Der Mittelwert ist ein Begriff aus der Mathematik bzw. Statistik. Es sind zwei verschiedene Bedeutungen dieses Begriffs gebräuchlich, die sich allerdings überschneiden.

Zum einen nennt man den Erwartungswert einer Zufallsvariablen Mittelwert.

Zum anderen bezeichnet der Mittelwert, auch Mittel genannt, eine Durchschnittsbildung von verschiedenen Zahlenwerten. Diese Bedeutung wird hier erläutert.

Mittelwerte sind verschiedene mathematisch definierte, meist statistische Kenngrößen, die sich aus einer Reihe von Beobachtungswerten, etwa Messwerten einer Stichprobe, berechnen lassen. Aufgabe des Mittelwertes ist es, Aufschluss über den Durchschnittswert vorliegender Werte zu geben. Es gibt verschiedene Arten von Mittelwerten, wie z. B. geometrisches Mittel und arithmetisches Mittel.

Im Folgenden seien $x\_1\; \backslash ldots\; x\_n$ gegebene Messwerte, beispielsweise reelle Zahlen, deren Mittelwert berechnet werden soll.

Arithmetisches Mittel

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Das arithmetische Mittel (auch Durchschnitt) ist der am häufigsten benutzte Mittelwert und wird deshalb auch als Standardmittelwert bezeichnet.

Liegen von einem Merkmal n Beobachtungen vor, errechnet sich das Mittel der Stichprobe als

$\backslash bar\{x\}\_\{\backslash mathrm\{arithm\}\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{n\}\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\{x\_i\}\; =\; \backslash frac\{x\_1\; +\; x\_2\; +\; \backslash cdots\; +\; x\_n\}\{n\}$

Beispiel für das arithmetische Mittel von 50 und 100:

$\backslash frac\{50+100\}\{2\}\; =\; 75$

Sind $X\_1,\backslash dots\; X\_n$ Zufallsvariablen, die unabhängig und identisch verteilt mit Mittelwert bzw. Erwartungswert $\backslash mu$ und Varianz $\backslash sigma^2$ sind, so hat der Stichprobenmittelwert $m:=\backslash frac\{1\}\{n\}\backslash sum\_\{i=1\}^n\; X\_i$ ebenfalls Mittelwert $\backslash mu$, aber die kleinere Varianz $\backslash sigma^2/n$. Hat also eine Zufallsvariable endlichen Mittelwert und endliche Varianz, so folgt aus der Tschebyschow-Ungleichung, dass das arithmetische Mittel einer Stichprobe gegen den Erwartungswert der Zufallsvariablen stochastisch konvergiert. Das arithmetische Mittel ist daher nach vielen Kriterien eine geeignete Schätzung für den Erwartungswert der Verteilung, aus der die Stichprobe stammt. Es ist allerdings sehr empfindlich gegenüber Ausreißern (siehe Median und Sonstige Mittelwerte).

Anwendungsbeispiel

Ein Auto fährt eine Stunde lang 100 km/h und die darauffolgende Stunde 200 km/h. Mit welcher konstanten Geschwindigkeit muss ein anderes Auto fahren, um den selben Weg zurückzulegen?

Der Weg $s\_1$, den das erste Auto insgesamt zurückgelegt hat, beträgt

$s\_1=100\backslash mathrm\{km/h\}\; \backslash cdot\; 1\backslash mathrm\{h\}+200\backslash mathrm\{km/h\}\; \backslash cdot\; 1\backslash mathrm\{h\}.$

und der des zweiten Autos

$s\_2=v\_2\; \backslash cdot\; 2\backslash mathrm\{h\},$

wobei $v\_2$ die Geschwindigkeit des zweiten Autos ist. Aus $s\_1=s\_2$ ergibt sich

