Das Nyquist-Shannonsche Abtasttheorem, in neuerer Literatur auch WKS-Sampling-Theorem (für Whittaker-Kotelnikow-Shannon) genannt, ist ein grundlegendes Theorem der Nachrichtentechnik, Signalverarbeitung und Informationstheorie. Claude Elwood Shannon formulierte es 1948 als Ausgangspunkt seiner Theorie der maximalen Kanalkapazität, d.h. der maximalen Bitrate in einem frequenzbeschränkten, rauschbelasteten Übertragungskanal. Dabei stützte er sich auf Überlegungen von Harry Nyquist (1928) zur Übertragung endlicher Zahlenfolgen mittels trigonometrischer Polynome und auf die Theorie der Kardinalfunktionen von Edmund Taylor Whittaker (1915) und seinem Sohn John Macnaughten Whittaker (1929) Unabhängig davon wurde das Abtasttheorem 1933 von Wladimir Alexandrowitsch Kotelnikow [3 in der sowjetischen Literatur eingeführt, was im Westen allerdings erst in den 1950er Jahren bekannt wurde. Ansätze zur Interpolation mittels Kardinalreihen oder ähnlicher Formeln lassen sich bis in die Mitte des 19. Jahrhunderts zurückverfolgen.

Das Abtasttheorem besagt, dass ein kontinuierliches, bandbegrenztes Signal mit einer Minimalfrequenz von 0 Hz und einer Maximalfrequenz f_max mit einer Frequenz größer als 2 · f_max abgetastet werden muss, damit man aus dem so erhaltenen zeitdiskreten Signal das Ursprungssignal ohne Informationsverlust (aber mit unendlich großem Aufwand) rekonstruieren bzw. (mit endlichem Aufwand) beliebig genau approximieren kann.

Für Nicht-Basisband-Signale, die eine minimale Frequenz größer 0 Hz haben, gilt das Abtasttheorem in einer verallgemeinerten Form, die Abtastfrequenz muss dann größer als zweimal die Bandbreite (= zweimal die Grenzfrequenz) des Signals sein (siehe Abschnitt Unterabtastung).

Für untere Grenzfrequenz gleich 0:

$f\_\{\backslash rm\; abtast\}\; >\; 2\backslash ,f\_\{\backslash rm\; max\}$

und allgemein (auch für untere Grenzfrequenz größer als 0):

$f\_\{\backslash rm\; abtast\}\; >\; 2(\backslash ,f\_\{\backslash rm\; obereGrenzfrequenz\}\; -\; f\_\{\backslash rm\; untereGrenzfrequenz\})$

In der Praxis bedeutet das Abtasttheorem, dass man vor der Abtastung die maximale Frequenz kennen oder herausfinden muss (zum Beispiel mit Hilfe der Fourier-Analyse eines hochfrequent abgetasteten Signals) und dass dann das Signal (z. B. zum Zwecke der Digitalisierung) mit mehr als der doppelten Frequenz abgetastet werden muss, wenn man das Signal in guter Näherung rekonstruieren will.

Das Nyquist-Shannon Abtasttheorem findet bei jeder Digitalisierung Anwendung. $\backslash frac\{1\}\{2\}\; f\_\{\backslash rm\; abtast\}$ nennt man, nach Vorschlag von C. E. Shannon, die Nyquist-Frequenz.

Analog gilt das Abtasttheorem auch bei Bildern, wobei die Abtastfrequenz dann in Linien (bzw. Pixel) pro Längeneinheit bestimmt werden kann.

Erklärung der Begriffe

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• Ein bandbeschränktes Signal x mit einer maximalen Frequenz F:=f_max ist eine Funktion, für welche die Fouriertransformierte $X=\backslash mathcal\; F(x):\backslash R\backslash to\backslash mathbb\; C$ existiert und diese Fouriertransformierte außerhalb des Intervalls $F,2\backslash pi\; F$ Null ist. Dann kann umgekehrt das bandbeschränkte Signal durch die inverse Fouriertransformation der Frequenzdichte dargestellt werden:

$x(t)=\backslash frac1\{\backslash sqrt\{2\backslash pi\}\}\backslash int\_\{-2\backslash pi\; F\}^\{2\backslash pi\; F\}\; X(\backslash omega)e^\{i\backslash omega\backslash ,t\}\backslash ,\; d\backslash omega$.

