In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die momenterzeugende Funktion einer Zufallsvariablen $X$ definiert als die Laplace-Transformierte des durch $X$ festgelegten Wahrscheinlichkeitsmaßes:

$M\_X(t)=E\backslash left(e^\{tX\}\backslash right)=\backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}\{E(X^n)\backslash over\; n!\}\backslash cdot\; t^n$.

Die Bezeichnung momenterzeugend bezieht sich darauf, dass die k-te Ableitung von $M\_X$ im Punkt 0 (Null) gleich dem k-ten Moment der Zufallsvariablen $X$ ist:

$M\_X^\{(k)\}(0)\; =\; m\_X^k$.

Die momenterzeugende Funktion steht in engem Zusammenhang mit der charakteristischen Funktion $\backslash varphi\_X(t)\; =\; E\backslash left(e^\{\backslash mathrm\{i\}t\; X\}\backslash right)$, die im wesentlichen die Inverse der Fourier-Transformierten des Wahrscheinlichkeitsmaßes darstellt.

Zu weiteren erzeugenden Funktionen zählt man die charakteristische Funktion, die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion und die kumulantenerzeugende Funktion als Logarithmus der momenterzeugenden Funktion.

Stochastik

Moment-generating function | 모멘트생성함수 | Momentgenererende functie | Производящая функция моментов | Moment-generating function | 动差生成函数