Magisches Quadrat

16	05	09	04
02	11	07	14
03	10	06	15
13	08	12	01

Yang Hui-Quadrat Ein magisches Quadrat ist eine quadratische Anordnung von Zahlen oder Buchstaben, wobei bestimmte Forderungen zu erfüllen sind.

Zahlenquadrate

09	16	05	04
07	02	11	14
12	13	08	01
06	03	10	15

Jaina-Quadrat Ein magisches Quadrat mit Zahlen (auch Hexeneinmaleins) ist eine mathematische Knobelei, bei der eine bestimmte Menge von Zahlen, mit normalerweise fortlaufenden Werten, in einem Quadrat angeordnet werden. Dabei sollen die Summen aller Zeilen und Spalten gleich sein. Eine strengere Forderung ist, dass auch noch die Summen der Diagonalen mit den Zeilen- und Spaltensummen übereinstimmt. Ein Beispiel ist das Saturn-Siegel aus China mit der Summe 15:

{| width="90" 4 9 2 3 5 7 8 1 6

Spezialfall 4×4 Zahlenquadrate

Albrecht Dürer - Melencolia I (detail).jpg

Berühmt ist das 4×4 magische Quadrat in Albrecht Dürers Kupferstich Melencolia I

16	03	02	13
05	10	11	08
09	06	07	12
04	15	14	01

Melencolia I Bemerkenswert ist hier, dass nicht nur Zeilen, Spalten und Diagonalen immer dieselbe Summe liefern (34), sondern auch jeder der vier Quadranten — also 16 + 3 + 5 + 10 = 34, 2 + 13 + 11 + 8 = 34, usw. — die vier Zentrumsfelder (10 + 11 + 6 + 7 = 34) und die vier Eckfelder (16 + 13 + 4 + 1 = 34); wie wir noch sehen werden, ist dies kein Zufall. Dürer stach das Bild im Jahre 1514, was ihm Anlass war, das auch im magischen Quadrat festzuhalten.

Die 4×4 magischen Quadrate, bei denen auch die Quadranten die magische Summe ergeben, können — wenn man auf die Eigenschaft, dass jede der Zahlen von 1 bis 16 genau einmal vorkommen soll, verzichtet — als Linearkombination der folgenden acht erzeugenden Quadrate dargestellt werden:

Quadrat A
0	0	1	0
0	1	0	0
0	0	0	1
1	0	0	0

Quadrat B
0	1	0	0
0	0	0	1
0	0	1	0
1	0	0	0

Quadrat C
0	0	0	1
0	1	0	0
1	0	0	0
0	0	1	0

Quadrat D
0	1	0	0
0	0	1	0
1	0	0	0
0	0	0	1

Quadrat E
0	0	0	1
1	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0

Quadrat F
0	0	1	0
1	0	0	0
0	1	0	0
0	0	0	1

Quadrat G
1	0	0	0
0	0	1	0
0	0	0	1
0	1	0	0

Quadrat H
1	0	0	0
0	0	0	1
0	1	0	0
0	0	1	0

Man beachte, dass diese acht erzeugenden Quadrate nicht linear unabhängig sind, denn

{A} + {D} + {E} + {H} = {B} + {C} + {F} + {G}

d. h. es gibt eine nicht-triviale Linearkombination (eine Linearkombination, deren Koeffizienten nicht alle = 0 sind), die das 0-Quadrat ergibt. Anders ausgedrückt: jedes der acht erzeugenden Quadrate lässt sich als Linearkombination der übrigen sieben darstellen. Sieben erzeugende Quadrate sind aber nötig, um alle magischen 4x4 Quadrate mit der Zusatzeigenschaft „Quadranten“ ^* zu erzeugen; der Vektorraum der magischen 4x4 Quadrate, die von diesen Quadraten erzeugt wird, ist in diesem Sinn 7-dimensional.

