Null

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Anschaulich betrachtet ist die Null (aus dem Lateinischen nullus - keiner) ein Symbol für das Nichtvorhandensein von Elementen oder Gegenständen.

Viele Kulturen des Altertums hatten keine Zahl Null, weil sie sie nicht benötigten (sie rechneten nur mit positiven Zahlen). Im Lateinischen wurde anstatt einer Zahl Null das Wort "nihil" (dt.: nichts) verwendet.

Im arabischen Zahlensystem wird die Zahl Null durch die Ziffer 0 dargestellt.

Von der Ziffer 0 und der Zahl Null ist zu unterscheiden der Wert NULL in Feldern von Datenbanken oder Programmiersprachen, der leer, unbestimmt meint. Siehe dazu Nullwert.

Die Ziffer 0

Die Ziffer 0 ermöglichte die Bildung des Dezimalsystems, also des Stellenwertsystems mit der Basis 10, und damit auch die Entwicklung der modernen Mathematik. Auch das Begreifen des Wesens der Null als Zahl entwickelte sich wohl erst nach der Erfindung der Null als Ziffer.

Die Anfänge des Dezimalsystems entwickelten sich im 3. Jahrhundert v. Chr. in Indien. Allerdings wurden je nach anzuzeigender Zehnerpotenz unterschiedliche Ziffernsymbole verwendet. Die Ziffer für die "eins" von "einhundert" war also eine andere als für die "eins" von "eintausend". Im 5. Jahrhundert nach Chr. kam man dann - ebenfalls in Indien - auf die Idee, das System so zu vereinfachen, dass man für jede dezimale Stelle dieselbe Menge von 9 Ziffern (die heute als 1 bis 9 geschrieben werden) verwenden konnte: Dazu war es notwendig, für fehlende Werte auf einer bestimmten Zehnerpotenz ein neues Symbol zu verwenden, eine zehnte Ziffer. Unter dem Sanskrit-Wort sunya (für leer) wurde die Null geboren. Die philosophische Grundlage dafür war der gleichlautende buddhistische Begriff für Leere. In Hindi wird noch heute die Null mit sunya bezeichnet. Die ersten Schriften, die zwischen Zahlen eine Null in Form eines Punktes oder kleines Kreises beinhalteten, stammen aus dem 7.Jahrhundert nach Chr. aus Kambodscha.

Die Null bezeichnet also keinen Wert, doch bringt sie eine Zahl, die links vor ihr steht, dazu, mehr zu bezeichnen, als wenn sie allein stünde. (In den ursprünglichen indischen Systemen war die Reihenfolge der Potenzen jedoch umgedreht, die Einer wurden zuerst genannt, dann die Zehner etc. Die Null erhöhte damit den Wert der folgenden Ziffer.)

Führende Nullen werden üblicherweise weggelassen bzw. bei einer formatierten Ausgabe durch Leerzeichen ersetzt.

Bei Dezimalzahlen werden Nullen nach dem Komma üblicherweise weggelassen, wenn ihnen keine andere Ziffer mehr folgt. Bei einer formatierten Ausgabe werden sie entsprechend dem Ausgabeformat geschrieben.

Die Zahl Null

Die Zahl Null hat einige besondere Eigenschaften, die bei der Untersuchung von Rechenregeln hervortreten.

Subtraktion

Die Null entsteht als Resultat einer Differenz, bei der der Subtrahend gleich dem Minuend ist

a - a = 0

Addition

Die Null symbolisiert im mathematischen Sinne das neutrale Element der Addition in einem kommutativen Monoid, das heißt: Für jedes Element a des Monoids gilt

a + 0 = a = 0 + a

Die Null im mathematischen Sinne (als neutrales Element eines Monoids) ist stets eindeutig. In Restklassenkörpern und Restklassenringen gibt es zwar nur eine Null, die aber von unendlich vielen ganzen Zahlen repräsentiert wird.

Multiplikation

Durch Einführung der Rechenoperation der Multiplikation, mathematisch formal in der Definition eines Ringes, erhält man folgende Regel:

a \cdot 0 = 0 = 0 \cdot a

Man sagt auch, die Null ist ein absorbierendes Element der Multiplikation.

Potenzrechnung

Die Erweiterung der Rechenoperationen zur Potenzierung, formal in einem Körper definiert, erfordert, dass

a^0 = 1

immer gilt.

Aus dieser Definition ergibt sich auch der unanschauliche Spezialfall

0^0 = 1.