$v\_2\; \backslash cdot\; 2\backslash mathrm\{h\}=100\backslash mathrm\{km/h\}\; \backslash cdot\; 1\backslash mathrm\{h\}+200\backslash mathrm\{km/h\}\; \backslash cdot\; 1\backslash mathrm\{h\}.$

und damit

$v\_2=\backslash frac\{100\backslash mathrm\{km/h\}\backslash cdot\; 1\backslash mathrm\{h\}+200\backslash mathrm\{km/h\}\; \backslash cdot\; 1\backslash mathrm\{h\}\}\{2\backslash mathrm\{h\}\}=\backslash frac\{100\backslash mathrm\{km/h\}+200\backslash mathrm\{km/h\}\}\{2\}=150\backslash mathrm\{km/h\}.$

Gewichtetes arithmetisches Mittel

Das gewichtete Mittel wird beispielsweise verwendet, wenn man Mittelwerte aus Stichproben der gleichen Grundgesamtheit mit verschiedenen Stichprobenumfängen miteinander kombinieren will:

$\backslash bar\{x\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sum\_\{i=1\}^n\{w\_i\; \backslash cdot\; x\_i\}\}\{\backslash sum\_\{i=1\}^n\; \{w\_i\}\}$

Sind die $X\_i$ unabhängig verteilte Zufallsgrößen mit konstantem Erwartungswert $\backslash mu$ aber unterschiedlicher Varianz $\backslash sigma\_i^2$, so hat der gewichtete Mittelwert ebenfalls Erwartungswert $\backslash mu$ und seine Varianz beträgt

$\backslash sigma^2\_\{\backslash bar\{x\}\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sum\_\{i=1\}^n\; w\_i^2\backslash sigma\_i^2\}\{\backslash left(\backslash sum\_\{i=1\}^n\; w\_i\backslash right)^2\}$.

Wählt man

$w\_i\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sigma\_\{i\}^2\}$,

so vereinfacht sich die Varianz zu

$\backslash sigma^2\_\{\backslash bar\{x\}\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sum\_\{i=1\}^n\backslash frac\{1\}\{\backslash sigma\_i^2\}\}$.

Aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung folgt

$\backslash left(\backslash sum\_\{i=1\}^n\; w\_i^2\backslash sigma\_i^2\backslash right)\backslash cdot\backslash left(\backslash sum\_\{i=1\}^n\backslash frac\{1\}\{\backslash sigma\_i^2\}\backslash right)\backslash geq\; \backslash left(\backslash sum\_\{i=1\}^n\; w\_i\backslash right)^2$,

die Wahl $w\_i\; =\; 1/\backslash sigma\_\{i\}^2$ oder proportional dazu minimiert also die Varianz des gewichteten Mittels. Mit dieser Formel lassen sich die Gewichte $w\_i$ abhängig von der Varianz des jeweiligen Wertes, der dementsprechend den Mittelwert mehr oder weniger stark beeinflusst, zweckmäßig wählen.

Sind die $X\_i$ speziell Stichprobenmittelwerte vom Umfang $n\_i$ aus der selben Grundgesamtheit, so hat $X\_i$ die Varianz $\backslash sigma^2/n\_i$, also die Wahl $w\_i=n\_i$ ist optimal.

Beispiele zum gewichteten arithmetischen Mittel

Das arithmetische Mittel $\backslash bar\{x\}\_1$ der $n\_1=3$ Zahlen 1, 2 und 3 beträgt 2, das arithmetische Mittel $\backslash bar\{x\}\_2$ der $n\_2=2$ Zahlen 4 und 5 beträgt 4,5. Das arithmetische Mittel aller 5 Zahlen ergibt sich als mit dem Stichprobenumfang gewichteten Mittelwert der Teilmittelwerte:

$\backslash bar\{x\}=\backslash frac\{1+2+3+4+5\}\{5\}=\backslash frac\{3\backslash frac\{1+2+3\}\{3\}+2\backslash frac\{4+5\}\{2\}\}\{3+2\}=\backslash frac\{n\_1\backslash bar\{x\}\_1+n\_2\backslash bar\{x\}\_2\}\{n\_1+n\_2\}=\backslash frac\{6+9\}\{3+2\}=3.$

