash in\; \backslash R$ und $\backslash theta,\; \backslash sigma\; >\; 0$ Konstanten. Ein stochastischer Prozess $(X\_t),\backslash ;t\backslash ge\; 0$ heißt Ornstein-Uhlenbeck-Prozess mit Anfangswert $a$, Gleichgewichtsniveau $\backslash mu$, Steifigkeit $\backslash theta$ und Diffusion $\backslash sigma$, wenn er das folgende stochastische Anfangswertproblem löst:

$dX\_t=\backslash theta(\backslash mu-X\_t)dt\; +\; \backslash sigma\; dW\_t,\backslash ;\backslash ;X\_0=a$,

wobei $(W\_t)$ ein Standard-Wiener-Prozess ist.

Die Parameter lassen sich einfach interpretieren und somit bei der Modellierung einer stochastischen Zeitreihe einfach als "Stellschrauben" verwenden:

• $\backslash mu$ ist das gleichgewichtige Niveau des Prozesses (engl: mean reversion level). liegt $X\_t$ über diesem Wert, so ist der Driftterm $\backslash theta(\backslash mu-X\_t)$ negativ und der Drift wird den Prozess tendentiell nach unten "ziehen". Ist X kleiner, so ist der Drift positiv und der Prozess wird in Erwartung nach oben gezogen.

• $\backslash theta$ (engl: mean reversion speed oder mean reversion rate) gibt an, wie stark die oben beschriebene "Anziehungskraft" von $\backslash mu$ ist. Für kleine Werte von $\backslash theta$ verschwindet dieser Effekt, für große Werte wird sich X sehr steif um $\backslash mu$entwickeln.

• $\backslash sigma$ gibt an, wie stark der Einfluss von $W\_t$ (also des Zufalls) auf den Prozess ist. Für $\backslash sigma=0$ wird X einfach exponentiell gegen $\backslash mu$ konvergieren, bei starker Diffusion wird diese Konvergenz zufällig gestört.

Der Unterschied zum ebenfalls mit dem mean-reversion-Mechanismus ausgestatteten Wurzel-Diffusionsprozess oder der geometrischen Brownschen Bewegung besteht im Wesentlichen darin, dass beim OU-Prozess der Diffusionsterm $\backslash sigma\; dW\_t$ konstant, also unabhängig von X ist. Dies führt dazu, dass der OU-Prozess im Gegensatz zu den anderen beiden auch negative Werte annehmen kann.

Lösung der Differentialgleichung

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Im Gegensatz zum Wurzel-Diffusionsprozess ist die obige Differentialgleichung explizit lösbar, wenn auch nicht (wie bei der geometrischen Brownschen Bewegung) integralfrei darstellbar: wendet man auf die zweidimensionale Funktion $f:\; \backslash R\; \backslash times\; \backslash R\_+\; \backslash to\; \backslash R,\; \backslash ;(X\_t,t)\; \backslash mapsto\; X\_t\; e^\{\backslash theta\; t\}$ einerseits das Lemma von Ito, andererseits die gewöhnliche Kettenregel der Differentialrechnung an, so erhält man

$df(X\_t,t)\; =\; \backslash theta\; X\_t\; e^\{\backslash theta\; t\}\backslash ,\; dt\; +\; e^\{\backslash theta\; t\}\; dX\_t\; =\; e^\{\backslash theta\; t\}\backslash theta\; \backslash mu\; \backslash ,\; dt\; +\; \backslash sigma\; e^\{\backslash theta\; t\}\; dW\_t.\; \backslash ,$.

Die obige Identität von 0 bis t aufintegriert (wobei $X\_0=a$) ergibt die Lösung

$X\_t\; =\; a\; e^\{-\backslash theta\; t\}\; +\; \backslash mu(1-e^\{-\backslash theta\; t\})\; +\; \backslash int\_0^t\; \backslash sigma\; e^\{\backslash theta\; (s-t)\}\; dW\_s$.

Eigenschaften

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• Der obigen Lösung sieht man an, dass es sich beim Ornstein-Uhlenbeck-Prozess um einen Gauß-Prozess handelt (der Integrand ist deterministisch, also ist der Wert des Ito-Integrals stets normalverteilt).

• Als Gauß-Prozess ist der OU-Prozess durch seine Erwartungswert- und Kovarianzfunktion in seiner Verteilung eindeutig bestimmt. Diese ergeben sich als

$E(X\_t)=\; a\; e^\{-\backslash theta\; t\}\; +\; \backslash mu(1-e^\{-\backslash theta\; t\})\backslash ,$ und

$\backslash operatorname\{Cov\}(X\_s,X\_t)=\backslash frac\{\backslash sigma^2\}\{2\backslash theta\}\backslash ,(e^\{-\backslash theta|s-t|\}-\; e^\{-\backslash theta(s+t)\}\; ).\backslash ,$.

Bei deterministischem Anfangswert a ist also $X\_t\; \backslash sim\backslash mathcal\{N\}(a\; e^\{-\backslash theta\; t\}\; +\; \backslash mu(1-e^\{-\backslash theta\; t\}),\; \backslash frac\{\backslash sigma^2\}\{2\backslash theta\}(1\; -\; e^\{-\; 2\; \backslash theta\; t\}\; ))$ verteilt.

• Da sowohl Erwartungswert als auch Varianz konvergieren, existiert eine stationäre Verteilung für den Markov-Prozess X: es handelt sich dabei um eine Normalverteilung mit Erwartungswert $\backslash mu$ und Varianz $\backslash frac\{\backslash sigma^2\}\{2\backslash theta\}$. Im Gegensatz zum Wiener-Prozess ist der Ohrenstein-Uhlenbeck-Prozess also (schwach) stationär. Man sagt dann, dass der Prozess ein "invariantes Maß" hat: Für jedes t gilt dann

$X\_t\; \backslash sim\backslash mathcal\{N\}(\backslash mu,\; \backslash frac\{\backslash sigma^2\}\{2\backslash theta\})$.

Ornstein-Uhlenbeck process | stochastische Prozesse