Nichteuklidische Geometrien unterscheiden sich von der euklidischen Geometrie dadurch, dass in ihnen das Parallelenaxiom nicht gilt.

Sphaere.png Entwickelt wurden sie nicht mit dem Anspruch, unsere Raumerfahrung zu präzisieren, sondern als axiomatische Theorien in der Auseinandersetzung mit dem Parallelenproblem. Dass es Modelle für nichteuklidische Geometrien gibt, beweist, dass das Parallelenaxiom Euklids nicht aus den anderen Axiomen gefolgert werden kann und von ihnen unabhängig ist.

Man erhält nichteuklidische Geometrien, indem man das Parallelenaxiom aus dem Axiomensystem weglässt oder es abändert. Die grundlegenden Änderungsmöglichkeiten sind:

• Zu einer Geraden und einem Punkt außerhalb der Geraden gibt es keine Parallele. Zwei verschiedene Geraden in einer Ebene schneiden sich also immer.
  Diese Annahme ist nicht mit allen übrigen Axiomen der euklidischen Geometrie vereinbar. In der Regel wird die Festlegung fallengelassen, dass es zwischen zwei Punkten stets nur eine Verbindungsgerade geben kann. Dies führt dann zu einer elliptischen Geometrie. Ein anschauliches Modell einer zweidimensionalen elliptischen Geometrie ist die Geometrie auf einer Kugelfläche. Hier ist die Winkelsumme eines Dreiecks größer als 180°.

• Zu einer Geraden und einem Punkt außerhalb der Geraden gibt es mindestens zwei Parallelen. Hierbei können alle anderen Axiome gewahrt werden. Man erhält eine hyperbolische Geometrie. Ein zweidimensionales Beispiel ist hier die Geometrie auf einer Sattelfläche. Die Winkelsumme eines Dreiecks ist nun kleiner als 180°.

Inzwischen spielt nichteuklidische Geometrie eine wichtige Rolle in der theoretischen Physik und der Kosmologie. Gemäß der allgemeinen Relativitätstheorie weicht die Geometrie des Weltalls von der euklidischen ab, weil Schwerefelder den Raum „krümmen“. Ob die Geometrie des Universums „im Großen“ sphärisch (elliptisch), eben (das heißt euklidisch) oder hyperbolisch ist, gehört zu den großen aktuellen Fragen der Physik.

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