Liegen die Beobachtungen als klassierte Häufigkeit vor, kann man das arithmetische Mittel näherungsweise als gewichtetes Mittel bestimmen, wobei die Klassenmitten als Wert und der Klassenumfang als Gewicht zu wählen sind. Sind beispielsweise in einer Schulklasse ein Kind in der Gewichtsklasse 20 bis 25kg, 7 Kinder in der Gewichtsklasse 25 bis 30kg, 8 Kinder in der Gewichtsklasse 30 bis 35kg und 4 Kinder in der Gewichtsklasse 35 bis 40 kg, so lässt sich das Durchschnittsgewicht als

$\backslash frac\{1\; \backslash cdot\; 22\{,\}5\; +\; 7\; \backslash cdot\; 27\{,\}5\; +\; 8\; \backslash cdot\; 32\{,\}5\; +\; 4\; \backslash cdot\; 37\{,\}5\}\{1\; +\; 7\; +\; 8\; +\; 4\}\; =\; \backslash frac\{625\}\{20\}\; =\; 31\{,\}25$

abschätzen.

Weiteres Beispiel: Ein Bauer stellt im Nebenerwerb 100 kg Butter her. 10 kg kann er für 10 €/kg verkaufen, weitere 10 kg für 6 €/kg und den Rest muss er für 3 €/kg verschleudern. Zu welchem (gewichtetem) Durchschnittspreis hat er seine Butter verkauft? Lösung: (10 kg · 10 €/kg + 10 kg · 6 €/kg + 80 kg · 3 €/kg) / (10 kg + 10 kg + 80 kg) = 400 € / 100 kg = 4 €/kg. Der mit der jeweils verkauften Menge gewichtete Durchschnittspreis entspricht also dem fixen Preis, zu dem die Gesamtmenge verkauft werden müsste, um den gleichen Erlös zu erzielen wie beim Verkauf von Teilmengen zu wechselnden Preisen.

Der Mittelwert einer Funktion

Als Mittelwert der Riemann-integrierbaren Funktion $f:*\backslash to\backslash R$ wird die Zahl

$\backslash bar\{f\}:=\backslash frac\{1\}\{b-a\}\backslash int\_a^b\; f(x)\; \backslash mathrm\{d\}x$

definiert.

Die Bezeichnung Mittelwert ist insofern gerechtfertigt, als für eine äquidistante Zerlegung $\backslash \{x\_0,x\_1,\; x\_2,\backslash dots\; x\_n\backslash \}$ des Intervalls mit der Schrittweite $h=\backslash frac\{b-a\}\{n\}$ das arithmetische Mittel

$m\_n(f):=\backslash frac\{f(x\_1)+f(x\_2)+\backslash dots\; +f(x\_n)\}\{n\}=\backslash frac\{1\}\{b-a\}\backslash sum\_\{k=1\}^nf(x\_k)h$

gegen $\backslash bar\{f\}\backslash ;$ konvergiert, vgl. H. Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil 1, 8. Auflage, Teubner, Stuttgart 1990. ISBN 3-519-12231-6.

Ist $f\backslash ;$ stetig, so besagt der Mittelwertsatz der Integralrechnung, dass es ein $\backslash xi\backslash in*$ gibt mit $f(\backslash xi)=\backslash bar\{f\}\backslash ;$, die Funktion nimmt also an mindestens einer Stelle ihren Mittelwert an.

Der Mittelwert der Funktion $f(x)$ mit dem Gewicht $w(x)\backslash ;$ (wobei $w(x)>0\backslash ;$ für alle $x\; \backslash in*$) ist

$\backslash bar\{f\}\; =\; \backslash frac\{\backslash int\_a^b\; f(t)\; w(t)\; \backslash mathrm\{d\}t\}\{\backslash int\_a^b\; w(t)\; \backslash mathrm\{d\}t\}$.

