Die Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben in der Strömungsmechanik bzw. der Strömungslehre das Verhalten von Strömungen in Flüssigkeiten und Gasgemischen (Fluiden). Sie sind ein System von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung.

Die Gleichungen sind benannt nach dem Franzosen Claude Louis Marie Henri Navier und dem Briten George Gabriel Stokes. Beide hatten unabhängig voneinander in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts (1827 bzw. 1845) den Impulssatz für Newtonsche Fluide, wie Wasser, Luft oder viele Öle in differentieller Form gefunden, also die Abhängigkeit von Geschwindigkeit und Druck als Funktion von Ort und Zeit. Der Impulserhaltungssatz ist der Kern der Navier-Stokes-Gleichungen, je nach Art des betrachteten Fluids müssen noch der Massenerhaltungssatz und der Energieerhaltungssatz zum Schließen der Gleichungen verwendet werden. In Vektorschreibweise lässt sich die Impulserhaltung schreiben mittels:

$$

\rho \left({ \partial\mathbf{u} \over \partial t } + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} \right) = \mathbf{f} -\nabla p + \eta \Delta \mathbf{u} + (\lambda + \eta) \nabla (\nabla \cdot \mathbf{u}) .

Der Vektor $\backslash mathbf\{f\}$ (Volumenkraft) beschreibt äußere Kräfte wie beispielsweise die Gravitation. Die Stoffkonstanten $\backslash lambda$ und $\backslash eta$ sind als bekannt und konstant im Strömungsfeld vorausgesetzt. In Verbindung mit der Kontinuitätsgleichung (Erhaltungssatz der Masse)

$$

{ \partial\mathbf{\rho} \over \partial t } + \nabla \cdot (\mathbf{\rho u}) = 0

ergibt sich, falls die Dichte entlang Teilchenbahnen konstant ist, die Divergenzfreiheit des Geschwindigkeitsfeldes

$$

\nabla \cdot \mathbf{u} = 0, welche ein inkompressibles Fluid charakterisiert und damit ein partielles Differentialgleichungssystem mit vier Gleichungen für die vier Größen Geschwindigkeit $\backslash mathbf\{u\}(x,t)=(u,v,w)$ und Druck $p(x,t)$, die so genannten inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen mit Dichtevariation.

Die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen

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Ist die Dichte sogar immer konstant, vereinfachen sich die Gleichungen unter weiteren Annahmen bezüglich der Stoffkonstanten zu

$$

\left({ \partial\mathbf{u} \over \partial t } + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} \right) = \mathbf{f} -\nabla p + \nu \Delta \mathbf{u}, \; \nabla \cdot \mathbf{u} = 0 ,

wobei der Druck hier nicht der physikalische Druck ist, sondern ein durch die Dichte geteilter. Diese Gleichungen werden in der mathematischen Literatur üblicherweise als die Navier-Stokes-Gleichungen bezeichnet. Sie sind für viele wichtige Fluide gültig, insbesondere für Wasser.

Lösungsansätze

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Es ist bis heute nicht gelungen, die Existenz von globalen Lösungen nachzuweisen. Mathematiker wie P.-L. Lions (siehe Literaturliste) betrachten im wesentlichen den wichtigen Spezialfall der inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen. Während hier für den zweidimensionalen Fall u.a. von R. Temam und C. Foias bereits weitreichende Existenz-, Eindeutigkeits- und Regularitätsaussagen bewiesen werden konnten, gibt es bislang keine Resultate für den allgemeinen dreidimensionalen Fall, da hier einige fundamentale Einbettungssätze für sog. Sobolevräume nicht mehr eingesetzt werden können. Allerdings gibt es für endliche Zeiten oder spezielle, insbesondere kleine, Anfangsdaten auch im dreidimensionalen Fall - vor allem für schwache Lösungen - Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen.

Das Problem des allgemeinen, inkompressiblen Existenzbeweises in drei Dimensionen gehört laut Clay Mathematics Institute zu den wichtigsten ungelösten mathematischen Problemen dieses Jahrhunderts.

