In der Mathematik sind L^p-Räume spezielle Banachräume. Das L in der Bezeichnung geht auf den französischen Mathematiker Lebesgue zurück, da diese Räume über das Lebesgue-Integral definiert werden. Manchmal werden sie daher auch als Lebesgue-Räume bezeichnet. Das p in der Bezeichnung ist ein reeller Parameter: Für jede Zahl $1\backslash le\; p\; \backslash le\; \backslash infty$ ist ein L^p-Raum definiert.

Definition

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Funktionenraum mit Halbnorm

Sei $(\backslash Omega,\; \backslash mathcal\; A,\; \backslash mu)$ ein Maßraum, $E$ ein Banachraum mit der Norm $\backslash |\backslash cdot\backslash |$ und . Die Menge
ist ein Vektorraum.
Die Abbildung $\backslash |f\backslash |\_p\; :=\; \backslash left(\backslash int\_\backslash Omega\; \backslash |f(x)\backslash |^p\backslash ,d\backslash mu(x)\backslash right)^\{1/p\}$ ist eine Halbnorm auf $\backslash mathcal\{L\}^p$. Die Dreiecksungleichung für diese Halbnorm wird Minkowski-Ungleichung genannt und mit Hilfe der Hölder-Ungleichung bewiesen. Nach dem Riesz'schen Vollständigkeitssatz ist der Raum mit dieser Halbnorm versehen vollständig.

$\backslash |\backslash cdot\backslash |\_p$ ist genau dann eine Norm, wenn die einzige Nullmenge die leere Menge ist. Gibt es nämlich eine Nullmenge $N\backslash neq\backslash emptyset$, so ist die charakteristische Funktion 1_N ungleich der Nullfunktion, aber es gilt $\backslash |1\_N\backslash |\_p=0$.

Faktorraum mit Norm

Um im Fall der Halbnorm einen normierten Raum zu erhalten, definieren wir die Äquivalenzrelation $\backslash sim$ durch

$f\; \backslash sim\; g\; \backslash quad:\backslash Leftrightarrow\backslash quad\; \backslash mu\backslash left(\backslash \{x\backslash in\backslash Omega|f(x)\backslash neq\; g(x)\backslash \}\backslash right)=0$

Auf dem Faktorraum $L^p:=\backslash mathcal\{L\}^p/\{\backslash sim\}$ ist durch ab, d.h. falls Funktionen $f\_1,f\_2\backslash in*$, gilt $\backslash |f\_1\backslash |\_p=\backslash |f\_2\backslash |\_p$. Der normierte Vektorraum $L^p$ ist bzgl. der Norm vollständig und damit ein Banachraum.

Auch wenn man von sogenannten $L^p$-Funktionen spricht, handelt es sich dabei um die gesamte Äquivalenzklasse einer klassischen Funktion. Allerdings liegen zwei verschiedene stetige Funktionen nie in der gleichen Äquivalenzklasse, so dass der $L^p$-Begriff eine natürliche Erweiterung des Begriffs stetiger Funktionen darstellt.

Sonderfall p=∞

Auch für $p\; =\; \backslash infty$ kann man einen L^p-Raum, den Raum der wesentlich beschränkten Funktionen, definieren. Hierfür gibt es verschiedene Möglichkeiten, die aber für σ-endliche Maßräume alle zusammenfallen. Am verbreitetsten ist: dabei ist $\backslash |f\backslash |\_\backslash infty\; :=\; \backslash operatorname\{ess\backslash ,sup\}\_\{x\backslash in\backslash Omega\}|f(x)|\; \backslash left(\; =\; \backslash inf\_\{N\backslash in\; \backslash mathcal\; A\backslash atop\; \backslash mu(N)\; =\; 0\}\backslash sup\_\{x\backslash in\; \backslash Omega\backslash setminus\; N\}\; |f(x)|\backslash right).$ Betrachten wir analog zu oben $L^\backslash infty:=\backslash mathcal\{L\}^\backslash infty/\backslash sim$, erhalten wir wieder einen Banachraum.

Beispiele

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Die klassischste Version eines $L^p$-Raums ist durch $\backslash Omega\backslash subset\backslash R^n$ gegeben. $\backslash mathcal\{A\}$ beschreibt dann die Borelsche σ-Algebra $\backslash mathcal\{B\}(\backslash Omega)$ und $\backslash mu$ ist dann das Lebesgue-Maß $\backslash lambda$. Darüber hinaus wird oft $E$ als die Menge $\backslash R$ der reellen Zahlen gewählt. In diesem Zusammenhang wird die Notation $L^p(\backslash Omega):=L^p(\backslash Omega,\backslash mathcal\{B\}(\backslash Omega),\backslash lambda;\backslash R)$ benutzt.

Einige Autoren schreiben den Parameter p unten statt oben: $L\_p$ statt $L^p$.

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In der Stochastik betrachtet man $L^p$-Räume, die mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ ausgestattet sind. Unter einer Zufallsvariable versteht man dann eine Funktion $X:\backslash Omega\backslash rightarrow\; E$. Weiter ist der Erwartungswert als

$E(X):=\backslash int\_\backslash Omega\; X\; dP\backslash in\; E$

definiert. Zufallsvariablen, die $L^1$-Funktionen sind, besitzen also einen endlichen Erwartungswert. Da das für praktische Anwendungen immer gefordert ist, sind $L^p$-Räume gerade in der Stochastik sehr wichtig.

