Spannungskreis.png | Spannungszustand-gedreht.png | Koordinatendrehung_Spannung.png

Der mohrsche Spannungskreis ist ein von Christian Otto Mohr entwickeltes Verfahren zur geometrischen Darstellung von Normal- und Schubspannungen.

In der Festigkeitslehre kann das Verfahren angewendet werden, um mechanische Belastungen in einem Werkstück zu bestimmen. Dabei wird beispielsweise ein Stab in einem Winkel φ geschnitten und die auftretenden Schub- und Normalspannungen in Abhängigkeit von diesem Winkel im Spannungskreis aufgetragen.

ebener Spannungszustand

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Die beiden Hauptspannungen im ebenen Spannungszustand sind durch die Formel

$\{\backslash sigma\_\{1,2\}\; =\; \backslash atop\; \backslash \; \}\; \{\backslash underbrace\; \{\backslash pm\; \backslash atop\; \backslash \; \}\; \{\; \backslash underbrace\{\backslash sqrt\{\; \backslash left\{\backslash sigma\_\{xx\}\; -\; \backslash sigma\_\{yy\}\; \backslash over\; 2\; \}\backslash right^2\; +\; \backslash tau\_\{xy\}^2\}\}\; \backslash atop\; \backslash rm\{Kreisradius\}\}$

zu bestimmen. Die Ergebnisse werden so sortiert, dass $\backslash sigma\_1\; \backslash ge\; \backslash sigma\_2$. Hauptspannungen sind diejenigen Spannungen, die bei einem bestimmten Winkel φ auftreten, für den die Schubspannungen verschwinden.

Die Winkel, unter denen die Hauptspannungen auftreten, sind durch

$\backslash tan\; 2\backslash varphi\_\{1,2\}\; =\; \{\; 2\backslash tau\_\{xy\}\; \backslash over\; \backslash sigma\_\{xx\}\; -\; \backslash sigma\_\{yy\}\}$

gegeben. Diese Bestimmung liefert aufgrund der Eigenschaften des Tangens kein eindeutiges Ergebnis; Die Winkel lassen sich jedoch auch aus dem Spannungskreis ablesen: Dazu lässt man den Punkt $(\backslash sigma\_\{\backslash xi\backslash xi\},\backslash tau\_\{\backslash xi\backslash eta\})\; \backslash ,$ entlang der Kreisbahn nach unten wandern, bis er über σ₁ und σ₂ streicht. Der an diesen Punkten gefundene Winkel entspricht 2φ - er muss also noch halbiert werden.

Im ebenen Spannungszustand lassen sich die maximalen Schubspannungen wie folgt berechnen:

$\backslash tau\_\{max\}\; =\; \{\backslash sigma\_1\; -\; \backslash sigma\_2\; \backslash over\; 2\}\; =\; \{\backslash sqrt\{\; \backslash left\{\backslash sigma\_\{xx\}\; -\; \backslash sigma\_\{yy\}\; \backslash over\; 2\; \}\backslash right^2\; +\; \backslash tau\_\{xy\}^2\}\}$

Sie treten im Winkel φ' auf, der um 45° gegen die Hauptspannungsrichtungen geneigt ist.

Zur Berechnung der Spannungen in einem beliebigen Schnittwinkel φ können folgende Formeln verwendet werden:

$\backslash sigma\_\{\backslash xi\backslash xi\}\; =\; \{1\; \backslash over\; 2\}(\backslash sigma\_\{xx\}\; +\; \backslash sigma\_\{yy\})\; +\; \{1\; \backslash over\; 2\}(\backslash sigma\_\{xx\}\; -\; \backslash sigma\_\{yy\})\; \backslash cos\; 2\backslash varphi\; +\; \backslash tau\_\{xy\}\backslash sin\; 2\backslash varphi$

$\backslash sigma\_\{\backslash eta\backslash eta\}\; =\; \{1\; \backslash over\; 2\}(\backslash sigma\_\{xx\}\; +\; \backslash sigma\_\{yy\})\; -\; \{1\; \backslash over\; 2\}(\backslash sigma\_\{xx\}\; -\; \backslash sigma\_\{yy\})\; \backslash cos\; 2\backslash varphi\; -\; \backslash tau\_\{xy\}\backslash sin\; 2\backslash varphi$

$\backslash tau\_\{\backslash xi\backslash eta\}\; =\; -\; \{1\; \backslash over\; 2\}(\backslash sigma\_\{xx\}\; -\; \backslash sigma\_\{yy\})\; \backslash sin\; 2\backslash varphi\; +\; \backslash tau\_\{xy\}\backslash cos\; 2\backslash varphi$

Es lässt sich zeigen, dass die Summe der Spannungen im gedrehten Schnitt gleich der Summe der Spannungen im ungedrehten System sind:

$\backslash sigma\_\{\backslash xi\backslash xi\}\; +\; \backslash sigma\_\{\backslash eta\backslash eta\}\; =\; \backslash sigma\_\{xx\}\; +\; \backslash sigma\_\{yy\}\; \backslash ,$

Sonderfälle

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Bei einem Zugstab liegt der Spannungskreis auf der rechten Seite des Koordinatensystems, da σ₂ = 0 und σ₁ > 0. Ist ein Druckstab gegeben, so liegt der Spannungskreis komplett im negativen Bereich des Koordinatensystems. Hier ist σ₁ = 0 und σ₂ < 0.

Treten nur Schubspannungen auf, so liegt der Mittelpunkt des Spannungskreises im Ursprung des Koordinatensystems.

Bei hydrostatischem Druck (ideale Flüssigkeit) ist vom Winkel φ unabhängig τ = 0; Der Spannungskreis entartet aufgrund des nun nicht mehr vorhandenen Radius zu einem Punkt.

Siehe auch: Mechanische Spannung

Weblinks

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• Java-Programm zum mohrschen Spannungskreis
• Noch ein Java-Applet zur Visualisierung des Spannungskreises

Technische Mechanik

Stress_(physics) Mohr's circle