Noether-Theorem

Das Noether-Theorem ist ein mathematisches Theorem. Wird es in der Physik angewandt, so sagt es aus, dass zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines physikalischen Systems eine Erhaltungsgröße existiert und umgekehrt. Es wurde 1918 von Emmy Noether bewiesen.

Symmetrie bedeutet dabei, dass sich das Verhalten eines physikalischen Systems bei Anwendung einer bestimmten Transformation (z.B. Koordinatentransformation oder Eichtransformation) nicht verändert.

Eine Erhaltungsgröße des Systems ist eine Größe, die sich als Funktion der Zeit, genauer gesagt durch die Dynamik des Systems, nicht ändert.

Bedeutung in Physik und Metaphysik

Im letzten Viertel des 20. Jahrhunderts entwickelte sich das Noether-Theorem zu einer der wichtigsten Grundlagen der Physik. In Arbeiten der theoretischen Physik dient das Noether-Theorem zum Beispiel als Hilfsmittel bei der Entwicklung moderner Theorien zum Aufbau der Materie (Standardmodell) und es ist genauso für einfache klassische Probleme anwendbar. Das Noether-Theorem verknüpft elementare physikalische Begriffe wie Ladung, Energie und Impuls mit geometrischen Voraussetzungen (Invarianzen unter Symmetrien), die insofern als Anforderungen an die Beschreibung physikalischer Prozesse, das heisst an die Konstruktion physikalischer Modelle, aufgefasst werden können. Dabei ist zunächst nicht gesagt, wofür es solche Invarianzen geben muss: Wegen der mathematischen Ästhetik? Oder aus praktischen Gründen, weil die gedanklichen Modelle und die zugehörigen Formeln einfacher werden?

Es werden zunehmend Stimmen laut mit der Forderung, eine Einführung in das Noether-Theorem zur Grundlage der Ausbildung in der Physik zu machen. Entsprechend häufig findet sich das Noether-Theorem in den einleitenden Kapiteln moderner Lehrbücher der Physik.

Als eine Grundlage der Physik verknüpft das Noether-Theorem praktische Anforderungen an physikalische Theorien mit den daraus resultierenden Eigenschaften dieser Theorien.

In der Metaphysik kann das Noether-Theorem als Brücke zwischen einer modernen Auffassung der Physik und dem Konstruktivismus gesehen werden.

Beispiele aus der klassischen Mechanik

(Zusammenhang zwischen praktischen Anforderungen an eine physikalische Theorie und resultierenden Eigenschaften dieser Theorie in Klammern.)

Aus der Homogenität der Zeit (Zeitursprung spielt keine Rolle) folgt in der klassischen Physik die Erhaltung der Energie (Energieerhaltungssatz). (Die Formeln eines gedanklichen physikalischen Modells zur Beschreibung eines Experimentes sollen sich im Laufe der Zeit nicht ändern, deshalb bleibt die Energie in einer Theorie erhalten, wenn diese für ein solches Modell geeignet ist.)

Aus der Translations-Invarianz des Raums (Ortsursprung spielt keine Rolle) ergibt sich die Erhaltung des Impulses (Impulserhaltungssatz). (Das Modell eines Experimentes soll unabhängig vom Ort des Experimentes sein, deshalb bleibt der Impuls in dieser Theorie erhalten.)

Aus der Rotations-Invarianz des Raums (Richtung im Raum spielt keine Rolle) ergibt sich die Erhaltung des Drehimpulses (Drehimpulserhaltungssatz). (Das Modell eines Experimentes soll unabhängig von der Richtung von Messlinealen sein, deshalb bleibt der Drehimpuls erhalten.)

Die Umkehrung (Konstante => Symmetrie) gilt nur in der Hamiltonschen Mechanik, nicht in der Lagrangeschen Mechanik.

Noether-Theorem und Feldtheorie

In der modernen Physik ist die Ladung die nach dem Noether-Theorem zur Eichsymmetrie der zugehörigen Feldtheorie (Eichtheorie) gehörige Erhaltungsgröße. Die Ladung eines Objekts ist jeweils ein lorentzinvarianter Skalar, das heißt er wird durch eine einzige Zahl gegeben, die in allen Bezugssystemen denselben Wert hat.

