Die Messwerte einer zu messenden physikalischen Größe fallen selten mit dem wahren Wert dieser Größe zusammen. Der Messfehler ist die Differenz zwischen dem physikalischen Wert der Einzelmessung (dem Messwert) und dem wahren Wert der Messgröße. Im allgemeinen ist der Messfehler aus mehreren Komponenten unterschiedlichen Charakters zusammengesetzt.

Die Messgenauigkeit ist einerseits die (theoretisch oder experimentell) mögliche, andererseits die erwünschte Annäherung an den wahren Wert.

Eine Abschätzung der Messgenauigkeit eines Messwertes zur Erstellung eines Messergebnisses für eine bestimmte Messgröße gibt die Messunsicherheit.

Messfehlerdefinition

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Bei einem idealen Messsystem liegt die Messgröße unverfälscht am Eingang an und wird unverfälscht am Ausgang als Messergebnis ausgegeben.

Ein ideales Messsystem folgt der Übertragungsfunktion Y = X. Jede Abweichung hiervon ist als Fehler zu betrachten:

$e=Y-X$

wobei X der Tatsächliche Wert und Y der angezeigte Wert ist. e ist der sogenannte absolute Messfehler. Er repräsentiert die Abweichung der Messgröße von Ausgang und Eingang und gibt den Fehler somit als Absolutwert an. Die Einheit des absoluten Messfehlers ist die Einheit der zu messenden Größe.

Neben dem absoluten Fehler gibt es noch den relativen Messfehler. Dieser ist wie folgt definiert:

$rel=\backslash frac\{e\}\{X\}$

relativer Messfehler = Absoluter Messfehler / Tatsächlicher Wert. Der relative Messfehler ist einheitenlos, er wird jedoch meistens in Prozent (%) angegeben.

Des Weiteren gibt es noch den reduzierten Fehler. Dieser gibt den absoluten Fehler bezogen auf den Messbereich an:

$red=\backslash frac\{e\}\{X\_\{max\}-X\_\{min\}\}$

Der reduzierte Fehler eignet sich als Kenngröße zur Klassifizierung von Messeinrichtungen und ist, wie der relative Messfehler, einheitenlos. Auch er wird sehr oft in Prozent (%) angegeben.

Messfehler

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Man unterscheidet in zufällige Messfehler und systematische Messfehler. Letztere können wiederum unterteilt werden in bekannte (deterministische) und unbekannte (nicht deterministische) systematische Messfehler.

Zufällige Messfehler

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Zufällige Messfehler verursachen die Streuung der Einzelmessungen. Ursache der zufälligen Messfehler sind Fluktuationen von Ereignissen, die den Messprozess beeinflussen jedoch nicht kontrollierbar sind, wie beispielsweise Thermisches Rauschen, atmosphärische Dichtefluktuationen oder auch Ableserfehler beim "Messen von Hand".

Im Allgemeinen darf unterstellt werden, dass der aktuelle Wert des zufälligen Fehlers durch Überlagerung mehrerer oder auch vieler in etwa gleichgroßer Störungen erzeugt worden ist. Nach Aussage des Zentralen Grenzwertsatzes der Statistik dürfen die zufälligen Fehler dann zumindest approximativ als normalverteilt betrachtet werden.

Ändern sich die Kenndaten der so postulierten Normalverteilung während des Aufzeichnens der Einzelmessungen nicht, so arbeitet die Messapparatur im Sinne der Terminologie der Statistik stationär.

Bekannte systematische Messfehler

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Bekannte systematische Fehler kann der Experimentator möglicherweise eliminieren. Liegt z.B. eine gemessene Spannung systematisch 2,3 V über dem wahren Wert, so kann man davon ausgehen, dass das Messgerät einen systematischen Fehler von 2,3 V hat und diesen per Subtraktion eliminieren.

Unbekannte systematische Messfehler

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Unbekannte systematische Messfehler sind zeitkonstante, nach Betrag und Vorzeichen unbekannte Störgrößen; sie sind prinzipiell nicht eliminierbar und nur durch Intervalle eingrenzbar.

Beispiel eines zeitkonstanten unbekannten systematischen Fehlers ist die nur mit endlicher Genauigkeit realisierbare mechanische Justierung eines optischen Bauelementes: Jeder Wiederholungsmessung ist derselbe unbekannte systematische Fehler überlagert.