Für Lebesgue-Integrale im Maßraum $(\backslash Omega,\; \backslash mathcal\; A,\; \backslash mu)$ mit einem endlichen Maß lässt sich der Mittelwert einer Lebesgue-integrierbaren Funktion als

$\backslash bar\{f\}:=\backslash frac\{1\}\{\backslash mu(\backslash Omega)\}\backslash int\_\backslash Omega\; f(x)\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash mu(x)$

definieren. Handelt es sich um einen Wahrscheinlichkeitsraum, gilt also $\backslash mu(\backslash Omega)=1\backslash ;$, so nimmt der Mittelwert die Form

$\backslash bar\{f\}:=\backslash int\_\backslash Omega\; f(x)\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash mu(x)$

an; das entspricht genau dem Erwartungswert von $f\backslash ;$.

Geometrisches Mittel

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Das geometrische Mittel ist die n-te Wurzel aus dem Produkt der Messwerte; es ist ein geeignetes Lagemaß für Größen, von denen das Produkt anstelle der Summe interpretierbar ist, z. B. von Verhältnissen oder Wachstumsraten.

$\backslash bar\{x\}\_\backslash mathrm\{geom\}\; =\; \backslash sqrt=\; \backslash sqrt[n\{x\_1\; \backslash cdot\; x\_2\; \backslash cdot\; \backslash ldots\; \backslash cdot\; x\_n\}$

Äquivalent dazu gilt

$\backslash log\; \backslash bar\{x\}\_\backslash mathrm\{geom\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{n\}\backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash log\; x\_i$,

der Logarithmus des geometrischen Mittels ist also das arithmetische Mittel der Logarithmen, wobei die Basis des Logarithmus beliebig gewählt werden darf, aber auf beiden Seiten natürlich die gleiche sein muss.

Beispiel für das geometrische Mittel von 3 und 300:

$\backslash sqrt\{3\; \backslash cdot\; 300\}\; =\; 30$

Im Gegensatz zum arithmetischen Mittel ist das geometrische Mittel offensichtlich nur für nichtnegative Zahlen $x\_i\backslash ;$ definiert und meist nur für echt positive Zahlen sinnvoll.

Beispiel: Das Mittel aus einer Verdopplung und nachfolgender Verachtfachung einer Bakterienkultur ist eine Vervierfachung (nicht eine Vermehrung um den Faktor 5).

Analog zum gewichteten arithmetischen Mittel lässt sich ein mit den Gewichten $w\_i>0$ gewichtetes geometrisches Mittel definieren:

$\backslash bar\{x\}\_\backslash mathrm\{geom\}\; =\; \backslash sqrt*\{\backslash prod\_\{i=1\}^n\; x\_i^\{w\_i\}\}$ wobei $w=\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}w\_i$

Anwendungsbeispiel

Ein Guthaben G wird im ersten Jahr mit zwei Prozent, im zweiten Jahr mit sieben und im dritten Jahr mit fünf Prozent verzinst. Welcher über die drei Jahre konstanter Zinssatz p hätte zum Schluss das gleiche Kapital ergeben?

Guthaben $G\_\backslash mathrm\{Ende\}$ am Ende des dritten Jahres:

$G\_\backslash mathrm\{Ende\}=\backslash left(1+\backslash frac\{2\backslash \%\}\{100\backslash \%\}\backslash right)\backslash left(1+\backslash frac\{7\backslash \%\}\{100\backslash \%\}\backslash right)\backslash left(1+\backslash frac\{5\backslash \%\}\{100\backslash \%\}\backslash right)\; G$

oder mit Zinsfaktoren geschrieben

$G\_\backslash mathrm\{Ende\}\; =\; 1\{,\}02\; \backslash cdot\; 1\{,\}07\; \backslash cdot\; 1\{,\}05\; \backslash cdot\; G$