„Gute“, zulässige Funktionen für die Frequenzdichte X sind beispielsweise stückweise stetige Funktionen, für welche in jedem Punkt beide der einseitigen Grenzwerte existieren. Allgemeiner sind Funktionen aus dem Funktionenraum $L^2(F,2\backslash pi\; F,\backslash mathbb\; C)$ zulässig.

Ist x reellwertig, so gilt $X(-\backslash omega)=\backslash overline\{X(\backslash omega)\}$. Wird X in Polarkoordinaten dargestellt, $X(\backslash omega)=|X(\backslash omega)|e^\{i\backslash ,\backslash phi(\backslash omega)\}$, so erhalten wir x mittels eines Integrals mit reellem Integranden,

$$

x(t)=\sqrt{\frac2\pi}\int_0^{2\pi F}|X(\omega)|\,\cos(\omega\,t+\phi(\omega))\, d\omega .

In der kartesischen Darstellung $X(\backslash omega)=A(\backslash omega)+iB(\backslash omega)$ ergibt sich analog

$$

x(t)=\sqrt{\frac2\pi}\int_0^{2\pi F}\left( A(\omega)\,\cos(\omega\,t)-B(\omega)\,\sin(\omega\,t)\right)\, d\omega .

• Abtasten mit der doppelten Frequenz bedeutet hier, dass Funktionswerte in gleichmäßigen Abständen genommen werden, wobei ein einfacher Abstand T=1/(2F) beträgt, d.h. aus x wird die Zahlenfolge x^*:=x(kT) konstruiert. Nach der Fourierdarstellung ergeben sich diese Werte aus der Frequenzdichte als

$x(kT)=\backslash frac1\{\backslash sqrt\{2\backslash pi\}\}\backslash int\_\{-2\backslash pi\; F\}^\{2\backslash pi\; F\}\; X(\backslash omega)e^\{i\backslash frac\{k\backslash omega\}\{2F\}\}\backslash ,\; d\backslash omega$.

Diese sind aber gerade die Koeffizienten in der Fourierreihenentwicklung

$X(\backslash omega)=\backslash frac1\{\backslash sqrt\{2\backslash pi\}\backslash ,2F\}\backslash sum\_\{k=-\backslash infty\}^\backslash infty\; x(kT)\; e^\{-i\backslash frac\{k\backslash omega\}\{2F\}\}.$

Somit ist die Frequenzdichte und damit das Signal schon durch die Werte der Abtastfolge vollständig determiniert.

• Rekonstruieren ohne Informationsverlust meint, dass die Lagrange-Interpolation, ausgeweitet auf den Fall mit unendlich vielen, regelmäßig angeordneten Stützstellen, wieder das Ausgangssignal ergibt

$$

x(t)=y(t):=\sum_{k=-\infty}^\infty x_k\prod_{j\in\mathbb Z,\;j\ne k}\frac{t-jT}{kT-jT} =\sum_{k=-\infty}^\infty x(kT)\ \mathrm{sinc}(t/T-k) .

Man beachte, das zur Bestimmung eines jeden Signalwertes eine Summation über einen unendlichen Bereich notwendig ist. Außerdem müssen unendlich viele Takte abgewartet werden, bevor die Summation abgeschlossen werden kann.

Die Funktion sinc(x)=sin(πx)/(πx), der Sinus cardinalis, ist dabei der ideale Interpolationskern für ganzzahlige Stützstellen, es ist sinc(0)=1, sinc(n)=0 für jedes weiter ganzzahlige n. Die interpolierende Reihe wird auch, nach Whittakers Notation, als Kardinalreihe bezeichnet, dabei bezieht sich die Vorsilbe kardinal auf die herausragende Rolle als „schwankungsärmste“ unter allen interpolierenden Funktionenreihen. Die sinc-Funktion hat, bis auf einen Faktor, die Rechteck-Funktion rect(x/(2π)) als Fourier-Transformierte, diese hat den Wert 1 auf dem Intervall π, sonst den Wert Null. Sie ist also bandbeschränkt mit höchster Frequenz 1/2.

