Der Begriff Mischverteilung oder zusammengesetzte Verteilung stammt aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Es wird zur Einführung ein Merkmal X betrachtet, das zwei Grundgesamtheiten G₁ und G₂ entstammt. Im stochastischen Modell handelt es sich also eigentlich um zwei Zufallsvariablen X₁ und X₂, idealerweise vom gleichen Verteilungstyp. Die Anteile der beiden Merkmale sind a₁ und a₂. Beobachtet wird die Verteilung von X, die bestimmt wird von der totalen Wahrscheinlichkeit

$P(X\; \backslash le\; x)\; =\; P(X\; \backslash le\; x|X\; \backslash mbox\{\; aus\; \}\; G\_1)\; \backslash cdot\; a\_1\; +\; P(X\; \backslash le\; x|X\; \backslash mbox\{\; aus\; \}\; G\_2)\; \backslash cdot\; a\_2$

bzw. als Mischverteilung mit den entsprechenden Verteilungen

$P(X\; \backslash le\; x)\; =\; F\_1(x)\; \backslash cdot\; a\_1\; +\; F\_2(x)\; \backslash cdot\; a\_2$.

Definition

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Lässt sich die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariablen X als

$$

f(x) = \sum_{k=1}^K a_k f_k ( x)

schreiben, so sagt man, dass X einer Mischverteilung folgt. Dabei sind die f_k(x) Dichtefunktionen von stetigen Zufallsvariablen X_k und die a_k Wahrscheinlichkeiten mit

$$

\sum_{k=1}^{K} a_k = 1 .

Man kann leicht zeigen, dass unter diesen Bedingungen auch

$$

\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1 gilt.

Entsprechend ergibt sich die Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten Mischverteilung als

$$

f(x_i) = \sum_{k=1}^K a_k f_k (x_i)

Beispiel

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Mischv.png Ein Forellenzüchter verkauft Forellen in großen Mengen. Es wird im Herbst bei Leeren der Teiche eine Bestandsaufnahme gemacht. Dabei werden die herausgefischten Forellen gewogen. Es ergibt sich die Verteilung des Gewichts, wie in der Grafik zu ersehen ist. Die Zweigipfligkeit der Verteilung deutet auf eine Mischverteilung hin. Es stellt sich heraus, dass die Forellen zwei verschiedenen Teichen entstammen. Die Forellengewichte des aus dem ersten Teich sind normalverteilt mit dem Erwartungswert 400 g und der Varianz 4900 g² und die aus dem zweiten Teich mit dem Erwartungswert 600 g und der Varianz 8100 g². Aus dem ersten Teich stammen 40% der Forellen, aus dem zweiten 60%.

Beispiele für Mischverteilungen

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• Die Students t-Verteilung ist eine Mischverteilung. Sie ist eine Normalverteilung, deren Varianz aus einer Chi-Quadrat-Verteilung gezogen wird.
• Die nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung ist eine Chi-Quadrat-Verteilung, deren Zahl der Freiheitsgrade aus eine Poisson-Verteilung gezogen wird.

Siehe auch

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Bayessches Theorem, Diskriminanzanalyse, Kontaminierte Normalverteilung

Stochastik