Als Nullstelle bezeichnet man in der Mathematik den Punkt, an dem der Graph einer Funktion f(x) die x-Achse berührt oder schneidet. Der (y-)Wert der Funktion ist an dieser Stelle gleich Null.

Nullstellen reeller Funktionen

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Einfache Nullstellen

Ein Element $x\_0$ der Definitionsmenge $D$ einer Funktion $f\backslash colon\; D\backslash to\backslash mathbb\; R$ heißt Nullstelle von $f$, wenn $f(x\_0)=0$ gilt. Man sagt dann auch: $f$ hat eine Nullstelle bei $x\_0$, oder $f$ verschwindet an der Stelle $x\_0.$

Mehrfache Nullstellen

Es sei $k$ eine natürliche Zahl. Eine $(k-1)$-mal differenzierbare Funktion $f\backslash colon\; D\backslash to\backslash mathbb\; R$ mit einer offenen Teilmenge $D\backslash subseteq\backslash mathbb\; R$ hat in $x\_0\backslash in\; D$ eine $k$-fache Nullstelle oder eine Nullstelle der Ordnung $k$, wenn die ersten $k-1$ Ableitungen von $f$ an der Stelle $x\_0$ den Wert null annehmen:

$f(x\_0)=0,\backslash quad\; f\text{'}(x\_0)=0,\backslash quad\; f\text{'}\text{'}(x\_0)=0,\backslash quad\backslash ldots,\backslash quad\; f^\{(k-1)\}(x\_0)=0.$

Beispielsweise hat eine Funktion genau dann eine zweifache Nullstelle, wenn sie und ihre Ableitung eine gemeinsame Nullstelle haben.

Weitere Eigenschaften:

• Eine Funktion $f$ hat genau dann eine $k$-fache Nullstelle bei $x\_0$, wenn $f$ eine Nullstelle und $f^\backslash prime$ eine $(k-1)$-fache Nullstelle bei $x\_0$ hat.
• Eine $(k-1)$-mal stetig differenzierbare Funktion $f$ hat genau dann eine $k$-fache Nullstelle bei $x\_0$, wenn es eine stetige Funktion $g$ gibt, so dass

$f(x)=(x-x\_0)^\{k-1\}g(x)$ und $g(x\_0)=0$

gilt.

Existenz und Berechnung von Nullstellen

Aus dem Zwischenwertsatz kann man oft indirekt die Existenz einer Nullstelle erschließen: Ist von zwei Funktionswerten $f(a)$, $f(b)$ einer stetigen Funktion einer positiv und einer negativ, so hat $f$ mindestens eine Nullstelle zwischen $a$ und $b$. (Anschaulich gesprochen muss der Funktionsgraph, der die beiden Punkte $(a,f(a))$ und $(b,f(b))$ verbindet, die $x$-Achse schneiden.)

Je nach Funktion kann es schwer oder unmöglich sein, die Nullstellen explizit zu bestimmen, d.h. die Gleichung

$f(x)=0$

nach $x$ aufzulösen. In diesem Fall kann man Näherungswerte für Nullstellen mithilfe verschiedener numerischer Verfahren, beispielsweise der Bisektion, des Newton-Verfahrens oder der Fixpunktiteration bestimmen.

Nullstellen von Polynomen

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Ist $R$ ein Ring und $f\backslash in\; R*$ ein Polynom über $R$, so heißt ein Element $x\backslash in\; R$ Nullstelle von $f$, wenn die Einsetzung von $x$ in $f$ Null ergibt:

$f(x)=0.$

Ist $R\backslash to\; S$ ein Ringhomomorphismus, so können analog Nullstellen von $f$ in $S$ definiert werden.

Mithilfe der Polynomdivision kann man zeigen, dass $x\backslash in\; R$ genau dann eine Nullstelle von $f$ ist, wenn $f$ durch $X-x$ teilbar ist, d.h. wenn es ein Polynom $g$ gibt, so dass

$f(X)\; =\; (X-x\_0)g(X)$

gilt. Diese Aussage wird manchmal auch Nullstellensatz genannt; es besteht jedoch Verwechslungsgefahr mit dem hilbertschen Nullstellensatz.

Eine $k$-fache Nullstelle oder Nullstelle der Ordnung $k$ ist ein Element $x\backslash in\; R$, so dass $f$ durch $(X-x)^k$ teilbar ist. Man nennt $k$ auch die Vielfachheit oder Multiplizität der Nullstelle.