In verständlicher Sprache bedeutet dies in etwa, dass es für ein Experiment ein (makroskopisches, statistisches) Modell nur dann gibt, wenn es möglich ist, mikroskopisch begrenzten Bereichen eine Eigenschaft zuzuordnen. Diese lokale Eigenschaft heißt Ladung und ist eine Erhaltungsgröße. Ladungen in diesem Zusammenhang sind zum Beispiel die elektrische Ladung von Elektronen und Protonen, die Farbladung bei Quarks, und die schwache Ladung von Neutrinos.

Mathematische Formulierung

Der Zusammenhang zwischen Symmetrien und Erhaltungsgrößen wird im Noether-Theorem für solche physikalischen Systeme gezeigt, deren Bewegungs- oder Feldgleichungen aus einem so genannten Variationsprinzip abgeleitet werden können. Die Differentialgleichungen, denen solche Systeme genügen, können dann durch die Variation eines Wirkungsfunktionals abgeleitet werden. Dieses Wirkungsfunktional ist in der klassischen Punktmechanik als ein Zeitintegral über die so genannte Lagrangefunktion des Systems, in Feldtheorien als raum-zeitliches Integral über die so genannte Lagrange-Dichte gegeben. Das Integral wird Funktional genannt, da es im Sinne der Funktionalanalysis ein nichtlineares Funktional auf dem Raum der möglichen Lösungen des Systems definiert. Der Begriff der möglichen Lösung bezeichnet dabei die Klasse von Funktionen, die überhaupt in die vorliegende Differentialgleichung einsetzbar sind, aber die Gleichung nicht unbedingt lösen. Im Falle der klassischen Punktmechanik sind die möglichen Lösungen gerade zeitparametrisierte (genügend oft differenzierbare) Kurven im Raum, in der Feldtheorie handelt es sich um zeitabhängige Felder auf dem betrachteten Raum (mit entsprechender Differenzierbarkeit). Differentialgleichungen, die sich derart aus einem Wirkungsfunktional durch Variation ableiten lassen, nennt man variationell selbstadjungiert, eine Eigenschaft, die die meisten elementaren Feld- und Bewegungsgleichungen der Physik besitzen.

Man sagt nun, dass eine Differentialgleichung eine Symmetrie besitzt, wenn es eine Transformation des Raumes der möglichen Lösungen (Kurven oder Felder) gibt, die die tatsächlichen Lösungen der Differentialgleichung wieder auf tatsächliche Lösungen abbildet. Für variationell selbstadjungierte Differentialgleichungen erhält man eine solche Transformation auf jeden Fall, wenn die Transformation das Wirkungsfunktional invariant lässt. Das Noether-Theorem zeigt nun, dass die Invarianz des Wirkungsfunktionals gegenüber einer n-parametrigen stetigen Transformationsgruppe, die Existenz von n Erhaltungsgrößen zur Folge hat.

Wir beschränken uns hier auf Symmetrien in der klassischen Mechanik. Für den feldtheoretischen Beweis verweisen wir auf die englische Version des Artikels.

Definition: Symmetrie

Sei

\mathcal{L}(\mathbf{q},\mathbf{v},t)

die Lagrangefunktion eines mechanischen Systems auf dem Raum

\mathcal{Q}

. Dann heißt eine Abbildung

\begin{matrix}\Phi:\mathbb{R}\times \mathcal{Q} \times \mathbb{R}& \to& \mathcal{Q} \\

(s,\mathbf{q},t)&\mapsto& \Phi_s(\mathbf{q},t), \end{matrix} mit der Eigenschaft für s=0

\Phi_0(\mathbf{q},t)=(\mathbf{q}(t),t)

die zweifach stetig differenzierbar in q und stetig differenzierbar in s und t ist, einparametrige Schar von Symmetrien, wenn das Wirkungsintegral für jedes feste s und für beliebige Kurven $\mathbf{q}(t)$ in $\mathcal{Q}$ unter dieser Abbildung invariant ist:

S

^*=\int_{t_0}^{t_1} \mathcal{L}\left(\mathbf{q}(t),\dot{\mathbf{q}}(t),t\right) dt=\int_{t_0}^{t_1} \mathcal{L}\left(\Phi_s(\mathbf{q}(t),t),\frac{d}{dt}\Phi_s(\mathbf{q}(t),t),t\right) dt.