Dass dieser Wert der „richtige“ ist, ergibt sich beispielsweise aus dem binomischen Satz:

1 = 1^n = (0+1)^n = \sum_{k=0}^n{n\choose k}0^k1^{n-k} = 0^0 1^n = 0^0.

Grenzwertargumente sind zur Motivation der Festlegung von $0^0$ ungeeignet, da man zu jeder beliebigen nichtnegativen reellen Zahl $w$ Funktionen $f,g$ mit $f(a)=g(a)=0$ angeben kann, für die

\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}=w

gilt: Die Funktion

(a,b)\mapsto a^b

ist an der Stelle

(0,0)

unstetig.

Division durch Null

Das Ergebnis der Division einer Zahl durch Null ist nicht eindeutig bestimmt und bleibt deshalb in der Mathematik undefiniert.

Für natürliche Zahlen kann die Division als wiederholte Subtraktion angesehen werden:

Um die Frage „Wie oft muss man 4 von 12 abziehen, um 0 zu erhalten?“ zu beantworten, also 12 : 4 zu bestimmen, kann man so rechnen:

12 − 4 = 8

8 − 4 = 4

4 − 4 = 0

Die Anzahl der Subtraktionen ist 3.

Also ist 12 : 4 = 3.

Bei 12 : 0 lautet die Frage: "Wie oft muss man 0 von 12 abziehen um 0 zu erhalten?" Antwort: Keine Anzahl von Operationen bringt das gewünschte Ergebnis.

Für beliebige Zahlmengen ist die Division als Umkehrung der Multiplikation definiert. Bei der Division von b durch a sucht man eine Zahl x, welche die Gleichung $a \cdot x = b$ erfüllt. Diese Zahl x - sofern sie eindeutig bestimmt ist - schreibt man als Quotienten $x = b / a$ . Falls a gleich 0 ist, dann suchen wir also eine Lösung der Gleichung $0 \cdot x = b$ .

Im Fall b ungleich 0 ist die Gleichung unlösbar, weil es keine Zahl x gibt, für die $0 \cdot x$ ungleich 0 ist.
Im Fall b gleich 0 wird die Frage, welche Zahl x die Gleichung erfüllt, trivial: Jede Zahl x erfüllt die Gleichung $0 \cdot x = 0$ .

In beiden Fällen gibt es kein eindeutiges Ergebnis bei der Division durch Null.

Beim Rechnen mit reellen (oder komplexen) Zahlen ist es also nicht möglich, durch Null zu dividieren, da diese Operation kein eindeutiges Ergebnis hätte: Die Multiplikation mit 0 ist nicht umkehrbar. Dies gilt allgemein für jeden Ring.

Nota bene: In der Didaktik der Mathematik werden Verbote ("durch Null darf man nicht dividieren") als schädlich angesehen, da der Gedankengang leicht herzuleiten ist, und den Schülern nicht ein Eindruck von Willkürlichkeit im Fach Mathematik vermittelt werden soll. Besser ist es also, die Aussage "durch Null kann man nicht dividieren" zu begründen.

Division durch Null auf Computern

Für ganze Zahlen (integer und andere Datentypen) ist im Computer eine Division durch 0 nicht definiert. Der Versuch eines Programms, eine ganze Zahl durch 0 zu teilen, erzeugt in der Regel einen Laufzeitfehler, der unbehandelt meist zum Abbruch des Programms führt.

Für Gleitkommazahlen (float und andere Datentypen) ist aber durch den Gleitkommastandard IEEE 754 unter anderem eine Division durch 0 definiert. Dieser Standard definiert zwei Gleitkommazahlen namens +Inf und -Inf (infinity = unendlich) und unterscheidet zwei Zahlen mit dem Wert 0: eine positive Zahl +0 und eine negative Zahl -0. Für das Rechnen mit +0, -0, +Inf und -Inf legt der Standard naheliegende und natürliche Regeln fest, wann immer es möglich ist. So ist zum Beispiel folgendes festgelegt:

+Inf + +Inf = +Inf und -Inf + -Inf = -Inf.
Für x > +0 gilt:
x / +0 = +Inf,
x / -0 = -Inf,
Für x < -0 gilt:
x / +0 = -Inf,
x / -0 = +Inf.

Es gibt aber auch kompliziertere Spezialfälle, die sich nicht so einfach regeln lassen, z. B.