Mit konstantem Zinsatz $p$ und zugehörigen Zinsfaktor $1+p$ ergibt sich am Ende ein Guthaben von

$G\_\backslash mathrm\{konst\}\; =\; (1\; +\; p)^3\backslash ;\; G$

Mit $G\_\backslash mathrm\{konst\}\; =\; G\_\backslash mathrm\{Ende\}$ ergibt sich

$(1+p)^3\; G\; =\; 1\{,\}02\; \backslash cdot\; 1\{,\}07\; \backslash cdot\; 1\{,\}05\; \backslash cdot\; G$

und damit berechnet sich der durchschnittliche Zinsfaktor 1+p zu

$1+p=\backslash sqrt*\{1\{,\}02\; \backslash cdot\; 1\{,\}07\; \backslash cdot\; 1\{,\}05\}\backslash approx\; 1\{,\}04646$

Der durchschnittliche Zinsatz beträgt also ca 4,646%. Allgemein berechnet sich der durchschnittliche Zinsfaktor also aus dem geometrischen Mittel der Zinsfaktoren der einzelnen Jahre. Wegen der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ist der durchschnittliche Zinssatz kleiner oder bestenfalls gleich dem arithmetische Mittel der Zinssätze, welches in diesem Beispiel $\backslash frac\{14\}\{3\}\backslash \%\backslash approx\; 4\{,\}667\backslash \%$ beträgt.

Harmonisches Mittel

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Das harmonische Mittel ist definiert als

$\backslash bar\{x\}\_\backslash mathrm\{harm\}\; =\; \backslash frac\{n\}\{\backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash frac\{1\}\{x\_i\}\}$

Viele merken sich die Definition leichter in der äquivalenten Form

$\backslash frac\{1\}\{\backslash bar\{x\}\_\backslash mathrm\{harm\}\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash frac\{1\}\{x\_i\}\}\{n\}$,

der Kehrwert des harmonischen Mittels ist also das arithmetische Mittel der Kehrwerte.

Beispiel für das harmonische Mittel von 5 und 20:

$\backslash frac\{2\}\{\backslash frac\{1\}\{5\}+\backslash frac\{1\}\{20\}\}\; =\; \backslash frac\{2\}\{\backslash frac\{1\}\{4\}\}\; =\; 8$

Mit dieser Formel ist das harmonische Mittel zunächst nur für von Null verschiedene Zahlen $x\_i$ definiert. Geht aber einer der Werte $x\_i$ gegen Null, so existiert der Grenzwert des harmonischen Mittels und ist ebenfalls gleich Null. Daher ist es sinnvoll, das harmonische Mittel als Null zu definieren, wenn mindestens eine der zu mittelnden Größen gleich Null ist.

Auch hier lässt sich ein mit den Gewichten $w\_i>0$ gewichtetes harmonisches Mittel definieren:

$\backslash bar\{x\}\_\backslash mathrm\{harm\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sum\_\{i=1\}^n\; w\_i\}\{\backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash frac\{w\_i\}\{x\_i\}\}$

Beispiel: fährt man eine Stunde mit 50 km/h und dann eine Stunde mit 100 km/h, so legt man insgesamt 150 km in 2 Stunden zurück; die Durchschnittsgeschwindigkeit ist 75km/h, also das arithmetische Mittel von 50 und 100. Bezieht man sich hingegen nicht auf die benötigte Zeit, sondern auf die durchfahrene Strecke, so wird die Durchschnittsgeschwindigkeit durch das harmonische Mittel beschrieben: fährt man 100 km mit 50 km/h und dann 100 km mit 100 km/h, so legt man 200 km in 3 Stunden zurück, die Durchschnittsgeschwindigkeit ist 66 2/3 km/h, also das harmonische Mittel von 50 und 100.

