In der Mathematik heißt eine Funktion oder Folge, die nur größer wird oder konstant ist (und niemals fällt), monoton steigend (oder monoton wachsend bzw. isoton). Entsprechend heißt eine Funktion oder Folge monoton fallend (antiton), wenn sie nur kleiner wird oder konstant bleibt.

Streng monoton steigend (bzw. streng monoton fallend) sind Funktionen oder Folgen, die nur größer (kleiner) werden, jedoch nicht konstant sind.

Beispiele

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Ygleichxhoch3.png

Die Folge

1,3,5,7,9,11,...

ist streng monoton steigend.

Die Folge

1,3,3,5,6,8,8,9,1000,1200

ist monoton steigend, jedoch nicht streng monoton steigend (3 und 8 kommen doppelt vor).

Die Funktion

$y=x^3$

ist über den gesamten Wertebereich streng monoton steigend. Bei x=0 hat sie zwar eine Steigung von 0, jedoch nur an diesem einen Punkt.

Die Funktion

$y=x^2$

ist im Bereich von minus unendlich bis Null (einschließlich) ($x\; \backslash leq\; 0$) streng monoton fallend. Im Bereich von Null (einschließlich) bis plus unendlich ($x\; \backslash geq\; 0$) ist sie streng monoton steigend.

Definitionen

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Sei $\backslash begin\{matrix\}f:\; A\; \backslash rightarrow\; B\backslash end\{matrix\}$ eine Funktion. Auf $\backslash begin\{matrix\}\; A\; \backslash end\{matrix\}$ und $\backslash begin\{matrix\}\; B\; \backslash end\{matrix\}$ sei jeweils eine Ordnungsrelation $\backslash begin\{matrix\}\; \backslash leq\; \backslash end\{matrix\}$ definiert. Dann heißt die Funktion $\backslash begin\{matrix\}\; f\; \backslash end\{matrix\}$ monoton steigend, wenn: für alle .

Gilt anstelle von $f(a)\; \backslash leq\; f(b)$ sogar , so heißt die Funktion $\backslash begin\{matrix\}\; f\; \backslash end\{matrix\}$ streng monoton steigend. Entsprechend gilt natürlich für $\backslash begin\{matrix\}\; \backslash geq\; \backslash end\{matrix\}$ bzw. $\backslash begin\{matrix\}\; >\; \backslash end\{matrix\}$ monoton fallend bzw. streng monoton fallend.

Eine Folge $(a\_\{n\})\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}\}$ heißt monoton steigend, wenn für alle $n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}$ gilt: $a\_\{n+1\}\; \backslash geq\; a\_n$.

Eine Folge $(a\_\{n\})\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}\}$ heißt streng monoton steigend, wenn für alle $n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}$ gilt: $\backslash begin\{matrix\}a\_\{n+1\}\; >\; a\_n\backslash end\{matrix\}$.

Weitere Eigenschaften

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Für monotone Funktionen gilt:

• Sie haben überall in ihrem Definitionsbereich einen linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert.
• Sie können nur Sprünge als Unstetigkeiten haben.
• Die Anzahl der Sprünge in ihrem Definitionsbereich ist abzählbar (aber i.A. nicht notwendigerweise endlich).
• Sie sind fast überall differenzierbar.
• Eine im Intervall ^* definierte monotone Funktion ist Riemann-integrierbar.

Monotonie differenzierbarer reeller Funktionen

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• Eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall ist genau dann monoton wachsend (bzw. monoton fallend), wenn die Ableitung nirgendwo negativ (bzw. nirgendwo positiv) ist.
• Eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall ist genau dann streng monoton wachsend (bzw. streng monoton fallend), wenn die Ableitung
  • nirgendwo negativ (bzw. nirgendwo positiv)
  • und auf keinem Teilintervall konstant gleich null ist.

Weblinks

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• Monotonie von Funktionen (Das Verhalten der Funktion im Vergleich zur Ableitungsfunktion)

Analysis | Folgen und Reihen | Ordnungstheorie

Monotónní funkce | Monotonic function | Función monótona | Fonction monotone | פונקציה מונוטונית | Funzione monotona | Funkcja monotoniczna | Монотонная функция | Monotonost