+Inf - +Inf,
+Inf + -Inf.

Für diese Fälle wurden Unzahlen eingeführt, so genannte NaN-Werte (NaN steht dabei für not a number). Ebenso liefern die Divisionen

0/0,
Inf/Inf

in allen Vorzeichenvarianten ein NaN.

Nullteiler

In Restklassenringen (aber nicht nur dort) existieren so genannte Nullteiler, zum Beispiel gilt im Restklassenring modulo 6 die Gleichung 2 · 3 = 0. Daraus folgt jedoch nicht, dass 0 / 2 = 3 ist, denn auch 2 · 0 = 0, man kann also diesen Quotienten nicht eindeutig (und damit sinnvoll) definieren. Man kann also nicht nur nicht durch Null teilen, sondern auch nicht durch einen Nullteiler dividieren.

Erweiterung der reellen Zahlen

Es ist, ähnlich zum Vorgehen bei Gleitkommazahlen, möglich, die reellen Zahlen um zwei Symbole ∞ und -∞ zu erweitern, so dass einige Rechenregeln auch für die beiden Unendlich-Symbole gelten. Zum Beispiel ist dann a / 0 = ∞ für positive a, b / 0 = -∞ für negative b, jedoch ist 0 · ∞ nicht a, sondern undefiniert, genauso wie auch 0 / 0 und ∞ / ∞ undefiniert bleibt.

Beachte, dass diese erweiterte Menge keine algebraische Struktur mehr ist, weil einige Summen und Produkte undefiniert sind. Die üblichen Rechenregeln sind jedoch gültig, falls alle auftretenden Teilausdrücke definiert sind.

Diese Herangehensweise entspricht der Verwendung bei der Berechnung von Grenzwerten in der reellen Analysis.

Siehe auch die Regel von de L'Hospital.

Alltäglicher Sprachgebrauch

Die Formulierung "Null Uhr" meint Mitternacht (nicht zu verwechseln mit der Stunde Null).

Es wird unterschieden zwischen "24:00 Uhr" und "0:00 Uhr". Dabei kommt es darauf an, ob der Tag endet (24:00 Uhr), oder ob der Tag beginnt (00:00 Uhr).

Das Wort "Null" kommt auch in zahlreichen Redensarten vor (zum Beispiel jemanden auf Null bringen, etwas bei Null anfangen, jemand sei menschlich gesehen eine Null).

Historisches

Schon früh versuchten die Menschen verschiedenste Symbole für die Zahlen zu finden. Als die Zahlen immer größer wurden, benötigte man ein Zeichen, das für keine Anzahl im Stellenwertsystem stand. Die Null war geboren, wobei die heutige Bezeichnung von dem lateinischen Wort nullus (=Keiner) bzw. altitalienisch nulla figura (=Nichts) stammt. Die erste Darstellung der Zahl Null findet man vor etwa 5 000 Jahren bei den Sumerern und zwar in Form von zwei schräg gestellten Keilen. Die Null wurde jedoch nur in der Mitte einer Zahl, aber nie am Ende, benutzt.

Bei den Griechen findet man bis zur alexandrinischen Zeit keine Spuren von der Null. Im Zeitalter des Homer gruppierten sie Zahlsymbole von links nach rechts, doch hatten sie noch immer kein Stellenwertsystem. Unter Alexander entdeckten sie die Null im babylonischen Reich und bemerkten ihre Vorteile. So fand man in einem astronomischen Papyrus aus dem 3. Jh. v. Chr. das Symbol „O“ für Null. Von je her versuchten die Menschen eine Erklärung für die Verwendung dieses Symbols zu finden. Wahrscheinlich stammt dieses „O“ vom griechischen Omikron, dem ersten Buchstaben des Wortes „nichts“ (oudén). Im Homerschen System fand sich öfters, dass der erste Buchstabe des Zahlwortes als Zahlsymbol verwendet wurde. Otto Neugebauer, ein führender Forscher auf dem Gebiet der griechischen Mathematik, verwirft diese Theorie, da die Griechen „O“ bereits für die Zahl 70 verwendeten, das Symbol sei willkürlich gewählt.