Bemerkenswert ist, dass in allen acht erzeugenden Quadraten A–H wie in Albrecht Dürers magischem Quadrat nicht nur Zeilen, Spalten und Diagonalen immer dieselbe Summe liefern (1), sondern auch jeder der vier "Quadranten", die vier Zentrumsfelder und die vier Eckfelder. Das heist alle magischen Quadrate, die wir als Linearkombinationen dieser erzeugenden gewinnen, haben diese Eigenschaft.

Das magische Quadrat aus dem Kupferstich "Melencolia I" Albrecht Dürers als Linearkombination der erzeugenden Quadrate A–G:

X = -4 \cdot {A} + 8 \cdot {B} + 14 \cdot {C} - 5 \cdot {D} - 1 \cdot {E} + 6 \cdot {F} + 16 \cdot {G}

Die Summe der Koeffizienten ist natürlich 34 = –4 +8 +14 –5 –1 +6 +16.

Dass die 4 Quadranten auch die magische Summe ergeben, muss nicht unbedingt so sein. Folgendes magische Quadrat hat diese Eigenschaft nicht und ist daher linear unabhängig zu den Quadraten A-H:

{| width="120" 1 2 15 16 13 14 3 4 12 7 10 5 8 11 6 9

Nimmt man dieses Quadrat noch zu 7 der Quadrate A-H so erhält man eine Basis für den 8-dimensionalen Vektorraum aller magischen 4×4 Quadrate. Die Summe der Ecken und der vier Zentrumsfelder ist auch bei diesem Quadrat (wie bei allen magischen 4×4- Quadraten) die magische Summe.

Konstruktion magischer Quadrate

Zur Konstruktion magischer Quadrate gibt es verschiedene Verfahren. Das einfachste Verfahren funktioniert für alle magischen Quadrate mit ungerader Zahl von Feldern (also 3×3, 5×5, 7×7 etc.). Man fängt oben in der Mitte mit 1 an und füllt dann die anderen Zahlen der Reihe nach gemäß der folgenden Regel in die anderen Felder ein:

Wenn im Feld oben rechts vom zuletzt ausgefüllten Feld noch keine Zahl steht, dann trage die nächste Zahl dort ein, sonst trage die nächste Zahl im Feld unter der aktuellen Zahl ein.

Hierbei wird das magische Quadrat als periodisch wiederholt angesehen, d. h. wenn man über den oberen Rand hinausgeht (das passiert schon beim ersten Schritt), kommt man von unten wieder hinein, und wenn man rechts hinausgeht, dann kommt man von links wieder hinein. Hier ein nach dieser Regel konstruiertes 7x7-Quadrat:

{| width="210" 30 39 48 1 10 19 28 38 47 7 9 18 27 29 46 6 8 17 26 35 37 5 14 16 25 34 36 45 13 15 24 33 42 44 4 21 23 32 41 43 3 12 22 31 40 49 2 11 20

Keilschrift-Quadrat Für ein n×n-magisches Quadrat (n>2) ist die Summe einer Zeile, Spalte oder Diagonale immer gleich der mittleren Summe aus einem vorhandenen Zahlenvorrat a:

Summe:

S_n = \frac{1}{n} \cdot \sum_{x=1}^{n^2} x = \frac{n(a+1)}{2} = \frac{n(n^2+1)}{2} = \frac{n^3+n}{2}

Beispiele:

! Quadrat Summe 3×3

S_{3} = \frac{3^3 + 3}{2} = 15

7×7

S_{7} = \frac{7^3 + 7}{2} = 175

4711×4711

S_{4711} = \frac{4711^3 + 4711}{2} = 52276841071

Buchstabenquadrate

Ein magisches Buchstabenquadrat ist eine Denksportaufgabe, wobei in den Zeilen und Spalten des Quadrats jeweils gleiche Wörter entstehen. Ein Beispiel hierfür ist das Sator-Quadrat:

{| width="150" S A T O R A R E P O T E N E T O P E R A R O T A S

Siehe auch

Magischer Würfel, Magisches Klangquadrat, Palindrom, Sudoku, Vollkommen perfektes magisches Quadrat

Weblinks