In der Praxis gewinnt man analytische Lösungen, indem man die physikalischen Modelle/Randbedingungen vereinfacht (Spezialfälle). Besondere Schwierigkeit bereitet hier die Nichtlinearität der konvektiven Beschleunigung $(\backslash mathbf\{u\}\; \backslash cdot\; \backslash nabla)\; \backslash mathbf\{u\}$. Nützlich ist hierbei die Darstellung mit Hilfe der Vortizität $\backslash mathbf\{\backslash omega\}\; =\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{u\}\; =\; \backslash mathbf\{rot\}\backslash ;\backslash mathbf\{u\}$:

$(\backslash mathbf\{u\}\; \backslash cdot\; \backslash nabla)\; \backslash mathbf\{u\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash nabla\; (\backslash |\backslash mathbf\{u\}\backslash |)^2\; +\; \backslash mathbf\{u\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{\backslash omega\}$.

Geschlossene analytische Lösungen existieren fast nur für Fälle, in denen der zweite Term verschwindet. Dies ist bei der Annahme, dass bei 3-D Strömungen die Wirbel sich immer entlang der Stromline ausbilden (also dem Helmholtz-Wirbelsatz), also $\backslash mathbf\{\backslash omega\}\; \backslash |\; \backslash mathbf\{u\}$ der Fall. Diese Annahme trifft aber nicht bei allen realen Strömungen zu.

Da die Theorie für praktische Probleme keine Lösungen bereitstellen kann, sind die Navier-Stokes-Gleichungen ein wichtiges Anwendungsfeld der numerischen Mathematik. Der Teilbereich, der sich mit der Konstruktion von numerischen Näherungsverfahren für die Navier-Stokes-Gleichungen beschäftigt, ist die numerische Strömungsmechanik oder Computational Fluid Dynamics (CFD).

Die kompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen

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Die oben beschriebenen inkompressiblen Gleichungen sind ein Spezialfall der kompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen (siehe Inkompressibles Fluid). Diese gelten für ein allgemeines ideales Gas. Sie bestehen aus den Gleichungen der Massenerhaltung

$$

\partial_{\hat{t}} \hat{\rho} + \nabla_{\hat{x}} \cdot \hat = 0, der Impulserhaltung

$$

\partial_{\hat{t}} \hat{m_{i}} + \sum_{j=1}^{3} \partial_{\hat{x}_{j}} (\hat{m_{i}} \hat{v_{j}} + \hat{p} \delta_{ij}) = \sum_{j=1}^{3} \partial_{\hat{x}_{j}} \hat{S}_{ij} + \hat{\rho} \hat{g}_{i}, \qquad i=1,2,3 wobei $\backslash delta\_\{ij\}$ das Kroneckersymbol ist,

$\backslash hat\{S\}\_\{ij\}\; =\; \backslash hat\{\backslash mu\}\backslash hat\{v\}\_\{i\}\; +\; \backslash partial\_\{\backslash hat\{x\}\_\{i\}\}\; \backslash hat\{v\}\_\{j\})\; -\; \backslash frac\{2\}\{3\}\; \backslash delta\_\{ij\}\; \backslash sum\_\{k=1\}^\{3\}\; \backslash partial\_\{\backslash hat\{x\}\_\{k\}\}\; \backslash hat\{v\}\_\{k\},\; \backslash qquad\; i,j=1,2,3$

den viskosen Spannungs-Tensor beschreibt, wobei $\backslash hat\{\backslash mu\}$ die dynamische Viskosität und $\backslash hat\{g\}\_\{i\}$ die i'te Komponente des Gravitationsvektors ist, und der Energieerhaltung

$$

\partial_{\hat{t}} \hat{\rho} \hat{E} + \nabla_{\hat{x}} \cdot (\hat{H} \hat) = \sum_{j=1}^{3} \partial_{\hat{x}_{j}} \left ( \sum_{i=1}^{3} \hat{S}_{ij} \hat{v}_{i} - \hat{W}_{j} \right) + \hat{q} - \hat{\rho} \hat \cdot \hat, wobei $\backslash hat\{H\}\; =\; \backslash hat\{E\}\; +\; \backslash frac\{\backslash hat\{p\}\}\{\backslash hat\{\backslash rho\}\}$ die Enthalpie ist und $\backslash hat\{W\}\_\{j\}$ der Wärmefluss ist, der mittels des Wärmeleitkoeffizienten $\backslash hat\{\backslash kappa\}$ als

$\backslash hat\{W\}\_\{j\}\; =\; -\backslash hat\{\backslash kappa\}\; \backslash partial\_\{\backslash hat\{x\}\_\{j\}\}\; \backslash hat\{T\}$

geschrieben werden kann. Die totale Energie pro Einheitsmasse $\backslash hat\{E\}$ ist die Summe von innerer, kinetischer und potentieller Energie:

$\backslash hat\{E\}=\backslash hat\{e\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; |\backslash hat^\{2\}|\; +\; \backslash hat\{h\}\; |\backslash hat|.$

Wir haben also vier Gleichungen für fünf Variablen und das System wird durch die Zustandsgleichung abgeschlossen:

$$

\hat{p} = (\gamma -1) \hat{\rho} (\hat{E} - \frac{1}{2} |\hat|^{2} - \hat{h} |\hat|).

