Der Nabla-Operator ist ein Differentialoperator in der Vektoranalysis. Er wird mit dem Nabla-Symbol $\backslash nabla$ bezeichnet oder mit $\backslash vec\{\backslash nabla\}$ (im englischen Sprachraum $\backslash underline\; \backslash nabla$), um seine Ähnlichkeit zu einem Vektor zu betonen. Es handelt sich aber um einen Pseudovektor. Sein Name stammt von der Bezeichnung eines hebräischen Saiteninstruments, das in etwa die Form dieses Zeichens hatte.

Nabla wird für die kürzere Schreibweise des Gradienten, der Divergenz und der Rotation benutzt.

Im n-dimensionalen Raum Rⁿ liefert $\backslash vec\backslash nabla$ alle partiellen Ableitungen einer Funktion f von Rⁿ nach R, dies ist genau der Gradient von f.

Als n-Vektor aufgefasst ist

$\backslash vec\{\backslash nabla\}\; =$

\left(\frac{\partial}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_n}\right)

Der differenzierende Charakter des Operators wirkt nach rechts (auf die rechts stehenden Zeichen), während der Vektorcharakter wie ein normaler Vektor verwendet wird.

In der Tensoranalysis erweist sich der Nabla-Operator als wichtiges Beispiel für einen kovarianten Tensor.

Die folgenden Formeln gelten für alle dreidimensionalen Räume. Hier erläutert am Beispiel des in der Physik am häufigsten vorkommenden Falles eines dreidimensionalen Ortsraums R³ mit den rechtwinkligen Koordinaten x, y und z (kartesisches Koordinatensystem).

• Angewandt auf ein Skalarfeld $\backslash begin\{matrix\}\; \backslash Phi(x,y,z)\; \backslash end\{matrix\}$ erhält man den Gradienten des Skalarfeldes

$$

\operatorname{grad\ }\Phi = \vec\nabla \Phi = \left(\frac{\partial\Phi}{\partial x}, \frac{\partial\Phi}{\partial y}, \frac{\partial\Phi}{\partial z}\right) = \frac{\partial\Phi}{\partial x} e_x + \frac{\partial\Phi}{\partial y} e_y + \frac{\partial\Phi}{\partial z} e_z,

wobei $e\_x,\; e\_y,\; e\_z$ die kanonischen Einheitsvektoren des R³ sind.

• Angewandt auf ein Vektorfeld $\backslash begin\{matrix\}\; \backslash vec\{V\}(x,\; y,\; z)\; \backslash end\{matrix\}$ ergibt sich die Divergenz des Vektorfeldes als formales Skalarprodukt mit dem Vektorfeld zu

$$

\operatorname{div\ }\vec{V} = \vec{\nabla} \cdot \vec{V} = \frac{\partial V_x}{\partial x} + \frac{\partial V_y}{\partial y} + \frac{\partial V_z}{\partial z}.

• Die Rotation ergibt sich durch (rechtsseitige) Verknüpfung über das formale Kreuzprodukt

$$

\operatorname{rot\ }\vec{V} = \vec{\nabla} \times \vec{V} = \begin{pmatrix} \frac{\partial V_z}{\partial y} - \frac{\partial V_y}{\partial z} \\ \frac{\partial V_x}{\partial z} - \frac{\partial V_z}{\partial x} \\ \frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y} \\ \end{pmatrix}.

Ferner gelten für beliebige Skalarfelder φ, ψ und f und Vektorfelder $\backslash vec\; A$ und $\backslash vec\; B$ folgende Rechenregeln:

$\backslash vec\backslash nabla(\backslash psi\backslash varphi)=\backslash psi\backslash vec\backslash nabla\backslash varphi+\backslash varphi\backslash vec\backslash nabla\backslash psi$

$\backslash vec\backslash nabla(\backslash vec\; A\backslash vec\; B)=(\backslash vec\; A\backslash vec\backslash nabla)\backslash vec\; B+(\backslash vec\; B\backslash vec\backslash nabla)\backslash vec\; A+\backslash vec\; A\backslash times(\backslash vec\backslash nabla\backslash times\backslash vec\; B)+\backslash vec\; B\backslash times(\backslash vec\backslash nabla\backslash times\backslash vec\; A)$

$\backslash vec\backslash nabla\; f(r)=\backslash frac\{df\}\{dr\}\backslash frac\{\backslash vec\; r\}\{r\}$

$\backslash vec\backslash nabla(\backslash varphi\backslash vec\; A)=\backslash varphi\backslash vec\backslash nabla\backslash vec\; A+\backslash vec\; A\backslash vec\backslash nabla\backslash varphi$

$\backslash vec\backslash nabla(\backslash vec\; A\backslash times\backslash vec\; B)=\backslash vec\; B(\backslash vec\backslash nabla\backslash times\backslash vec\; A)-\backslash vec\; A(\backslash vec\backslash nabla\backslash times\backslash vec\; B)$

$\backslash vec\backslash nabla\backslash vec\backslash nabla\backslash varphi=\backslash Delta\backslash varphi$ (siehe auch Laplace-Operator)

$\backslash vec\backslash nabla(\backslash vec\backslash nabla\backslash times\backslash vec\; A)=0$

$\backslash vec\backslash nabla\backslash times\backslash varphi\backslash vec\; A=\backslash varphi\backslash vec\backslash nabla\backslash times\; \backslash vec\; A-\backslash vec\; A\backslash times\backslash vec\backslash nabla\backslash varphi$

$\backslash vec\backslash nabla\backslash times\; (\backslash vec\; A\backslash times\backslash vec\; B)=(\backslash vec\; B\backslash vec\backslash nabla)\backslash vec\; A-\backslash vec\; B(\backslash vec\backslash nabla\backslash vec\; A)+\backslash vec\; A(\backslash vec\backslash nabla\backslash vec\; B)-(\backslash vec\; A\backslash vec\backslash nabla)\backslash vec\; B$

$\backslash vec\backslash nabla\backslash times\backslash vec\backslash nabla\backslash varphi=\backslash vec\; 0$

$\backslash vec\backslash nabla\backslash times\; (\backslash vec\backslash nabla\backslash times\; \backslash vec\; A)=\backslash vec\backslash nabla(\backslash vec\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash vec\; A)-\backslash Delta\backslash vec\; A$

Weitere Rechenregeln siehe unter Gradienten, Divergenz und Rotation.

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