Bezeichne $f$ den systematischen Fehler und $\backslash pm\; f\_s$ die Grenzen des ihn einschränkenden Intervalls, dann soll

$-f\_s\; \backslash le\; f\; \backslash le\; f\_s$

gelten.

Messwerten sind im allgemeinen sowohl zufällige als auch unbekannte systematische Fehler überlagert.

In der Regel ist man bestrebt, mit "driftfreien" Messapparaturen zu arbeiten. Driftfrei heißt indessen nicht, dass die Messapparatur frei von systematischen Fehlern wäre. Vielmehr sollten die unbekannten systematischen Fehler keinem zeitlichen Trend unterliegen, d.h. sich zeitlich gesehen nicht ändern. Genauer, während des Aufzeichnens der Wiederholungsmessungen beobachtet der Experimentator allein zufällige Fehler. Der den Messwerten ebenfalls überlagerte unbekannte systematische Fehler liegt bereits vor Beginn der Wiederholungsmessungen fest, ändert sich danach nicht mehr und bleibt dem Experimentator verborgen. Dass er physikalisch gesehen dennoch vorhanden ist, kann allein die Funktionsanalyse der Apparatur zeigen. Dieser Umstand verdeutlich, wie schwierig es ist, die wahren Werte von Messgrößen zu lokalisieren.

Ändern sich systematische Fehler auch während der Messung, so zeichnet der Experimentator eine Zeitreihe auf. Für die Behandlung von Zeitreihen, beispielsweise Börsenkurse, hat die Statistik eigene, gänzlich andere Verfahren entwickelt.

Zufällige und unbekannte systematische Fehler überlagern sich additiv, die Art der Verknüpfung legt das Fehlermodell fest.

Messergebnis

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Das Ergebnis einer Messung wird dargestellt durch den Schätzer des wahren Wertes und dessen Messunsicherheit. Letztere kennzeichnet die Genauigkeit des Messverfahrens, je kleiner die Messunsicherheit, desto höher die Genauigkeit.

Spezielle Fehlerarten

• Abweichung in der Empfindlichkeit - Der tatsächliche Verlauf liegt unter oder über der Sollkurve
• Querempfindlichkeit - Das Messergebnis hängt zusätzlich von einer anderen als der zu messenden Größe ab
• Nullpunktverschiebung - Z.B. durch Temperaturschwankungen verändert sich der Nullpunkt der Messung
• Rauschen - Das Signal ist additiv mit Rauschen versehen
• Nichtlinearität - Abweichung durch Nichtlinearität z.B. in Bauteilen
• Ansprechempfindlichkeit - Messgerät beginnt erst ab einem gewissen Wert zu messen. So z.B. der Wasserzähler, der einen tropfenden Wasserhahn nicht erkennt!
• Hysterese - Bei zunehmendem und abnehmendem Signal erfolgt nicht derselbe Messverlauf. Die Abweichung der Signale bei 50% Last nennt man Hysterese.
• Änderung im Linearitätsverhalten - Z.B. durch Bauteilalterung

Weshalb werden Messungskontrollen durchgeführt?

Messungskontrollen dienen zur Aufdeckung gerätetechnischer oder menschlicher Fehler bei Messungen. Bei diesen Kontrollberechnungen entstehen tatsächliche Abweichungen, die die in Vorschriften festgelegten größtmöglichen Abweichungen nicht überschreiten dürfen. Die tatsächliche Abweichungen wird mit dL bezeichnet, und die größte zulässige Abweichung mit FL.

Also ist es ein Fehler, wenn dL größer ist als FL.

Siehe auch

Ausgleichungsrechnung, Fehler, Fehlerrechnung, Fehlerfortpflanzung, Fehlerklasse, Eichung, Kalibrierung, Messtechnik, Messgerät, Parallaxefehler, Standardabweichung, Messunsicherheit

Literatur

• Jörg Hoffmann: Taschenbuch der Meßtechnik. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag, 1998, ISBN 3-446-18834-7; Autoren: J. Biermann, K.W. Bonfig, G. Fuder, G. Gruhn, J. Hoffmann, H. Kopp, C. Lehmann, W. Richter, E. Schrüfer, K. Urbanski

Weblinks

• Schöne graphische Veranschaulichung

Statistik | Messtechnik

Observational error | Erreur (métrologie)