Folgerung

Aus der Variationsrechnung weiß man, dass die Wirkung in der obigen Form genau dann invariant ist, wenn es eine Schar von Funktionen $M(\mathbf{q},t,s)$ gibt, so dass

\mathcal{L}\left(\Phi_s(\mathbf{q}(t),t),\frac{d}{dt}\Phi_s(\mathbf{q}(t),t),t\right)=\mathcal{L}\left(\mathbf{q}(t),\dot{\mathbf{q}}(t),t\right)

+\frac{d}{dt} M(\mathbf{q}(t),t,s) gilt, d.h. wenn die Lagrangefunktion sich durch die Transformation nur um eine totale Zeitableitung ändert. Dann gilt aber:

\frac{d}{ds}\left. \mathcal{L} \left(\Phi_s(\mathbf{q}(t),t),\frac{d}{dt}\Phi_s(\mathbf{q}(t),t),t \right) \right|_{s=0}=

\frac{d}{ds} \left. \frac{d}{dt} M(\mathbf{q}(t),t,s) \right|_{s=0}.

Führen wir nun die Ableitung nach s aus, so erhalten wir:

\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q^i} \frac{d}{ds} \Phi_s^i(\mathbf{q}(t),t)+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v^i} \frac{d}{dt}\frac{d}{ds} \Phi_s^i(\mathbf{q}(t),t)=\frac{d}{dt} \left. \frac{d}{ds} M(\mathbf{q}(t),t,s)\right|_{s=0}.

Wir nennen nun $\frac{d}{ds} M(\mathbf{q}(t),t,s)|_{s=0}=:K(\mathbf{q},t)$ und formen den zweiten Summanden auf der linken Seite mit der Produktregel um:

\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} \frac{d}{ds} \Phi_s^i(\mathbf{q}(t),t)+\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v^i} \frac{d}{ds} \Phi_s^i(\mathbf{q}(t),t)\right)-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v^i}\right) \frac{d}{ds} \Phi_s^i(\mathbf{q}(t),t)=\frac{d}{dt} K(\mathbf{q}(t),t).

Benutzt man nun die Euler-Lagrange-Gleichungen stellt man fest, dass der erste und der dritte Summand auf der linke Seite identisch sind. Daher gilt:

\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v^i} \frac{d}{ds} \Phi_s^i(\mathbf{q}(t),t)-K(\mathbf{q}(t),t)\right)=0,

eine Gleichung, die bereits die Form eines Erhaltungssatzes hat. Verschönert man die Gleichung noch, indem man das Vektorfeld $\frac{d}{ds} \Phi_s^i(\mathbf{q},t):=Z^i(\mathbf{q},t)$ nennt, erhält man

\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v^i} Z^i(\mathbf{q},t)-K(\mathbf{q},t)\right)=0,

und wir sehen, dass die Größe $I(\mathbf{q},t)=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v^i} Z^i(\mathbf{q},t)-K(\mathbf{q},t)$ eine Erhaltungsgröße ist.

Anmerkungen zum Beweis

In vielen wichtigen Fällen sind die Funktionen $\mathcal{L},\Phi,M,K,Z, I$ nicht explizit zeitabhängig.
In einigen Fällen, wie z.B. der Translations- und Rotationsinvarianz abgeschlossener Systeme, ist zudem noch M=0, d.h. es wird keine totale Zeitableitung zur Lagrangefunktion addiert. Der Beweis für diesen Spezialfall ist in vielen Lehrbüchern zu finden.
- Das prominenteste Gegenbeispiel ist jedoch der Schwerpunktsatz (nicht zu verwechseln mit der Erhaltung des Gesamtimpulses), der aus der Invarianz unter so genannten Galilei-Boosts (in relativistischen Theorien Lorentz-Boosts) folgt.
Der Energieerhaltungssatz ist in der oben angegebenen Form des Noether-Theorems nicht enthalten. Der Grund liegt in der Tatsache, dass dieser Erhaltungssatz aus der Symmetrie unter Zeittranslationen folgt, die Zeit allerdings keine Koordinatenfunktion in der klassischen Mechanik ist. Um diesen Satz abzuleiten, muss der Formalismus der klassischen Mechanik daher ein wenig erweitert werden, indem man die Zeit als Koordinatenfunktion auffasst, die mit konstanter Geschwindigkeit 1 Sekunden pro Sekunde von jeder Kurve durchlaufen wird.
Die Erhaltungsgröße I wird für M=0 eine ortsabhängige Linearkombination der kanonischen Impulse $p_i=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v^i}$ . Daher wird die Abbildung, des Vektorfelder $Z^i$ , die nur von der Symmetrie abhängen, auf die Erhaltungsgröße $I$ auch Impulsabbildung genannt.

Siehe auch

Theoretische Physik

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