Magnetohydrodynamik

Die Magnetohydrodynamik (MHD) ist ein Teilgebiet der Physik und beschreibt die Wechselwirkung eines elektrisch leitenden Fluids mit elektrischen und magnetischen Feldern. Typische Beispiele für solche Fluide sind Plasmen, flüssige Metalle, Elektrolyte und Halbleiterschmelzen. Die grundlegenden Gleichungen der MHD sind die Navier-Stokes-Gleichungen der Hydrodynamik und die Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik.

Die am weitesten verbreitete technische Anwendung der Magnetohydrodynamik ist die elektromagnetische Durchflussmessung, die auch als magnetisch-induktive Durchflussmessung bezeichnet wird. Mit dieser Methode werden Strömungen von Bier, Milch, Joghurt, Trinkwasser, Tomatenketchup, Chemikalien und Abwässern gemessen.

Eine andere Anwendung der Magnetohydrodynamik ist der Magnetohydrodynamische Antrieb. Diese Anwendung wurde ursprünglich für militärische Zwecke entwickelt und in den Neunziger Jahren des vergangenen Jahrhunderts im zivilen Bereich erprobt. MHD-Antriebe haben jedoch wegen ihres geringen Wirkungsgrades weder militärische noch zivile Bedeutung erlangt.

Das Magnetfeld der Erde wird durch magnetohydrodynamische Phänomene im flüssigen Erdkern erzeugt.

Die Entwicklung künftiger Anlagen für die Kernfusion erfordert die technische Beherrschung magnetohydrodynamischer Instabilitäten in Plasmen.

Theorie

Ideale MHD

Die Ideale MHD macht einige Annahmen zur Vereinfachung. So können magnetohydrodynamische Abläufe z. B. auf dem Computer in vertretbarer Zeit simuliert werden.

Die Annahmen im einzelnen sind:

Das Plasma wird als eine homogene Flüssigkeit betrachtet,
unendliche elektrische Leitfähigkeit,
verschwindende Viskosität.

Die resultierenden Gleichungen errechnet man aus den Navier-Stokes-Gleichungen, den Maxwell-Gleichungen und dem Ohmschen Gesetz. Des Weiteren ist eine Zustandsgleichung notwendig (hier nicht angegeben). In der dritten Gleichung findet man einen Term der zum Druck dazuaddiert wird und als magnetischer Druck bezeichnet wird, und einen zusätzlichen Term, der die magnetische Spannung beschreibt.

$\begin{matrix}
\partial_t \varrho + \nabla \cdot(\varrho \mathbf{v})&=&0 \\
\partial_t e + \nabla \cdot(e \mathbf{v})&=& -p\, \nabla \cdot \mathbf{v}\\
\partial_t \varrho\mathbf{v} + \nabla\cdot (\varrho\mathbf{v} \otimes \mathbf{v}) &=& - \nabla (P+\frac{B^2}{2\,\mu_0}) - \varrho\,\nabla\Phi + \frac{1}{\mu_0}\,(\mathbf{B}\cdot\mathbf{\nabla})\,\mathbf{B}\\
\partial_t \mathbf{B} &=& \nabla \times (\mathbf{v}\times \mathbf{B})
\end{matrix}$

Die Symbole haben ihre üblichen Bedeutungen. $\Phi$ bezeichnet irgendein äußeres Potenzial, z.B. infolge der Gravitation; $\otimes$ bezeichnet das dyadische Produkt.

Der hydrostatische Druck $P$ wird mit dem magnetischen Druck $B^2/2\,\mu_0$ ergänzt, der u.U. einen wesentlichen Einfluss auf die Dynamik der magnetischen Materie hat.

Eingefrorenes magnetisches Feld

Bewegt sich ein Plasma in einem Magnetfeld, so entstehen im Inneren elektrische Ströme. Diese Ströme wiederum tragen zu einem weiteren Magnetfeld bei, das den außen angelegten Feldern überlagert ist und dieses verformen. Falls sich dieser Zustand stabil erhalten läßt, sind das Plasma und das resultierende Magnetfeld miteinander verbunden, das Magnetfeld erscheint im Plasma wie eingefroren. Das passiert genau dann ideal (d.h. vollständig), wenn der elektrische Widerstand 0 wird, also verschwindet. Das ist in sehr heißem Plasma der Fall. In der Natur können derartige Erscheinungen z.B. bei der Sonne in den so genannten Schleifenprotuberanzen beobachtet werden.

Alfvén-Wellen

Im Inneren des Fluids können transversale magnetosonische Wellen auftreten, die so genannten Alfvén-Wellen (siehe Plasmawellen).

Anwendungen

Geodynamo

Das Magnetfeld der Erde wird durch den sogenannten Geodynamo erzeugt, der durch die Gleichungen der Magnetohydrodynamik beschrieben wird. Das Erdmagnetfeld entsteht im äußeren Erdkern, der vorwiegend aus flüssigem Eisen besteht (siehe Entstehung und Aufrechterhaltung des Erdmagnetfeldes (Geodynamo)).

Die im Zusammenhang mit einem Geodynamo auftretenden partiellen Differentialgleichungen können nur in stark vereinfachten Fällen analytisch gelöst werden. Numerische Verfahren liefern seit Mitte der 1990er Jahre erste Ansätze zum Verständnis der Dynamik des Erdmagnetfeldes.

MHD-Generator

Eine technische Anwendung der Magnetohydrodynamik ist der magnetohydrodynamische Generator (MHD-Generator). Hierbei wird ein Plasma zwischen zwei leitenden Elektroden hindurchgeschossen. Senkrecht zu den Elektroden wird ein Magnetfeld angelegt, das dann die Elektronen und positiven Ionen wegen der unterschiedlichen Ladungen trennt. Zwischen den Platten entsteht somit eine Spannungsdifferenz. Auf diese Weise kann kinetische Energie direkt in elektrische Energie umgewandelt werden, ohne mechanische Komponenten (Turbinen, Generatoren oder Dampfmaschinen) benutzen zu müssen. Trotz intensiver Anstrengungen, insbesondere in den 1960-er Jahren, ist es nicht gelungen, langzeitstabile Elektroden zu entwickeln. Aus diesem Grunde besitzt der MHD-Generator gegenwärtig keinerlei praktische Bedeutung.

MHD-Antrieb

Ein Plasma kann in einem elektrischen oder magnetischen Feld beschleunigt werden (Magnetoplasmadynamischer Antrieb). Da Meerwasser und Ionisierte Luft als Ionengemisch leitfähig sind, können auch sie in einem Magnetfeld beschleunigt werden (Magnetohydrodynamischer Antrieb). Diese Eigenschaften können im Prinhzip zum Antrieb von Schiffen, U-Booten und Fluggeräte genutzt werden. Der Wirkungsgrad solcher Anlagen ist jedoch gering. Aus diesem Grund besitzt der MHD-Antrieb heute keine praktische Bedeutung.

MHD-Sensor

Prinzip MHD Sensor.jpg Magnetohydrodynamische Sensoren werden genutzt, um Winkelgeschwindigkeiten zu messen. Die Genauigkeit steigt mit der Größe. Ein Einsatzgebiet ist die Luft- und Raumfahrt. Das Prinzip eines MHD-Sensors, das auch die prinzipielle Idee der Magnetohydrodynamik (MHD) insgesamt verstehen hilft, ist in dieser Skizze dargestellt:

Weblinks

Plasmaphysik | Strömungslehre | Magnetismus

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