In der Mechanik bezeichnet man als Moment die drehende Wirkung, die von einem entgegengesetzt gerichteten, gegeneinander in der Wirkungslinie versetzten, gleich großen Paar gleich großer Kräfte ausgeübt wird. Den senkrechten Abstand der Wirkungslinien der beiden Kräfte bezeichnet man als Hebelarm.

Im technischen Bereich existiert eine Nomenklatur, in der das Drehmoment eine spezielle Momentart bezeichnet. Im allgemeinen Gebrauch des Begriffs Drehmoment umfasst dieser Begriff auch das, was hier unter Moment definiert wird.

Die Größe des Moments ist das Produkt aus einer der beiden Kräfte und dem senkrechten Abstand der Wirkungslinien der Kräfte. Diesen Abstand bezeichnet man als Hebelarm. Das Moment ist als Vektor darstellbar, der mit der Ebene, die von beiden Wirkungslinien gebildet wird, einen rechten Winkel bildet. (s. Kreuzprodukt). Die Richtung des Momentenvektors ist per Definition diejenige Richtung, in der eine Schraube mit Rechtsgewinde fortschreiten würde. Man bezeichnet dies auch als Rechte-Hand-Regel: die gekrümmten Finger zeigen in Drehrichtung, und der Daumen in Richtung des Momentenvektors. Der Momentenvektor wird im Unterschied zum Kraftvektor, der eine "Spitze" hat, mit zwei übereinander angeordneten Spitzen dargestellt.

Die physikalische Dimension des Moments ist demnach das Produkt aus Kraft und Hebelarm. Im SI-System hat ein Moment die abgeleitete Maßeinheit Newtonmeter (Nm), gleichbedeutend mit $\backslash mathrm\{\backslash frac\{kg\; \backslash cdot\; m^\{2\}\}\{s^\{2\}\}\}$.

Anmerkung: Die Einheit des Momentes ist auch die der physikalischen Arbeit. Allerdings muss das Moment um einen Winkel drehen, um Arbeit zu leisten, das Moment ist also mit dem dimensionslosen Winkel (in der dimensionslosen SI-Einheit Radiant) zu multiplizieren. Es werden also zwei verschiedene physikalische Größen mit der Einheit Newton mal Meter beschrieben.

Eine Kraft $\backslash vec\{P\}$, die in einem Punkt A angreift, kann man mit einer gleichen Kraft $\backslash vec\{Q\}$ und entgegengesetzt gleicher Kraft $\backslash vec\{R\}$ ergänzen, die beide im Punkt B angreifen und sich dort gegenseitig aufheben. Betrachtet man nun $\backslash vec\{Q\}$ als eine von A nach B verschobene Version der Kraft $\backslash vec\{P\}$, ergibt sich, dass zusätzlich ein Moment aus dem Kräftepaar $\backslash vec\{P\}$ und $\backslash vec\{R\}$ entsteht. Das Moment ist in der folgenden Skizze ein Vektor, der in die Ebene hineinzeigt, und beträgt $\backslash overrightarrow\{BA\}\; \backslash times\; \backslash vec\{P\}$, also das Kreuzprodukt aus dem Ortsvektor des Kraftangriffspunktes und dem Kraftvektor. (Vektoren in der folgenden Skizze durch Fettdruck gekennzeichnet.)

A A A P

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>o o P

---

>o | | | | = | + | | | | o Q

---

>o o<

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R B B B

Wenn an einem Körper sehr viele Kräfte $\backslash vec\{F\}\_1,\backslash vec\{F\}\_2,\backslash vec\{F\}\_3,\backslash ldots$ in den Punkten $\backslash vec\{r\}\_1,\backslash vec\{r\}\_2,\backslash vec\{r\}\_3,\backslash ldots$ wirken, rechnet man sie in diesem Sinne auf einen gemeinsamen Bezugspunkt $\backslash vec\{r\}\_0$ um, indem man sie alle dorthin verschiebt und gleichzeitig die Momente

$$

\vec{M}_1 = (\vec{r}_1-\vec{r}_0)\times\vec{F}_1

$$

\vec{M}_2 = (\vec{r}_2-\vec{r}_0)\times\vec{F}_2

$$

\vec{M}_3 = (\vec{r}_3-\vec{r}_0)\times\vec{F}_3

$$

\ldots einführt.

