Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie versteht man unter der Ordnung eines Gruppenelementes $g$ oder Elementordnung die kleinste natürliche Zahl $n$, für die $g^n=1$ gilt. Gibt es keine derartige Zahl, so sagt man, $g$ habe unendliche Ordnung. Elemente endlicher Ordnung werden auch Torsionselemente genannt. Die Ordnung wird manchmal mit $\backslash operatorname\{ord\}(g)$ oder $o(g)$ bezeichnet.

Eigenschaften

• Nach dem Satz von Lagrange ist die Ordnung eines Elementes einer endlichen Gruppe ein Teiler der Gruppenordnung, d.h. der Anzahl der Elemente der Gruppe.
• Die Ordnung eines Elementes ist gleich der Gruppenordnung der von diesem Element erzeugten Untergruppe.
• In abelschen Gruppen ist die Ordnung des Produktes $gh$ ein Teiler des kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Ordnungen von $g$ und $h$. In nichtabelschen Gruppen ist keine derartige Aussage möglich; beispielsweise hat das Element der Gruppe SL₂(Z) unendliche Ordnung, es ist aber gleich dem Produkt der Elemente und mit den jeweiligen Ordnungen 2 bzw. 3.

Gruppentheorie

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