Beim optischen Doppler-Effekt handelt es sich um die Frequenzverschiebung von elektromagnetischer Strahlung, die durch die Relativgeschwindigkeit zwischen Lichtquelle und Empfänger bewirkt wird.

Bei sich verringerndem Abstand erhöht sich die Frequenz der Strahlung, wobei das Farbspektrum ins Blaue verschoben wird. Man spricht von der sogenannten Blauverschiebung. Bei sich vergrößerndem Abstand verringert sich die Frequenz der Strahlung, und es kommt zu einer Rotverschiebung. Letztere hat in der Astronomie eine große Bedeutung erlangt.

Den gleichen Effekt kann man auch in der Akustik feststellen: Ein Auto (zum Beispiel beim Motorsport) klingt sehr hoch, wenn es auf einen zufährt. Wenn es an einem vorbei gefahren ist, wird der Klang schlagartig tiefer.

Funktionsweise

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Im Folgenden wird gezeigt, wie sich der optische Doppler-Effekt mit Hilfe des Minkowski-Raumes (siehe Lorentz-Transformation und Minkowski-Raum) veranschaulichen lässt und wie sich die einschlägigen Gesetze herleiten lassen.

Wir betrachten zwei relativ zueinander mit der Geschwindigkeit $v$ bewegte Bezugssysteme $S$ (schwarz) und $S\text{'}$ (rot) im Minkowski-Raum. Irgendeines der beiden Systeme (hier $S$) stellen wir rechtwinklig dar. Wie üblich ist $w=c\; t$.

optdo01.png

Ein kontinuierlicher monochromatischer Lichtstrahl bewege sich längs der X-Achse nach rechts. Aus dem Lichtstrahl greife ich einen Wellenzug von gerade einer Wellenlänge $\backslash lambda$ heraus. Das Ende dieses Wellenzuges befinde sich zur Zeit $t=0$ gerade in O.

Im Minkowski-Raum bewegt sich der Wellenzug auf der Winkelhalbierenden der Achsen der Bezugssysteme, also unter dem Winkel 45° nach rechts oben. Die Punkte am Anfang, in der Mitte und am Ende des Wellenzuges sind durch hellblaue Punkte dargestellt. Ihre Weltlinien sind hellblaue Linien; die Weltlinien der übrigen Punkte des Wellenzuges bilden einen hellblauen Doppelstreifen.

Im System $S$ (schwarz) stellt sich die Wellenlänge $\backslash lambda$ als die Strecke OA dar, im System $S\text{'}$ (rot) als die Strecke OB. Es ist also $x(A)\; =\; \backslash lambda$ und $x\text{'}(B)\; =\; \backslash lambda\text{'}$. Offensichtlich ist $\backslash lambda\text{'}\; >\; \backslash lambda$. Die Koordinaten des Punktes B im System $S$ sind $(\backslash lambda\; +\; c\; \backslash Delta\; t;\; c\; \backslash Delta\; t)$. Daraus kann $x\text{'}(B)\; =\; \backslash lambda\text{'}$ berechnet werden: Aus der Gleichung

$x\text{'}\; =\; \backslash frac\; \{x\; -\; v\; t\}\; \{\backslash sqrt\{1\; -\; \backslash beta^2\}\}$

der Lorentz-Transformationen ergibt sich mit $x\text{'}\; =\; x\text{'}(B)\; =\; \backslash lambda\text{'},\; x\; =\; \backslash lambda\; +\; c\; \backslash Delta\; t$ und $t\; =\; \backslash Delta\; t$:

$\backslash lambda\text{'}\; =\; \backslash frac\; \{\backslash lambda\; +\; c\; \backslash Delta\; t\; -\; v\; \backslash Delta\; t\}\; \{\backslash sqrt\{1\; -\; \backslash beta^2\}\}\; =\; \backslash frac\; \{\backslash lambda\; +\; (c\; -\; v)\; \backslash Delta\; t\}\; \{\backslash sqrt\{1\; -\; \backslash beta^2\}\}$