Die thermodynamischen Größen Dichte, Druck und Temperatur sind durch das ideale Gasgesetz verbunden:

$\backslash hat\{T\}\; =\; \backslash frac\{\backslash hat\{p\}\}\{\backslash hat\{\backslash rho\}\; \backslash hat\{R\}\}.$

Schließlich hängen der adiabatische Exponent $\backslash gamma$ und die Gaskonstante $\backslash hat\{R\}$ durch den spezifischen Wärmekoeffizienten für konstanten Druck $\backslash hat\{c\}\_\{p\}$ respektive konstantes Volumen $\backslash hat\{c\}\_\{v\}$ durch

$\backslash gamma\; =\; \backslash frac\{\backslash hat\{c\}\_\{p\}\}\{\backslash hat\{c\}\_\{v\}\}$

und

$\backslash hat\{R\}\; =\; \backslash hat\{c\}\_\{p\}-\backslash hat\{c\}\_\{v\}$

zusammen. Unter der Annahme, dass die Dichte entlang Teilchenbahnen konstant ist, erhält man die Gleichungen für inkompressible Fluide zurück. Die Dächer auf den Variablen sollen darauf hinweisen, dass es sich um dimensionsbehaftete Größen handelt. Eine Entdimensionalisierung liefert diverse dimensionslose Kennzahlen.

Vereinfachungen der Navier-Stokes-Gleichungen

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Werden die Terme zweiter Ordnung, wie Reibung, vernachlässigt (η=0 ; λ=0), so erhält man die Euler-Gleichungen (hier für den inkompressiblen Fall)

$$

\rho \left({ \partial\mathbf{u} \over \partial t } + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} \right) = \mathbf{f} -\nabla p .

Eine andere Art von Vereinfachungen ist in der Geodynamik üblich, wo der Mantel der Erde (oder anderer terrestrischer Planeten) als eine extrem zähe Flüssigkeit behandelt wird. In dieser Näherung ist die Diffusivität des Impulses, d.h. die kinematische Viskosität, viele Größenordnungen höher als die thermische Diffusivität, und der Trägheitsterm kann vernachlässigt werden; andererseits haben Geomaterialien eine komplizierte Rheologie, die dazu führt, dass die Viskosität nicht als konstant angesehen wird. Für den inkompressiblen Fall ergibt dies:

$$

-\nabla p+ \nabla\cdot\{\eta^*\}+ \mathbf{f}=0 .

Man löst also in diesem Fall die stationäre Stokes-Gleichung.

Für gravitationsabhängige Strömungen mit kleinen Dichtevariationen und nicht zu großen Temperaturschwankungen wird häufig die Boussinesq-Approximation verwendet.

Numerische Lösung

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Die Navier-Stokes-Gleichungen können direkt numerisch berechnet werden. Jedoch erzwingt die Auflösung der einzelnen Turbulenzen ein sehr feines Gitter, so dass dies eigentlich nur in der Forschung unter Zuhilfenahme von Supercomputern und bei kleinen Reynolds-Zahlen möglich ist.

In der Praxis hat sich die Lösung der Reynolds-Gleichungen durchgesetzt. Hier ist jedoch ein Turbulenzmodell nötig, um das Gleichungssystem zu schließen

Als Mittelweg gilt die Large Eddy Simulation, die zumindest die großen Wirbel direkt numerisch berechnet und erst die kleinen Skalen über ein Turbulenzmodell simuliert.

Literatur

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• Alexander J. Chorin, Jerold E. Marsden, A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics, Third Edition 1998, Springer Verlag
• Pierre-Louis Lions, Mathematical Topics in Fluid Mechanics, Volume 1 Incompressible Models, 1996, Oxford Science Publications
• Pierre-Louis Lions, Mathematical Topics in Fluid Mechanics, Volume 2 Compressible Models, 1998, Oxford Science Publications

Weblinks

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• Beschreibung des Millennium Problems Navier-Stokes-Gleichungen (pdf-Datei)

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