In der Statistik sind Momente Kenngrößen einer Verteilungsfunktion (einer Zufallsvariablen). Die Begriffe Erwartungswert, Varianz, Schiefe und Wölbung zur Beschreibung einer Funktion ergeben sich aus den sogenannten zentralen Momenten (siehe dort). Eine Verteilungsfunktion ist durch Angabe aller ihrer Momente bestimmt, falls diese existieren. Es gibt auch Verteilungen, deren Momente nicht existieren, wie z. B. die Levy-Verteilung. Man unterscheidet gewöhnliche Momente, absolute, zentrale und das Moment um c.

Beispiel: Eine Normalverteilung ist beispielsweise durch ihren Erwartungswert und ihr zweites Moment festgelegt, da alle ungeradzahligen Momente verschwinden und die höheren geradzahligen Momente im direkten Zusammenhang zum zweiten Moment stehen.

Definition - Gewöhnliche Momente

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Es seien $X$ Zufallsgröße, $k$ eine natürliche und $r$ eine reelle Zahl. Dann bezeichnet man als gewöhnliches Moment der Ordnung $k$ bezüglich $r$ (oder einfach als $k$-tes gewöhnliches Moment) den Erwartungswert der $k$-ten Potenz der auf $r$ "zentrierten" abgeleiteten Zufallsgröße:

$$

m_k(r)=\operatorname{E}\left(\left(X - r\right)^k\right)

Stetige Zufallsvariable

Bei einer stetigen reelle Zufallsgröße mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f\_X$ ergibt sich damit:

$$

m_k(r) := \int_{-\infty}^{\infty} \left(x - r\right)^{k} f_X(x)\;\mathrm{d} x

Diskrete Zufallsvariable

Bei einer diskreten reellen Zufallsvariable mit denWahrscheinlichkeiten $p\_i$ ergibt sich damit:

$m\_k(r)=\backslash sum\_\{i=1\}^\backslash infty\; (x\_i-r)^k\; p\_i$

gewöhnliche Momente (k-ter Ordnung)

$m\_1\; =\; \backslash operatorname\{E\}(x)$

$m\_2\; =\; \backslash operatorname\{E\}(x^2)\; =\; \backslash operatorname\{Var\}(x)+(\backslash operatorname\{E\}(x))^2$

Absolute Momente

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$$

M_k(r)=\operatorname{E}(|(X - r)|^k)

bezeichnet man als k-tes absolutes Moment von $x$ in Bezug auf $r$.

Zentrale Momente

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Die zentralen Momente setzen für $r$ den Erwartungswert $\backslash operatorname\{E\}(X)$ selbst ein.

$\backslash mu\_k:=\backslash operatorname\{E\}((X-m\_1)^k)$

Das zentrale Moment erster Ordnung ist gleich 0.

$\backslash mu\_1\; =\; 0$

Das zentrale Moment zweiter Ordnung entspricht der Varianz.

$\backslash mu\_2(\backslash mu)=\backslash operatorname\{E\}((X\; -\; m\_1)^2)$

Das zentrale Moment dritter Ordnung entspricht mit $\backslash gamma*\backslash sigma^3$ der Schiefe.

Das zentrale Moment vierter Ordnung entspricht der Wölbung oder Kurtosis. Schiefe und Wölbung werden oft als Maß der Abweichung von der Normalverteilung benutzt.

Moment und die charakteristische Funktion

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Durch mehrfaches Ableiten der Formel für die charakteristische Funktion erhält man eine Darstellung der gewöhnlichen Momente durch die charakteristische Funktion als:

$\backslash operatorname\{E\}(X^\{k\})\; =\; \backslash frac\{\backslash varphi\_\{X\}^\{(k)\}(0)\}\{i^\{k\}\}\; \backslash quad\; (k=1,2,\backslash dots)$

Moment um eine Konstante (c)

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• das Moment um $c$ (c : Konstante, k-ter Ordnung): $\backslash operatorname\{E\}(x-c)^k$

Momente um Null

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Wird $r=0$ angenommen, so spricht man von Momenten um Null, oder bezeichnet

$$

m_k=m_k(0)=\operatorname{E}((X-0)^k) = \operatorname{E}(X^k)

schlichtweg als das k-te Moment. Das k-te Moment kann mit der momenterzeugenden Funktion ermittelt werden.

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Moment (mathematics) | Momento (statistica)