Gemäß Abbildung ist

$\backslash frac\; \{c\; \backslash Delta\; t\}\; \{\backslash lambda\; +\; c\; \backslash Delta\; t\}\; =\; \backslash tan\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\; \{v\}\; \{c\}\; =:\; \backslash beta$

und folglich

$c\; \backslash Delta\; t\; =\; \backslash frac\; \{v\}\; \{c\}\; (\backslash lambda\; +\; c\; \backslash Delta\; t)$

$(c\; -\; v)\; \backslash Delta\; t\; =\; \backslash frac\; \{v\}\; \{c\}\; \backslash lambda\; =\; \backslash beta\; \backslash lambda$

Oben eingesetzt ergibt:

$\backslash lambda\text{'}\; =\; \backslash lambda\; \backslash frac\; \{1\; +\; \backslash beta\}\; \{\backslash sqrt\{1\; -\; \backslash beta^2\}\}$

= \lambda \sqrt { \frac { (1 + \beta)^2 } { (1 + \beta)(1 - \beta)} } = \lambda \sqrt { \frac {1 + \beta} {1 - \beta} }

Mit $\backslash lambda\text{'}\; =\; c/f\text{'}$ und $\backslash lambda\; =\; c/f$ ergibt sich:

$\backslash frac\; \{c\}\; \{f\text{'}\}\; =\; \backslash frac\; \{c\}\; \{f\}\; \backslash sqrt\; \{\; \backslash frac\; \{1\; +\; \backslash beta\}\; \{1\; -\; \backslash beta\}\; \}$

und schließlich

$f\; =\; f\text{'}\; \backslash sqrt\; \{\; \backslash frac\; \{1\; +\; \backslash beta\}\; \{1\; -\; \backslash beta\}\; \}$

Bewegt sich das System $S\text{'}$ gegenüber dem System $S$ nach links, dann ist $v$ durch $(-v)$ bzw. $\backslash beta$ durch $(-\backslash beta)$ zu ersetzen. Damit ist die grundlegende Formel für den optischen Doppler-Effekt hergeleitet, und zwar unabhängig davon, in welchen Systemen sich die Lichtquelle Q bzw. der Empfänger E befinden. Darüber kann beliebig verfügt werden, woraus sich dann die verschiedenen Fälle ergeben.

1. Fall: Lichtquelle Q in S'

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E befindet sich dann in S (allgemein: immer im jeweils anderen System). Da der betrachtete Wellenzug von links kommt, liegt auch Q links und bewegt sich auf E zu. Die Frequenz f' ist dann identisch mit der Quellenfrequenz f_Q, die Frequenz f identisch mit der vom Empfänger wahrgenommenen Frequenz f_E. Also gilt für den Fall, dass sich Q auf E (oder E auf Q) zu bewegt:

$f\_E\; =\; f\_Q\; \backslash sqrt\; \{\; \backslash frac\; \{1\; +\; \backslash beta\}\; \{1\; -\; \backslash beta\}\; \}$

2. Fall: Lichtquelle Q in S

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In diesem Fall bewegt sich E von Q (oder Q von E) weg. Die Quellenfrequenz f_Q ist dann identisch mit f, und die empfangene Frequenz f_E ist identisch mit f'. Also ist:

$f\_Q\; =\; f\_E\; \backslash sqrt\; \{\; \backslash frac\; \{1\; +\; \backslash beta\}\; \{1\; -\; \backslash beta\}\; \}$

und

$f\_E\; =\; f\_Q\; \backslash sqrt\; \{\; \backslash frac\; \{1\; -\; \backslash beta\}\; \{1\; +\; \backslash beta\}\; \}$

Dieses Ergebnis erweist sich als gleichwertig mit der Formel für den 1. Fall, wenn man bedenkt, dass sich S gegenüber S' nach links bewegt und daher v durch (-v) bzw. β durch (-β) ersetzt werden muss.