Die Entwicklung als Kardinalreihe ergibt sich nun ganz natürlich, indem die Fourierreihe der Frequenzdichte in die inverser Fouriertransformation eingesetzt wird,

$$

x(t)=\frac1{4\pi F}\,\sum_{k=-\infty}^\infty x(kT) \int_{-2\pi F}^{2\pi F} e^{-i\frac{k\omega}{2F}+i\omega t}\,d\omega =\sum_{k=-\infty}^\infty x(kT) \sin\!c(2Ft-k) .

• Ein reelles Nicht-Basisband-Signal muss, um Abtastung durch Funktionswerte zu erlauben, eine nur für Frequenzen aus dem Intervall ^* nicht verschwindende Fourier-Transformierte haben. Dann ist F die einseitige Bandbreite. Dies kann auf Frequenzbänder beliebigen Zuschnitts verallgemeinert werden, allerdings ist dann das Abtasten nicht durch Funktionswerte, sondern durch Skalarprodukte zu definieren. Ein Beispiel dafür ist das Frequenzmultiplexverfahren, s. auch OFDM.

Bemerkung: Kein endliches Signal, d.h. keine Funktion mit einem endlichen Träger erfüllt die Voraussetzungen an eine bandbeschränkte Funktion. Ebensowenig fallen periodische Signale, wie z.B. reine Sinusschwingungen, in den Bereich dieses Theorems; genausowenig Signale mit Knicken oder Sprüngen. Es ist somit als ideale Aussage in einer idealen Situation zu betrachten. Dem Ideal am nächsten kommen modulierte Schwingungen, wie Musik- oder Sprachaufzeichnungen, welche zum Speichern auf CD gesampelt und digitalisiert werden sollen. Für andere praktische Zwecke, z.B. digitale Bildbearbeitung, müssen Varianten des Abtasttheorems mit nicht ganz so starken Anforderungen gefunden werden, für welche dieses Theorem dann Richtschnur ist. (Siehe Quelle: M. Unser: Sampling...)

Tiefpass zur Verhinderung von Signalstörungen

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Eventuell enthaltene Signalanteile mit einer Frequenz größer der halben Abtastfrequenz müssen vor der Abtastung mit einem (analogen) Tiefpass-Filter aus dem Signal entfernt werden, da es sonst zu Artefakten kommt. Die Entfernung dieser Anteile führt zu einer Veränderung des Signals und sollte nur angewendet werden, wenn diese Änderung unwesentlich ist oder eine Erhöhung der Abtastfrequenz nicht in Frage kommt. Die Artefakte sind Alias-Signale (Störsignale, Pseudosignale), die sich als störende Frequenzanteile bemerkbar machen. Wird zum Beispiel ein Sinussignal, das eine Frequenz von 1600 Hz hat, mit einer Abtastfrequenz von 2000 Hz digitalisiert, erhält man ein 400 Hz Alias-Signal (2000-1600 Hz). Bei einer Abtastfrequenz über 3200 Hz entsteht dagegen kein Alias-Signal. Eine Abtastfrequenz von zum Beispiel 3300 Hz führt zu einem Differenzsignal von 1700 Hz (3300-1600 Hz). Dieses ist jedoch größer als die halbe Abtastrate und wird demnach bei der Rekonstruktion durch einen Tiefpass entfernt.

Mathematischer Hintergrund

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Zu mathematischen Grundlagen siehe: Lebesgue-Integral, Lebesgue-Raum, Fourier-Transformation

Durch Skalieren der Zeitabhängigkeit kann jedes bandbeschränkte Signal x(t) auf den Frequenzbereich ½, bzw. π als Kreisfrequenzbereich, reduziert werden. Die Frequenzdichte g(f) muss eine Funktion beschränkter Variation sein, wie es z.B. stückweise stetige Funktionen sind. Dann ist x(t) eine stetige, beliebig oft differenzierbare, absolut- und quadratintegrable Funktion, $x\backslash in\; L^2(\backslash mathbb\; R)\backslash cap\; L^1(\backslash mathbb\; R)\backslash cap\; C^\backslash infty(\backslash mathbb\; R)$, und hat eine Fourier-Transformierte $X=\backslash hat\; x\backslash in\; L^2(\backslash mathbb\; R)$ mit Träger $\backslash mbox\{supp\}\backslash ,\backslash hat\; x\backslash subset*$.