Allgemein gilt: Benötigt man für die Teilstrecke $s\_1$ die Zeit $t\_1$ (also Durchschnittsgeschwindigkeit $v\_1=s\_1/t\_1$) und für die Teilstrecke $s\_2$ die Zeit $t\_2$ (also Durchschnittsgeschwindigkeit $v\_2=s\_2/t\_2$, so gilt für die Durchschnittsgeschwindigeit über die gesamte Strecke

$v=\backslash frac\{s\_1+s\_2\}\{t\_1+t\_2\}=\backslash frac\{s\_1+s\_2\}\{\backslash frac\{s\_1\}\{v\_1\}+\backslash frac\{s\_2\}\{v\_2\}\}=\backslash frac\{t\_1v\_1+t\_2v\_2\}\{t\_1+t\_2\}$.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist also das mit den Wegstrecken gewichtete harmonische Mittel der Teilgeschwindigkeiten oder das mit der benötigten Zeit gewichtete arithmetische Mittel der Teilgeschwindigkeiten.

Logarithmischer Mittelwert

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Der logarithmische Mittelwert $\backslash bar\{x\}\_\{a,b,ln\}$ zwischen $x\_a$ und $x\_b$ ist definiert als:

$\backslash bar\{x\}\_\{a,b,\backslash ln\}\; =\; \backslash frac\{x\_b\; -\; x\_a\}\{\backslash ln\; (\backslash frac\{x\_b\}\{x\_a\})\}\; =\; \backslash frac\{x\_b\; -\; x\_a\}\{\backslash ln(x\_b)-\; \backslash ln(x\_a)\}$

Der logarithmische Mittelwert wird beispielsweise bei der verfahrenstechnischen Auslegung von Packungskolonnen genutzt. Er dient dort zur Mittelung der molaren Zusammensetzungen an Kopf und Boden der Kolonne .

Für $x\_a\backslash neq\; x\_b$ liegt der logarithmische Mittelwert zwischen dem geometrischen und dem arithmetischen Mittelwert:

Eine Verallgemeinerung des logarithmischen Mittelwerts auf mehr als zwei Variablen findet sich beispielsweise in A.O.Pittenger: The logarithmic mean in n variables. In: Amer. Math. Monthly, 92 (1985), S 99–104..

Verallgemeinerter Mittelwert

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Für positive Zahlen $x\_i$ definiert man den verallgemeinerten Mittelwert als

$\backslash bar\{x\}(k)\; =\; \backslash sqrt*\{\backslash frac\{1\}\{n\}\backslash sum\_\{i=1\}^n\{x\_i^k\}\}$

Die Notation ist nicht einheitlich, alternativ sind auch Schreibweisen wie $M\_k(x)$, $m\_k(x)$ oder $\backslash mu\_k(x)$ üblich. Genauso wie die Schreibweise ist anscheinend auch die Aussprache uneinheitlich; möglich sind Varianten wie $k$-tes Mittel, Mittel der Ordnung oder vom Grad $k$ oder Mittel mit Exponent $k$.

Mittels geeigneter Wahl des Parameters k können unter anderem die drei obigen Mittelwerte erzeugt werden:

• k -> $-\backslash infty$: $\backslash min(x\_1,\; x\_2,\; \backslash dots,\; x\_n)$,
• k = -1: Harmonisches Mittel,
• k -> 0: Geometrisches Mittel,
• k = 1: Arithmetisches Mittel,
• k = 2: Quadratisches Mittel oder Effektivwert (in der Elektrotechnik),
• k -> $\backslash infty$: $\backslash max(x\_1,\; x\_2,\; \backslash dots,\; x\_n)$.

Für n=2 lässt sich das harmonische Mittel auch indirekt berechnen als $\backslash bar\{x\}\_\{harm\}=\backslash frac\{\backslash bar\{x\}\_\{geom\}^2\}\{\backslash bar\{x\}\_\{arithm\}\}$.