Wenn der Körper irgendwo befestigt ist, schneidet man ihn (in Gedanken) frei und bezieht die Schnittlasten in die Betrachtung mit ein. Schnittlasten sind die von der weggeschnittenen Umgebung auf den Körper ausgeübten Kräfte und Momente. Der Körper befindet sich im Gleichgewicht, wenn nicht nur alle (in den gemeinsamen Bezugspunkt umgerechneten) Kräfte in der Summe null sind, sondern auch alle Momente (die beim Verschieben der Kräfte in den Bezugspunkt hinzukommen):

$$

\sum_{(i)} \vec{F}_i = 0\;,\quad \sum_{(i)}\vec{M}_i = \sum_{(i)}(\vec{r}_i-\vec{r}_0)\times\vec{F}_i = 0

Anderenfalls wird der Körper durch die Kräfte und Momente translatorisch und/oder rotatorisch beschleunigt. Hierbei wählt man als körperfesten Bezugspunkt am zweckmäßigsten den Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) am Ort $\backslash vec\{r\}\_G$. Ein beliebiger Punkt des Körpers hat die Geschwindigkeit

$$

\frac{\partial r}{\partial t}= \frac{\partial r_G}{\partial t} +\vec{\omega} \times (\vec{r}-\vec{r}_G)\,, wobei der Drehgeschwindigkeitsvektor $\backslash vec\{\backslash omega\}$ nach der Rechte-Hand-Regel in Richtung des Daumens zeigt, wenn die Fingerspitzen in Drehrichtung zeigen.

Aus dem zweiten newtonschen Gesetz („Kraft = Masse mal Beschleunigung“) ergibt sich der Schwerpunktsatz

$$

m \frac{\partial^2 \vec{r}_G}{\partial t^2} = \sum_{(i)} \vec{F}_i. Der Drallsatz

$$

\frac{\partial}{\partial t}(\Theta \cdot \vec{\omega}) = \Theta \cdot \frac{\partial \vec{\omega}}{\partial t} + \vec{\omega} \times (\Theta \cdot \vec{\omega})= \sum_{(i)} \vec{M}_i\,. kann unter der Annahme, dass zwischen den Punktmassen nur zentrale Kräfte wirken (d.h. die Kräfte zwischen den Punktmassen wirken entlang der Verbindungslinie) durch Integration über alle Punktmassen hergeleitet werden. Es sei deshalb angemerkt, daß der Drallsatz nicht bewiesen werden kann.

Darin ist m die Masse des Körpers. $\{\backslash Theta\backslash ,\}$ ist der Massenträgheitstensor, im Allgemeinen ein Tensor zweiter Stufe, darstellbar als 3×3 Matrix. Seine Komponenten sind die im körperfesten System zeitlich konstanten Massenträgheits- und Deviationsmomente.

Im einfachsten Fall, wenn der Körper sich um eine raumfeste Achse dreht, die doppelt symmetrisch ist (d.h. beide Symmetrieebenen schneiden sich in der Drehachse), vereinfacht sich der Drallsatz zu „Massenträgheitsmoment mal Drehbeschleunigung = Momentensumme“ in Analogie zu „Masse mal Beschleunigung = Kräftesumme“.

In Wellen, Trägern und anderen Balken unterscheidet man die Schnittmomente

• Biegemoment, Momentenvektor quer zur Achse, Balken wird gekrümmt
• Torsionsmoment, Momentenvektor in Achsrichtung, Balken wird verdrillt

Man betrachtet dabei einen Teil des Balkens, von dem der restliche Balken (in Gedanken) weggeschnitten wurde, und definiert die Schnittkräfte und Schnittmomente als Komponenten des Kraftvektors und des Momentenvektors, den der weggeschnittene Teil auf das Schnittufer ausübt.

Literatur

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• Istvan Szabó: Einführung in die Technische Mechanik, Springer, 1999, ISBN 3540442480
• Peter Gummert, Karl-August Reckling: Mechanik, Vieweg, 1994, ISBN 352828904X

Siehe auch

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• Physik
• Drehmoment

moment_(physics) | momanto (fiziko) | Moment (mécanique) | Moment siły | Navor | モーメント | Moment | Mô men | 力矩

Mechanik