In der Körpertheorie ist die Norm einer Körpererweiterung eine spezielle, der Erweiterung zugeordnete Abbildung. Sie bildet jedes Element des größeren Körpers auf den kleineren Körper ab.

Dieser Normbegriff unterscheidet sich wesentlich vom Begriff der Norm eines normierten Vektorraums, er wird daher manchmal auch Körpernorm im Gegensatz zur Vektornorm genannt.

Definition

---

Es sei $L/K$ eine endliche Körpererweiterung. Ein fest gewähltes Element $a\backslash in\; L$ definiert eine $K$-lineare Abbildung

$L\backslash to\; L,\backslash quad\; x\backslash mapsto\; ax.$

Ihre Determinante heißt die Norm von $a$, geschrieben $N\_\{L/K\}(a)$. Sie ist ein Element von $K$; die Norm ist also eine Abbildung

$N\_\{L/K\}\backslash colon\; L\backslash to\; K,\backslash quad\; a\backslash mapsto\; N\_\{L/K\}(a).$

Eigenschaften

---

• Nur für $a=0$ gilt $N\_\{L/K\}(a)=0$.
• Die Norm ist multiplikativ, d.h.

$N\_\{L/K\}(ab)=N\_\{L/K\}(a)\backslash cdot\; N\_\{L/K\}(b)$ für alle $a,b\backslash in\; L$.

Eingeschränkt auf die multiplikativen Gruppen ist die Norm also ein Homomorphismus

$N\_\{L/K\}\backslash colon\; L^\backslash times\backslash to\; K^\backslash times.$

• Ist $a\backslash in\; K$, so gilt $N\_\{L/K\}(a)=a^\{*\}$.

Ist $a\; \backslash in\; L$ mit dem Minimalpolynom , dann gilt:

$N\_\{L/K\}(a)\; =\; (-1)^\{dr\}\; a\_0^r$

• Ist $M/L$ eine weitere endliche Körpererweiterung, dann hat man die drei Normfunktionen $N\_\{L/K\},\; N\_\{M/L\}$ und $N\_\{M/K\}$, die in der folgenden, als Transitivität der Norm bezeichneten, Beziehung stehen:

$N\_\{M/K\}(a)\; =\; N\_\{L/K\}(N\_\{M/L\}(a))$ für alle $a\backslash in\; M$.

Die Norm für Galoiserweiterungen

---

Ist $L/K$ galoissch mit Galoisgruppe $\backslash operatorname\{Gal\}(L/K)$, so gilt

$N\_\{L/K\}(a)=\backslash prod\_\{\backslash sigma\backslash in\backslash operatorname\{Gal\}(L/K)\}\backslash sigma(a).$

Beispiele

---

• Die Norm der komplexen Zahlen über den reellen Zahlen bildet jede komplexe Zahl auf das Quadrat ihres absoluten Betrags ab. Es ist also $N\_\{\backslash mathbb\{C\}/\backslash mathbb\{R\}\}(a+ib)\; =\; \backslash sigma\_1(a+ib)\backslash sigma\_2(a+ib)\; =\; id(a+ib)\backslash overline\{(a+ib)\}\; =\; (a+ib)(a-ib)\; =\; a^2\; +\; b^2$.
• Die Norm von $\backslash mathbb\; Q(\backslash sqrt2)/\backslash mathbb\; Q$ ist die Abbildung

$a+b\backslash sqrt2\backslash mapsto\; a^2-2b^2$ für $a,b\backslash in\backslash mathbb\; Q$.

• Die Norm von $\backslash mathbb\; F\_\{q^n\}/\backslash mathbb\; F\_q$ ist die Abbildung

$x\backslash mapsto\; x^\{1+q+q^2+\backslash ldots+q^\{n-1\}\}.$

Siehe auch

---

• Spur (Körpererweiterung)
• Diskriminante
• pythagoreischer Körper
• Hilberts Satz 90

Algebra

Field norm | ノルム (体論)