Die verallgemeinerten Mittelwerte stehen über die einfache Formel

$\backslash bar\{x\}(k)=\backslash sqrt*\{m\_k\}$

mit den Stichprobenmomenten $m\_k$ um Null in Beziehung. Außerdem wird in der Stochastik die Konvergenz im p-ten Mittel über diese verallgemeinerten Mittelwerte definiert.

In der Mathematik spielen diese verallgemeinerten Mittelwerte vor allem wegen der Ungleichung der verallgemeinerten Mittelwerte eine Rolle: Für -∞ ≤ s ≤ t ≤ ∞ gilt die Ungleichung:

$\backslash bar\{x\}\; (s)\backslash leq\; \backslash bar\{x\}\; (t)$

Diese Ungleichung lässt sich z.B. beweisen, indem man $u\_i:=x\_i^s,\; v\_i:=1$ setzt und $u\_i$ und $v\_i$ in die Hölder-Ungleichung mit $p=t/s$ einsetzt.

Für die Spezialwerte -1, 0, 1, 2 gilt:

$\backslash bar\{x\}\_\backslash mathrm\{min\}\; \backslash leq\; \backslash bar\{x\}\_\backslash mathrm\{harm\}\; \backslash leq\; \backslash bar\{x\}\_\backslash mathrm\{geom\}\; \backslash leq\; \backslash bar\{x\}\_\backslash mathrm\{arithm\}\; \backslash leq\; \backslash bar\{x\}\_\backslash mathrm\{quadr\}\; \backslash leq\; \backslash bar\{x\}\_\backslash mathrm\{max\}$.

Dieser Spezialfall lässt sich auch mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung, die ein Spezialfall der Hölder-Ungleichung ist, beweisen.

Verallgemeinerter Mittelwert (f-Mittel)

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Sei f eine auf einem reellen Intervall $I$ streng monotone stetige (und daher invertierbare) Funktion und

$w\_i,\; 0\backslash leq\; w\_i\backslash leq\; 1,\; \backslash sum\_i\; w\_i\; =1$

Gewichtsfaktoren. Dann ist für $x\_i\backslash in\; I$ das mit den Gewichten $w\_i$ gewichtete f-Mittel definiert als

$\backslash bar\{x\}\_f\; =\; f^\{-1\}\backslash left(\backslash sum\_\{i=1\}^n\; w\_i\; f(x\_i)\backslash right)$.

Offensichtlich gilt

$\backslash min(x\_i)\backslash leq\; \backslash bar\{x\}\_f\; \backslash leq\backslash max(x\_i).$

Für $f(x)=x$ erhält man das arithmetische, für $f(x)=\backslash log(x)$ das geometrische, und für $f(x)=x^k$ das verallgemeinerte Mittel mit Exponent $k$.

Dieser Mittelwert lässt sich auf das gewichtete f-Mittel einer Funktion $x\backslash ;$ verallgemeinern, wobei $f\backslash ;$ als in einem die Bildmenge von $x$ umfassenden Intervall streng monoton und stetig sei, verallgemeinern:

$\backslash bar\{x\}\_f\; =\; f^\{-1\}\backslash left(\backslash frac\{\backslash int\; f(x(t))\; w(t)\; \backslash mathrm\{d\}t\}\{\backslash int\; w(t)\; \backslash mathrm\{d\}t\}\backslash right)$

Winsorisiertes oder gestutztes Mittel

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Kann man davon ausgehen, dass die Daten durch "Ausreißer", d.h. einige wenige zu hohe oder zu niedrige Werte kontaminiert sind, so sortiert man die Beobachtungswerte nach aufsteigender Größe, schneidet eine gleiche Anzahl von Werten am Anfang und am Ende der Folge ab und berechnet von den übrig bleibenden Werten den Mittelwert. Ein 10% winsorisiertes Mittel erhält man, wenn man 5% der Gesamtzahl aller Werte am unteren und 5% am oberen Ende auslässt.

