Die Oktaven, auch Oktonionen oder Cayleyzahlen, sind eine Verallgemeinerung der Quaternionen und besitzen das Mengensymbol $\backslash mathbb\{O\}$. Sie entstehen durch die Anwendung des Verdopplungsverfahrens aus den Quaternionen.

Geschichte

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Die Oktonionen wurden im Jahr 1843 von John Graves in einem Brief an William Rowan Hamilton zum ersten Mal beschrieben. Unabhängig davon wurden sie 1845 von Arthur Cayley veröffentlicht.

Multiplikationstabelle

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Die Oktonionen sind ein 8-dimensionaler Vektorraum über den reellen Zahlen mit Addition und Multiplikation. Die Multiplikation ist -- mit der Basis (1, i, j, k, l, m, n, o) -- wie folgt gegeben:

$\backslash begin\{matrix\}\; i^2=j^2=k^2=l^2=m^2=n^2=o^2=-1\backslash \backslash \; i=jk=lm=on=-kj=-ml=-no\backslash \backslash \; j=ki=ln=mo=-ik=-nl=-om\backslash \backslash \; k=ij=lo=nm=-ji=-ol=-mn\backslash \backslash \; l=mi=nj=ok=-im=-jn=-ko\backslash \backslash \; m=il=oj=kn=-li=-jo=-nk\backslash \backslash \; n=jl=io=mk=-lj=-oi=-km\backslash \backslash \; o=ni=jm=kl=-in=-mj=-lk\; \backslash end\{matrix\}$

Eigenschaften

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Die Oktonionen sind eine Divisionsalgebra mit Einselement.

Sie bilden keinen Schiefkörper (und damit auch keinen Körper), denn sie verletzen das

Assoziativgesetz der Multiplikation: $a\; \backslash cdot\; (\; b\; \backslash cdot\; c\; )\; =\; (\; a\; \backslash cdot\; b\; )\; \backslash cdot\; c$.

Es gilt jedoch für alle Oktaven a und b:

$a\; \backslash cdot\; (\; a\; \backslash cdot\; b\; )\; =\; (\; a\; \backslash cdot\; a\; )\; \backslash cdot\; b$ und $a\; \backslash cdot\; (\; b\; \backslash cdot\; b\; )\; =\; (\; a\; \backslash cdot\; b\; )\; \backslash cdot\; b$.

Diese Eigenschaft wird Alternativität genannt. Die Oktonionen bilden einen Alternativkörper.

Aus der Alternativität folgt die Beziehung

$a\; \backslash cdot\; (b\; \backslash cdot\; a)\; =\; (\; a\; \backslash cdot\; b\; )\; \backslash cdot\; a$.

Diese Beziehung wird auch Flexibilitätsgesetz genannt.

Die Oktonionen erfüllen außerdem die schärferen Moufang-Identitäten

$\backslash cdot\; (b\; \backslash cdot\; a)\backslash cdot\; c\; =\; a\; \backslash cdot\backslash cdot\; (a\; \backslash cdot\; c)$

und

$(a\; \backslash cdot\; b)\; \backslash cdot\; (c\; \backslash cdot\; a)\; =\; a\; \backslash cdot\backslash cdot\; c)\; \backslash cdot\; a$

Mehr

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Jede Oktave kann dargestellt werden ...

... als 8er-Tupel von reellen Zahlen: (r₁, r₂, ... , r₈)

... als 4er-Tupel von komplexen Zahlen: (c₁ , c₂, c₃, c₄)

... als geordnetes Paar von Quaternionen: (h₁ , h₂)

Der Körper der reellen Zahlen $\backslash mathbb\{R\}$ kann als Unterstruktur von $\backslash mathbb\{O\}$ betrachtet werden:

Für alle Zahlen r aus $\backslash mathbb\{R\}$ gilt: r entspricht (r, 0, ... , 0)

Der Körper der komplexen Zahlen $\backslash mathbb\{C\}$ kann als Unterstruktur von $\backslash mathbb\{O\}$ betrachtet werden:

Für alle Zahlen c aus $\backslash mathbb\{C\}$ gilt: c entspricht (c, 0, 0, 0)

Der Schiefkörper der Quaternionen $\backslash mathbb\{H\}$ kann als Unterstruktur von $\backslash mathbb\{O\}$ betrachtet werden:

Für alle Zahlen h aus $\backslash mathbb\{H\}$ gilt: h entspricht (h, 0)

Für die Oktaven sind Addition und Multiplikation so definiert, dass sie abwärtskompatibel sind, das heißt ...

... für alle reellen Zahlen r und s gilt:

$r\; +\; s\; =\; (r,\; 0,\; ...\; ,\; 0)\; +\; (s,\; 0,\; ...\; ,\; 0)$

$r\; \backslash cdot\; s\; =\; (r,\; 0,\; ...\; ,\; 0)\; \backslash cdot\; (s,\; 0,\; ...\; ,0)$

... für alle komplexen Zahlen c und d gilt:

$c\; +\; d\; =\; (c,\; 0,\; 0,\; 0)\; +\; (d,\; 0,\; 0,\; 0)$

$c\; \backslash cdot\; d\; =\; (c,\; 0,\; 0,\; 0)\; \backslash cdot\; (d,\; 0,\; 0,\; 0)$

... für alle Quaternionen h und i gilt:

$h\; +\; i\; =\; (h,\; 0)\; +\; (i,\; 0)$

$h\; \backslash cdot\; i\; =\; (h,\; 0)\; \backslash cdot\; (i,\; 0)$

Literatur

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• B. L van der Waerden: A history of Algebra, Springer-Verlag Heidelberg.
• Ruth Moufang: Zur Struktur von Alternativkörpern, Math. Ann. 110(1934)416.
• John Baez, The Octonions, Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 145-205. Online HTML version at http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/.
• John Conway and Derek Smith, On Octonions and Quaternions, A K Peters, Natick, MA (2003). ISBN 1-56881-134-9.

Verwandte Themen

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Zahlenbereiche:

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