Diophant wählte ein M mit einem Kreis darüber, da „mo“ die ersten Buchstaben des Wortes Monade (Einheit) waren. Man wählte für die Null immer ein Zeichen mit einem mehr oder weniger stark ausgeprägten Balken darüber und deutete somit an, dass die Null nicht den Status einer Zahl hatte. Bei Griechen fand man nur in astronomischen Texten, wie zum Beispiel von Ptolemaios, das Symbol „O“. Die Griechen rechneten meist mit dem Abakus, bei dem keine Spalte, die für Null stand, notwendig war. War in einer Spalte jedoch kein Stein, so trat die Null als Platzhalter in Erscheinung und verlieh den anderen Zahlen dadurch den richtigen Wert. Die Steine auf dem Rechenbrett oder auch im Sand waren mehr oder weniger rund und wurden in der Schrift als volle Punkte dargestellt ●. Eine Art zu zeigen, dass nicht einmal ein einziger Rechenstein vorhanden ist wäre ○. Dieses Zeichen würde sich auch durch den Abdruck erklären lassen, welcher zurück bleibt wenn man einen Stein entfernt. Was bleibt ist das Nichts. Eine weitere Erklärung für ○ ist die Natur, weil sehr häufig runde Hohlräume, runde Samen, etc. vorkommen. Durch die Schreibtechniken der Menschen verwandelte sich ○ mit den Jahrhunderten in 0, da es einfacher war zwei geschwungene Striche, als einen durchgehenden Kreis zu ziehen. Wie sich die Null in der östlichen Welt entwickelte ist ungewiss. Unter Alexander dem Großen führten Handelsstraßen von Alexandria bis nach Indien. Auf diesen Routen wurden die mathematischen Kenntnisse der „babylonischen Null“ von den Griechen selbst überliefert.

Die indische Kultur steht unter erkennbarem griechischen Einfluss. Man nimmt daher an, dass sie jenes Symbol für Null aus griechischen Quellen bezogen. Die Inder beschäftigten sich mit der Null zunächst jedoch nur in Rechengesetzen. Dabei erkannten sie, dass eine Zahl minus sich selbst Null ergibt. Somit erlangte die Null den gleichen Status wie die anderen Zahlen (Paradigmenwechsel). Solche Paradigmenwechsel vollziehen sich langsam. Erst 600 n. Chr. beschäftigten sie sich damit, was passiert wenn man Null zu einer Zahl addiert und erkannten 5 Jahrhunderte später, dass bei der Addition bzw. Subtraktion mit Null die Menge, ob positiv oder negativ, gleich bleibt. Aber bei der Subtraktion von Null kehrte sich das Vorzeichen um. Bis die Null nach Europa kam, war es ein langer Weg. Der Osten blühte auf während der Westen unter dem Zerfall des römischen Reiches litt. Waren die mathematischen Fähigkeiten der Inder im 7. Jahrhundert n. Chr. auch sehr hoch entwickelt, so wurden sie nun von einer weiteren östlichen Kultur, dem Islam, übertroffen. Der Islam breitete sich schnell in Richtung Westen aus bis nach Algerien, welches zum Arabischen Reich gehörte. Die Araber eroberten Spanien als auch auf ihrem Weg nach China Indien. Von dort übernahmen sie die Zahlzeichen und brachten sie auch nach Spanien.

Gerbert von Aurillac, ein Mönch, befasst sich mit den „neuen“ arabischen Ziffern und wollte sie auch in der christlichen Kirche verbreiten. Dabei stieß er auf heftigen Widerstand, da die Ziffern als heidnisch angesehen wurden. Er war somit einer der ersten, der die Null nach Europa bringen wollte. Leonardo von Pisa, ein bedeutender Mathematiker des Mittelalters, der in Algier als Sohn eines italienischen Handelsvertreters mit den arabisch-indischen Zahlen inklusive der Null vertraut war, führte diese in Italien ein. Die Vorteile dieser Zahlen schilderte er später in seinem Werk „Liber abaci“, worin er Beispiele aus der Handelswelt bearbeitete. In den folgenden Jahrhunderten gewann die Null in vielen Bereichen an Bedeutung. Die Null wurde zum Ausgangspunkt für viele Skalen, sei es Temperatur oder der Meeresspiegel und so wuchsen die Begriffe positiv und negativ im Denken der Menschen.

Siehe auch: Theta, Ziffer, zero, kha, theka bindu

Weblink

Literatur

Charles Seife: Zwilling der Unendlichkeit. Eine Biographie der Zahl Null. ISBN 3-442-15054-X
Robert Kaplan: Die Geschichte der Null, ISBN 3-492-23918-8. (Frankfurt/Main: Campus, 2000. ISBN 3-593-36427-1)

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