Das "a-Mittel"

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Für einen gegebenen reellen Vektor

$a=(a\_1,\backslash dots,a\_n)$

mit

$\backslash sum\_\{i=1\}^n\; a\_i\; =\; 1$

wird der Ausdruck

$*=\{1\; \backslash over\; n!\}\backslash sum\_\backslash sigma\; x\_\{\backslash sigma\_1\}^\{a\_1\}\backslash cdots\; x\_\{\backslash sigma\_n\}^\{a\_n\},$

wobei über alle Permutationen σ von { 1, ..., n } summiert wird, als "a-Mittel" ^* der nichtnegativen reellen Zahlen x₁, ..., x_n bezeichnet.

Für den Fall a = (1, 0, ..., 0), ergibt das genau das arithmetische Mittel der Zahlen x₁, ..., x_n; für den Fall a = (1/n, ..., 1/n) ergibt sich genau das geometrische Mittel.

Für die a-Mittel gilt die Muirhead-Ungleichung

Gleitende Durchschnitte

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Gleitende Durchschnitte werden in der dynamischen Analyse von Messwerten angewandt. Sie sind außerdem ein gängiges Mittel der technischen Analyse in der Finanzmathematik. Mit gleitenden Durchschnitten kann das stochastische Rauschen aus zeitlich voranschreitenden Signalen herausgefiltert werden. Jedoch muss beachtet werden, dass die meisten gleitenden Durchschnitte dem echten Signal hinterherlaufen. Für vorausschauende Filter siehe z.B. Kalman-Filter.

Gleitende Durchschnitte benötigen normalerweise eine unabhängige Variable, die die Größe der nachlaufenden Stichprobe bezeichnet, bzw. das Gewicht des vorangehenden Wertes für die exponentiellen gleitenden Durchschnitte.

Gängige gleitende Durchschnitte sind:

• Arithmetische gleitende Durchschnitte (Simple Moving Average, SMA)
• Exponentiell gleitende Durchschnitte (Exponential Moving Average, EMA)
• Doppelt exponentiell gleitende Durchschnitte (Double EMA, DEMA)
• Dreifach, n-fach exponentiell gleitende Durchschnitte (Triple EMA, TEMA)
• Linear gewichtete gleitende Durchschnitte (linear abfallende Gewichtung)
• Quadratisch gewichtete gleitende Durchschnitte
• Weitere Gewichtungen: Sinus, Triangular, ...

In der Finanzliteratur können außerdem sogenannte adaptive gleitende Durchschnitte gefunden werden, die sich automatisch einer sich ändernden Umgebung (andere Volatilität/Streuung etc.) anpassen:

• Kaufmann's adaptive moving average (KAMA)
• Variable Index Dynamic Average (VIDYA)

Siehe auch

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• Chartanalyse#Gleitende_Durchschnitte, ARMA-Modell#MA-Modell

Sonstige Mittelwerte

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Sonstige Mittelwerte, die in einem eigenen Artikel beschrieben werden sind der Modus (eigentlich kein Mittelwert, sondern der häufigste Wert) und der Median, der robust gegenüber extremen Abweichungen, sogenannten Ausreißern, ist. Der Median ist etwas komplizierter zu berechnen. Daher wird in vielen Statistiken auf das arithmetische Mittel zurückgegriffen, obwohl die Angaben kaum den gewollten Aussagewert haben (Beispiel: Einkommensverteilung in Deutschland).

Ein anderer Mittelwert ist das arithmetisch-geometrische Mittel, das zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel liegt.

Quellen

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Siehe auch

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• Median, Modus, Stochastik, Varianz, Wahrscheinlichkeitsverteilung, Stage migration, Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel, Effektivwert

Weblinks

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• Berechnung: 'geometrisches Mittel' zweier Werte und Vergleich dazu: 'arithmetisches Mittel'

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