Bestimmung der Nullstellen von Polynomen kleinen Grades

Für Polynome über einem Körper, deren Grad höchstens vier ist, gibt es allgemeine Verfahren, die Nullstellen zu bestimmen:

• Grad 1: siehe lineare Gleichung. Das Polynom $ax+b$ hat die Nullstelle $x=-b/a$.
• Grad 2: siehe quadratische Gleichung
• Grad 3: siehe kubische Gleichung
• Grad 4: siehe biquadratische Gleichung oder quartische Gleichung

Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten

Ist $a\_nx^n+a\_\{n-1\}x^\{n-1\}+\backslash ldots+a\_1x+a\_0$ ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, so ist jede ganzzahlige Nullstelle ein Teiler von $a\_0$.

Aus dem Lemma von Gauß folgt: Ist $x^n+a\_\{n-1\}x^\{n-1\}+\backslash ldots+a\_1x+a\_0$ ein normiertes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, so ist jede rationale Nullstelle ganzzahlig und damit ein Teiler von $a\_0$.

Beispiel

Die Teiler $-2,-1,1,2$ des Absolutglieds von $p(X)=X^3-X-2$ sind keine Nullstellen, also hat $p$ keine rationalen Nullstellen. Da jede Faktorisierung von $p$ einen Linearfaktor enthalten müsste, folgt daraus, dass $p$ über $\backslash mathbb\; Q$ irreduzibel ist.

Polynome mit reellen Koeffizienten

Polynome ungeraden Grades über den reellen Zahlen haben stets mindestens eine reelle Nullstelle; das folgt aus dem Zwischenwertsatz. Eine andere Begründung ist die folgende: Echt komplexe Nullstellen reeller Polynome treten stets als Paare komplex konjugierter Zahlen auf. Polynome geraden bzw. ungeraden Grades haben also stets gerade bzw. ungerade viele reelle Nullstellen, wenn man jede Nullstelle entsprechend ihrer Vielfachheit zählt.

Beispiel

Das Polynom $X^3-2X+4$ hat die Nullstelle $-2$, die sich als Teiler des Absolutgliedes leicht erraten lässt. Damit erhält man durch Polynomdivision

$X^3-2X+4=(X+2)(X^2-2X+2),$

woraus sich noch die beiden zueinander komplex konjugierten Nullstellen $1+\backslash mathrm\; i$ und $1-\backslash mathrm\; i$ ergeben.

Polynome mit komplexen Koeffizienten

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt: Jedes nichtkonstante Polynom über den komplexen Zahlen hat mindestens eine Nullstelle. Indem man wiederholt Linearfaktoren zu Nullstellen abspaltet, erhält man die Aussage, dass sich jedes Polynom

$p(X)=a\_nX^n+a\_\{n-1\}X^\{n-1\}+\backslash ldots+a\_1X+a\_0\backslash quad(a\_n\backslash ne0)$

über den komplexen Zahlen in der Form

$p(X)=a\_n(X-x\_1)^\{m\_1\}\backslash cdots(X-x\_k)^\{m\_k\}$

schreiben lässt. Dabei sind $x\_1,\backslash ldots,x\_k$ die verschiedenen Nullstellen von $p$ und $m\_1,\backslash ldots,m\_k$ ihre jeweiligen Vielfachheiten.

Polynome über vollständig bewerteten Körpern

Es sei $K$ ein vollständig bewerteter Körper mit Bewertungsring $A$ und Restklassenkörper $k$, und es sei eine einfache Nullstelle in $k$, so hat $p$ eine Nullstelle in $A$.

Beispiel

Es sei $K=\backslash mathbb\; Q\_p$ der Körper der p-adischen Zahlen für eine Primzahl $p$. Dann ist $A=\backslash mathbb\; Z\_p$ und $k=\backslash mathbb\; F\_p$. Das Polynom $X^\{p-1\}-1\backslash in\backslash mathbb\; Z\_p*$ zerfällt über $\backslash mathbb\; F\_p$ in verschiedene Linearfaktoren, also hat es auch über $\backslash mathbb\; Z\_p$ genau $p-1$ Nullstellen, d.h. $\backslash mathbb\; Z\_p$ enthält $(p-1)$-te Einheitswurzeln.

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