Der Funktionswert x(t) an jedem beliebigen Punkt t ist unter diesen Voraussetzungen schon allein durch die Funktionswerte x(n) an allen ganzzahligen Punkten t=n festgelegt, es gilt:

$$

x(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty x(n)\cdot \frac{\sin(\pi(t-n))}{\pi(t-n)} =\frac{\sin(\pi t)}{\pi}\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{(-1)^n x(n)}{t-n} .

Diese Gleichung enthält zwei nichttriviale Aussagen: 1) Die unendliche Reihe konvergiert, und 2) der Grenzwert ist immer identisch mit dem Funktionswert x(t).

Die Identität einer bandbeschränkten Funktion mit ihrer oben angegebenen Kardinal-Reihe (nach Whittaker) ergibt sich aus der Poissonschen Summenformel, es gilt

$\backslash hat\; x(\backslash omega)=\backslash sum\_\{k\backslash in\backslash mathbb\; Z\}\; \backslash hat\; x(2\backslash pi\; k+\backslash omega)=\backslash frac1\{\backslash sqrt\{2\backslash pi\}\}\backslash sum\_\{n\backslash in\backslash mathbb\; Z\}\; x(n)e^\{-i\backslash omega\; n\}$,

woraus sich nach der Formel der Inversen Fourier-Transformation

$$

x(t)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb R}\hat x(\omega)e^{i\omega t}\,d\omega =\frac1{2\pi}\sum_{n\in\mathbb Z}f(n)\int_{-\pi}^\pi e^{i\omega(t-n)}\,d\omega =\sum_{n\in\mathbb Z}f(n)\frac{\sin(\pi(t-n))}{\pi(x-n)}

Durch geschickte Anwendung der allgemeinen Abtastformel kann man auch verallgemeinerte Kardinalreihenentwicklungen erhalten, z.B.

$x(t)=\backslash sum\_\{n\backslash in\backslash mathbb\; Z\}\backslash left(x(2n)+\backslash dot\; x(2n)(t-2n)\backslash right)\backslash \; \backslash mathrm\{sinc\}\backslash left(\backslash pi(t/2-n)\backslash right)^2$,

d.h. die Abtastrate ist halbiert, dafür werden an jedem Abtastpunkt zwei Werte genommen, der Funktionswert und die erste Ableitung. Es wird gewissermaßen lokal linear entwickelt und die Entwicklungen mittels einer Zerlegung der Eins „zusammengeklebt“. Formeln mit Ableitungen höherer Ordnung erlauben keine so einfache Interpretation. (Siehe Five ...)

Ist f bandbeschränkt auf Kreisfrequenzen aus dem Intervall Nπ und sind a₁,...,a_N paarweise verschiedene reelle Zahlen, so gilt

$$

f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty \left(\prod_{i=1}^N\ \mathrm{sinc}(x-n-a_i)\right)\cdot\left( \sum_{j=1}^N f(n+a_j)\prod_{k\ne j,k=1}^N\frac{x-n-a_k}{(a_j-a_k)\ \mathrm{sinc}(a_j-a_k)}\right) Der erste Faktor im Summanden ist die Kernfunktion einer Zerlegung der Eins, der zweite Faktor ein Interpolationspolynom, welches der Lagrange-Interpolation ähnlich sieht. Lässt man die a_k simultan nach 0 laufen und ersetzt f(n+a_k) durch das Taylor-Polynom vom Grad N-1 oder größer, so ergeben sich beliebig komplexe differentielle Kardinalreihen.

