Modulo (mit Betonung auf der ersten Silbe) oder mod ist eine insbesondere in der Informatik verbreitete Funktion, die den Rest aus der Division zweier Ganzzahlen angibt. In Programmiersprachen wird diese Funktion häufig durch den Operator % gekennzeichnet.

Es gibt zwei Varianten der Modulo-Funktion, die für negative Argumente unterschiedliche Ergebnisse liefern:

• "Mathematische Variante":

$(a\backslash ;\backslash bmod\backslash ;m)=\; a\; -\; \backslash left\; \backslash lfloor\; \backslash frac\{a\}\{m\}\; \backslash right\; \backslash rfloor\; \backslash cdot\; m$

mit der Gaußklammer $\backslash lfloor\; \backslash cdot\; \backslash rfloor$. Für diese Variante gilt stets

$(a\; +\; km)\backslash ;\backslash bmod\backslash ;m\; =\; a\backslash ;\backslash bmod\backslash ;m\backslash quad(k\backslash in\backslash mathbb\; Z),$

aber im Allgemeinen ist

$(-a)\backslash ;\backslash bmod\backslash ;m\; \backslash ne-(a\backslash ;\backslash bmod\backslash ;m),$ z. B. $(-2)\backslash ;\backslash bmod3=1\backslash ne-2=-(2\backslash ;\backslash bmod\backslash ;3)$.

Ist $m$ positiv, so ist $a\backslash ;\backslash bmod\backslash ;m\backslash geq0$ für alle $a$.

• "Symmetrische Variante":

$(a\backslash ;\backslash bmod\backslash ;m)\; =\; a\; -\; m\backslash cdot\; (a\backslash ,\backslash operatorname\{div\}\backslash ,m);$

dabei bezeichnet $a\backslash ,\backslash operatorname\{div\}\backslash ,m$ den zur Null hin gerundeten Quotienten $a/m$. Für diese Variante gilt

$(-a)\backslash bmod\; m\; =\; -(a\backslash bmod\; m)$,

aber im Allgemeinen

$(a\; +\; km)\backslash ;\backslash bmod\backslash ;m\backslash ne\; a\backslash ;\backslash bmod\backslash ;m$, z. B. $(1\; -\; 3)\backslash ;\backslash bmod\backslash ;3=(-2)\backslash ;\backslash bmod\backslash ;3=-2\backslash ne\; 1=1\backslash ;\backslash bmod\backslash ;3$.

$a\backslash ;\backslash bmod\backslash ;m$ hat stets dasselbe Vorzeichen wie $a$, oder es gilt $a\backslash ;\backslash bmod\backslash ;m\; =\; 0$.

In Programmiersprachen ist üblicherweise die zweite Variante implementiert. Gilt $a\backslash geq\; 0$ und $m>0$, so ergeben beide Varianten dasselbe Ergebnis.

Beispiele:

• 17 mod 3 = 2, da 17 = 5×3 + 2 („drei passt fünf mal in 17 und es bleiben zwei übrig“ – der Rest ist also zwei)
• 2 mod 3 = 2, da 2 = 0×3 + 2

Wenn $(a\backslash ;\backslash bmod\backslash ;n)\; =\; (b\backslash ;\backslash bmod\backslash ;n)$, dann folgt nicht daraus, dass $a\; =\; b$ ist, sondern nur, dass sich $a$ und $b$ um ein ganzzahliges Vielfaches von $n$ unterscheiden. Eine derartige Gleichung kann auch einfacher mit Hilfe der in der Zahlentheorie verbreiteten Kongruenzrelation geschrieben werden.

Siehe auch

• Kongruenz (Zahlentheorie)
• Hash-Funktion und die dort genannten Verfahren
• Kleiner fermatscher Satz
• Satz von Euler

Anwendungsbeispiele:

• IBAN

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