NP-Vollständigkeit

Der Begriff NP-Vollständigkeit ist ein Begriff aus der Komplexitätstheorie der Theoretischen Informatik, der im Jahre 1971 von Stephen A. Cook durch den Satz von Cook eingeführt wurde. Er zeichnet spezielle formale Sprachen der Komplexitätsklasse NP aus. So werden solche Sprachen NP-vollständig genannt, die -- intuitiv gesprochen -- die vollständige Schwierigkeit aller Sprachen aus der Komplexitätsklasse NP in sich tragen.

Der Begriff benötigt eine Rechtfertigung in dem Sinn, dass überhaupt wenigstens eine derartige Sprache existiert. Die wesentliche Leistung von Cook bestand zunächst darin, diesen Nachweis erbracht zu haben. Heute existieren wesentlich einfachere Nachweise für die Existenz einer solchen Sprache, allerdings sind die dafür verwendeten Sprachen sehr künstlich. Cooks Verdienst besteht also auch darin, für eine besonders interessante Sprache diesen Nachweis erbracht zu haben.

Aufbauend auf der Arbeit von Cook konnte Richard Karp im Jahre 1972 eine weitere bahnbrechende Arbeit vorlegen, die der Theorie der NP-Vollständigkeit zu noch größerer Popularität verhalf. Karps Verdienst besteht darin, die Technik der Polynomialzeitreduktion konsequent genutzt zu haben, um für weitere 21 populäre Probleme die NP-Vollständigkeit nachzuweisen.

Die Bedeutung der gesamten Theorie begründet sich vor allem auf folgenden Eigenschaften NP-vollständiger Sprachen:

Es konnte bisher für keine dieser Sprachen nachgewiesen werden, dass ein Algorithmus existiert, der für ihr Wortproblem in polynomieller Zeit eine korrekte Antwort liefert.
Wenn für eine NP-vollständige Sprache ein Algorithmus gefunden wird, der in polynomieller Zeit eine korrekte Antwort liefert, dann kann das Wortproblem für alle Sprachen in der Komplexitätsklasse NP in polynomieller Zeit entschieden werden.

Definition

Ein Problem (genauer: ein Entscheidungsproblem) L heißt NP-vollständig genau dann, wenn:

L in der Klasse NP liegt, das heißt $L \in NP$ und
L ist NP-schwer, das heißt $\forall L^*\, \in NP: L^* \le_{p} L$ .

Letztere Bedingung bedeutet, dass jedes Problem in NP durch eine Polynomialzeitreduktion auf L reduziert werden kann.

Nachweis der NP-Vollständigkeit

Der Nachweis der ersten Eigenschaft für ein Problem ist in aller Regel leicht. Man "rät" eine Lösung und zeigt, dass man in Polynomialzeit verifizieren kann, ob die Lösung wirklich zutrifft.

Der Nachweis der zweiten Eigenschaft, die man für sich allein mit NP-Schwer (oder oft - eigentlich falsch - aus dem englischen zurückübersetzt mit NP-Hart) bezeichnet, ist schwieriger. Insbesondere bereitet es Probleme, eine Aussage für beliebige Probleme in NP zu zeigen. Daher nimmt man gewöhnlich ein ähnliches Problem, für das die NP-Vollständigkeit schon bekannt ist und reduziert es auf dasjenige Problem, für das man die Eigenschaft der NP-Schwere zeigen will. Aus der Transitivität von Polynomialzeitreduktionen folgt dann, dass alle Probleme aus NP auch auf das betrachtete Problem reduzierbar sind.

Die obige Definition erfordert streng genommen einen Existenzbeweis. Es ist nicht sofort ersichtlich, dass derartige Probleme überhaupt existieren. Es lässt sich aber leicht ein solches Problem konstruieren.

Allerdings ist ein derart konstruiertes Problem kaum praxisrelevant. Cook konnte jedoch zeigen, dass das Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik NP-vollständig ist und hat damit für ein praxisrelevantes Problem den Nachweis geführt. Dieser Beweis konnte im Gegensatz zu anderen Problemen natürlich noch nicht wie oben dargestellt über die Transitivität von Polynomialzeitreduktionen geführt werden und musste direkt erfolgen.

NP-Äquivalenz

Der Begriff NP-Vollständigkeit ist nur für Entscheidungsprobleme definiert, also solche Probleme, die sich auf das Wortproblem einer formalen Sprache zurückführen lassen, für die als Antwort also nur entweder Ja oder Nein in Frage kommt. Für Optimierungsprobleme und Suchprobleme gibt es den Begriff der NP-Äquivalenz.

Approximation

Probleme die in NP liegen, lassen sich weiter in ihrer Komplexität unterteilen, je nach dem, wie gut sie sich approximativ lösen lassen. Das Graphen-Färbungsproblem lässt sich beispielsweise nur sehr schlecht approximativ lösen, während sich andere Probleme beliebig gut mittels so genannter Approximationsschemata approximieren lassen.

Starke und schwache NP-Vollständigkeit

Weiter kann man die NP-vollständigen Probleme noch einteilen in

stark NP-vollständige und
schwach NP-vollständige Probleme

Ein NP-vollständiges Problem heißt stark NP-vollständig, falls es auch dann noch NP-vollständig ist, wenn die Eingabe nur aus Zahlen besteht, deren Größe polynomiell in der Eingabelänge beschränkt ist. Andernfalls heißt das Problem schwach NP-vollständig. Für stark NP-vollständige Probleme kann es - unter der Annahme NP ungleich P - noch nicht einmal so genannte pseudopolynomielle Algorithmen geben. Das sind Algorithmen, deren Laufzeit polynomiell ist, wenn die Größe aller in der Eingabe vorkommenden Zahlen polynomiell in der Eingabelänge beschränkt sind. Ein Beispiel für ein Problem für das ein pseudopolynomieller Algorithmus vorliegt ist das Rucksack Problem. Die dort vorliegenden Algorithmen, die auf dem Prinzip der dynamischen Programmierung basieren, haben z.B. für den DAP2 Algorithmus eine Laufzeit die mit O(n*G) beschränkt ist. Die Rechenzeit ist somit polynomiell, falls G polynomiell ist.

Literatur

Michael R. Garey und David S. Johnson: Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness. Freeman, San Francisco, 1978. ISBN 0716710455
Stephen A. Cook: The Complexity of Theorem Proving Procedures. In Annual ACM Symposium on Theory of Computing (STOC), pp 151--158, 1971.

Weblinks

Compendium of NP-complete optimization problems (englisch)

Siehe auch

Komplexitätstheorie

Gourt Home::Gourt :: NP-Vollständigkeit