Artefakte

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Wird die Abtastfrequenz unbedacht zu klein gewählt, treten Artefakte auf.

Beispiel Bilder

Alias-Signale treten auch beim Scannen von Vorlagen mit wechselnden Ortsfrequenzen auf, man spricht dann von einem Moiré-Effekt. (z.B. Kleidungsstücke wie Wollpullis oder Anzüge mit dünnen Streifen, auch Ziegeldächer etc.) Oft sind Moirés auch im Fernsehen zu sehen, wenn Moderatoren Nadelstreifenanzüge tragen.

Im hier vorliegenden Fall ist die Ursache eine Überlagerung der Spektren der Abtast-Funktion, deren Ausgangssignale mit f_abtast periodisch sind.

Beispiel Töne

Das erste Klangbeispiel lässt einen Ton erklingen, dessen Frequenz von ca. 100Hz bis über 8000Hz linear zunimmt (die Original-Abtastfrequenz von 16kHz wurde bei der Transformation in das Ogg-Vorbis Format auf 42kHz heraufgesetzt). Das zweite Beispiel gibt fast das gleiche Signal wieder, diesesmal mit 8000Hz abgetastet. Durch Unterabtastung werden Töne oberhalb von 4000Hz falsch ausgelesen mit dem Ergebnis, dass eine Tonhöhe aufgezeichnet wird, die abfällt, statt zu steigen.

• Sampl1600rp.ogg
• Sampl8000rp.ogg

Modifizierte Formel für praktische Anwendung

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In der Praxis gibt es (prinzipiell aus Gründen der Kausalität) keinen idealen Tiefpass. Er hat immer einen gewissen Übergangsbereich zwischen praktisch keiner Dämpfung im Durchlassbereich und praktisch vollständiger Dämpfung im Sperrbereich. Daher verwendet man in der Praxis eine modifizierte Formel:

Beispiel:

$f\_\{\backslash rm\; abtast\}\; \backslash approx\; 2\{,\}2\; \backslash cdot\; f\_\{\backslash rm\; max\}$

Bei einer CD werden Frequenzen bis 20 kHz übertragen, die Abtastfrequenz beträgt 44,1 kHz.

Der verwendete Faktor ist abhängig vom verwendeten Tiefpassfilter und von der benötigten Dämpfung der Alias-Signale. Andere gebräuchliche Faktoren sind 2,4 (DAT, DVD) und 2,56 (FFT-Analysatoren)

Überabtastung

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Wenn man eine höhere Abtastfrequenz wählt, erhält man keine zusätzlichen Informationen. Der Aufwand für Verarbeitung, Speicherung und Übertragung steigt jedoch. Trotzdem wird Überabtastung (oversampling) häufig angewendet.

Liegt nämlich die Nutzbandbreite B sehr nahe bei der halben Abtastfrequenz, so werden sehr hohe Anforderungen an die Flankensteilheit des Tiefpassfilters gestellt. Diese analogen Filter können häufig nur mit großem Aufwand abgeglichen werden.

Überabtastung erlaubt es, die Anforderungen an das analoge Tiefpassfilter drastisch zu reduzieren, indem die steilflankige Bandbegrenzung auf ein präzises Digitalfilter hoher Ordnung verlagert wird. (In der Praxis wird häufig ein Überabtastungsfaktor $M\; =\; 2$ oder $M\; =\; 4$ gewählt).

Somit braucht man weniger steile analoge Filter vor dem Abtasten. Nach der Abtastung wird dann das digitale Filter angewendet und gleichzeitig die Abtastfrequenz reduziert. Das digitale Filter wird auch als Dezimationsfilter bezeichnet.

Mathematisch ausgedrückt hat ein ideales Tiefpassfilter eine Rechteckfunktion als Frequenzantwort (Übertragungsfunktion oder Frequenzgang), welche nur die Werte 0 und 1 annimmt und den Bereich ^* der Nutzbandbreite markiert. +---+ | |

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+ +

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-B B

Schneidet man mit einer solchen Filterfunktion im Frequenzraum ab, so wird das gefilterte Signal perfekt aus den Abtastpunkten rekonstruiert. Aus prinzipiellen Gründen (Kausalität und Unstetigkeit) ist ein solches ideales Tiefpassfilter physikalisch nicht zu realisieren.