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In einem weiteren wichtigen Fall sind $\backslash Omega$ die natürlichen Zahlen, und $\backslash mu$ das normale Zählmaß. Hier ist der $L^p$-Raum der Raum aller Zahlenfolgen $\backslash left(a\_n\backslash right)\_\{n\backslash in\backslash N\}$, für die die Reihe $\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; |a\_n|^p$ konvergiert. Diese Räume werden auch oft mit $\backslash ell^p$ bezeichnet.

Wichtige Eigenschaften

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• Alle L^p-Räume für $1\backslash le\; p\; \backslash le\; \backslash infty$ sind Banachräume.
• Ist $\backslash mu\backslash ;$ ein endliches Maß, gilt also , so folgt aus der Ungleichung der verallgemeinerten Mittelwerte, dass $L^q\backslash subseteq\; L^p\backslash ;$ für $q>p\backslash geq\; 1\backslash ;$.
• Für sind die Dualräume der L^p-Räume wieder L^p-Räume, konkret gilt: Der Dualraum von L^p ist der Raum L^q, wobei q die Gleichung $\backslash frac\{1\}\{p\}+\backslash frac\{1\}\{q\}\; =1$ erfüllt.

Genauer gilt: Für reflexive Banachräume $E$ und ist

$L^p(\backslash Omega,\backslash mathcal\; A,\backslash mu;\; E)^*\; \backslash cong\; L^q(\backslash Omega,\; \backslash mathcal\; A,\; \backslash mu;\; E^*)$

und der kanonische isometrische Isomorphismus ist durch $L^q(\backslash Omega,\; \backslash mathcal\; A,\; \backslash mu;\; E^*)\backslash to\; L^p(\backslash Omega,\backslash mathcal\; A,\; \backslash mu;\; E)^*,\backslash quad\; f\; \backslash mapsto\; \backslash left(g\; \backslash mapsto\; \backslash int\_\backslash Omega\backslash !\; \backslash langle\; g(x),f(x)\backslash rangle\_E\backslash ,\; d\; \backslash mu(x)\backslash right)$

gegeben.

• Für $p=1$ und $E\; =\; \backslash mathbb\; K$ ist $L^1(\backslash Omega,\; \backslash mathcal\; A,\; \backslash mu)^*$ zu $L^\backslash infty(\backslash Omega,\; \backslash mathcal\; A,\; \backslash mu)$ isomorph (der Isomorphismus analog zu oben), falls $(\backslash Omega,\; \backslash mathcal\; A,\; \backslash mu)$ σ-endlich ist. Ist $(\backslash Omega,\; \backslash mathcal\; A,\; \backslash mu)$ nicht $\backslash sigma$-endlich, so lässt sich $L^1(\backslash Omega,\; \backslash mathcal\; A,\; \backslash mu)^*$ (wieder unter dem selben Isomorphismus) als der Banachraum der lokal messbaren lokal im wesentlichen beschränkten Funktionen darstellen.
• Daraus folgt, dass für und reflexives $E$ die L^p-Räume reflexiv sind.
• Der Fall $p=2$ ist ein Sonderfall: Der L² ist, falls $E$ ein Hilbertraum ist, nämlich sogar ein Hilbertraum (siehe unten).
• Die Räume $L^1$ und $L^\backslash infty$ sind nicht reflexiv.

Verallgemeinerungen

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Es gibt auch die Verallgemeinerung der L^p-Räume für . Diese sind allerdings keine Banachräume mehr, weil die entsprechende Definition keine Norm liefert, sondern nur eine Quasi-norm. In diesem Fall ist jedoch $d\_p(f,g)\; :=\; \backslash int\_\{\backslash Omega\}\; \backslash |f(s)-\; g(s)\backslash |^p\; \backslash ,\; ds$ eine translationsinvariante Metrik auf $L^p(\backslash Omega,\; \backslash mathcal\; A,\; \backslash mu;\; E)$, die diesen Raum zu einem vollständigen metrischen Vektorraum macht.

Berücksichtigt man in der Norm nicht nur die Funktionswerte, sondern auch die Ableitungen, so erhält man Sobolew-Räume, die insbesondere in der Untersuchung von Differentialgleichungen eine wichtige Rolle spielen.

Der Hilbertraum L²

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Sei $(\backslash Omega,\; \backslash mathcal\; A,\; \backslash mu)$ ein Maßraum, $(H,\; \backslash langle\backslash cdot,\backslash cdot\backslash rangle\_H)$ ein Hilbertraum (häufig $\backslash mathbb\; C$ mit dem Skalarprodukt $\backslash langle\; w,z\backslash rangle\; =\; w\backslash overline\; z$) und $f,g\backslash in\; L^2(\backslash Omega,\; \backslash mathcal\{A\},\; \backslash mu;H)$. Dann definiert $\backslash langle\; f,g\backslash rangle\_\{L^2(\backslash Omega,\backslash mathcal\; A,\; \backslash mu;\; H)\}:=\backslash int\_\backslash Omega\; \backslash langle\; f(x),g(x)\backslash rangle\_H\backslash ,\; d\backslash mu(x)$ ein Skalarprodukt auf L². Dieser Raum ist bezüglich der durch das Skalarprodukt induzierten Norm vollständig und damit selbst wieder ein Hilbertraum.

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