Deswegen verwendet man ein analoges Filter, das eine stetige, trapezähnliche Funktion als Frequenzantwort bzw. Frequenzgang aufweist,

+---+ / \ ____/ \____ -MB -B B MB

deren Flanken mit endlicher Steigung zu- bzw. abnehmen. Auf dem Intervall der Nutzbandbreite nimmt diese den Wert 1 an, außerhalb des Intervalls [-MB,MB ist die Frequenzantwort 0. Ein Filter, das diese Anforderungen erfüllt, kann physikalisch realisiert werden. Nach dem Abtasten erfolgt die digitale Glättung auf die Nutzbandbreite und das Heruntertakten. Die Flankensteilheit hat offensichtlich einen Einfluss auf die Güte des rekonstruierten Signals.

Unterabtastung (Sub-Nyquist-Sampling)

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Das Konzept f_abtast > 2 · f_max ist eine vereinfachte Darstellung, die allerdings sehr gebräuchlich und nützlich ist. Genau genommen muss anstelle von f_max die Bandbreite stehen, welche definiert ist durch den Bereich zwischen niedrigster und höchster im Signal vorkommenden Frequenz. Nur in Basisbandsignalen ist die Bandbreite mit f_max identisch, Basisbandsignale sind Signale mit niederfrequenten Anteilen in der Nähe von 0 Hz.

Diese Erkenntnis führte zu einem Konzept namens Unterabtastung, welches z. B. in digitaler Radiotechnik Verwendung findet. Angenommen, man möchte alle Radiosender empfangen, die zwischen 88 und 108 MHz senden. Interpretiert man das Abtasttheorem wie bisher beschrieben, so müsste die Abtastfrequenz über 216 MHz liegen. Tatsächlich wird aber durch die Technik der Unterabtastung nur eine Abtastfrequenz von etwas mehr als 40 MHz benötigt. Voraussetzung dafür ist, dass vor der Abtastung aus dem Signal mittels Bandpassfilter alle Frequenzen außerhalb des Frequenzbereichs von 88–108 MHz entfernt werden. Die Abtastung erfolgt beispielsweise mit 44 MHz, ohne dass der relevante Bereich von einem analogen Mischer umgesetzt würde – das Ergebnis ist quasi ein Alias-Signal und entspricht dem Signal, das bei Abtastung eines per Mischer auf 0–22 MHz umgesetzten Bereichs entstünde.

Um die notwendige punktförmige Abtastung wenigstens näherungsweise realisieren zu können, muss das Ausleseintervall jedoch so eng angelegt werden, dass insgesamt eine Abtastfrequenz von 220 MHz oder mehr erreicht wird. Nur kann die digitale Nachfilterung hier auf das Weglassen der vier Zwischenwerte und Beibehalten jeden 5. Wertes beschränkt werden.

Literatur

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• Claude Elwood Shannon: [http://www.stanford.edu/class/ee104/shannonpaper.pdf Communication in the Presence of Noise; In: Proc. IRE, Vol. 37, No. 1 (Jan. 1949), Nachdruck in: Proc.. IEEE, Vol. 86, No. 2, (Feb 1998)
• ^* J. M. Whittaker: The Fourier theory of the cardinal functions, Proc. Edinburgh Math. Soc. 1(1929)
• ^* V. A. Kotelnikow: On the transmission capacity of "ether" and wire in electrocommunications, Izd. Red. Upr. Svyazzi RKKA (1933)
• Harry Nyquist: Certain Topics in Telegraph Transmission Theory,Trans. Amer. Inst. Elect. Eng. 47, pp. 617-644(1928). Nachdruck in: Proc.. IEEE, Vol. 90, No. 2, (Feb 2002)
• J. R. Higgins: Five short stories about the cardinal series, Bulletin of the AMS 12(1985)
• Michael Unser: Sampling-50 Years after Shannon
• Artikel "Signalabtastung" in Funkamateur 5/2004, S. 457

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