log4.png Der Logarithmus (griech.: λόγος = Verständnis, αριθμός = Zahl) gehört zu den elementaren mathematischen Funktionen.

Logarithmieren zu einer Basis ist die Umkehrung des Potenzierens einer Basis und entspricht der Suche nach dem Exponenten (nach der Hochzahl). Wenn beispielsweise $a\; =\; b^x\backslash ,$ gilt, so lässt sich die Zahl b durch Radizieren ermitteln, wenn a und x bekannt sind. Sind jedoch a und b bekannt, aber nicht der Exponent x, so lässt sich die Gleichung durch Logarithmieren zur Basis b nach x auflösen. Man schreibt dann:

$\backslash log\_b\; a\; =\; x\backslash ,$.

Die linke Seite der Gleichung nennt man Logarithmus von a zur Basis b. Das Ergebnis des Logarithmierens gibt also an, mit welchem Exponenten x man b potenzieren muss, um a zu erhalten.

Der Logarithmus erfüllt die Gleichung

$\backslash log\_b(x\backslash cdot\; y)\; =\; \backslash log\_b(x)\; +\; \backslash log\_b(y)$

die sogenannte Funktionalgleichung des Logarithmus. Diese besagt, dass man eine Multiplikation auf eine Addition zurückführen kann, sofern man den Logarithmus und seine Umkehrung kennt bzw. berechnen kann. Anwendung findet dieser Zusammenhang beim Rechenschieber. Da der Logarithmus selbst nicht einfach zu berechnen ist, gab es früher spezielle Tabellenwerke – die sogenannten Logarithmentafeln – in denen man Logarithmen nachschlagen konnte.

Im Sprachgebrauch wird häufig die Logarithmusfunktion selbst auch kurz als Logarithmus bezeichnet.

Den Funktionswert log_by nennt man den Logarithmus von y zur Basis b. Das Argument y heißt Logarithmand, gelegentlich auch Numerus.

Das Formelzeichen für den Logarithmus ist log. Die Basis wird als Index angehangen. Seltener findet man auch davon abweichende Schreibweisen, oder die Basis wird nicht mitnotiert, wenn sie aus dem Zusammenhang ersichtlich ist und keine Verwechslungsgefahr besteht.

log_b:Logarithmus zur Basis b

ln: logarithmus naturalis bzw. natürlicher Logarithmus, der Logarithmus zur Basis e, der Eulerschen Zahl

lg: Logarithmus zur Basis 10, auch bezeichnet als Zehnerlogarithmus oder dekadischer Logarithmus

ld: logarithmus dualis, Logarithmus zur Basis 2, auch als Zweierlogarithmus oder dyadischer oder binärer Logarithmus bezeichnet (manchmal auch mit der Abkürzung lb);

log: In der Mathematik steht log für den natürlichen Logarithmus, in technischen Anwendungen (so z.B. bei Taschenrechnern) für den dekadischen Logarithmus, in der Informatik für den dyadischen Logarithmus. Gelegentlich wird log auch verwendet, wenn die verwendete Basis keine Rolle spielt.

Im Englischen werden zum Teil andere Notationen verwendet. Ebenso in deutschen Büchern, die aus dem Englischen übersetzt wurden.

log₂ = lg, manchmal auch ld

log_e = ln oder log

log₁₀ = lg, manchmal wie z.B. auf dem Taschenrechner auch log

Ein ähnliches Formelsymbol ist li für den Integrallogarithmus. Bei dieser Funktion handelt es sich nicht um eine Logarithmusfunktion.

Logarithmus in Anwendung und Natur

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Anwendungen des Logarithmus finden sich vielfach in der Wissenschaft, wenn der Wertebereich viele Größenordnungen umfasst. Daten werden entweder direkt mit einer logarithmischen Skala dargestellt, oder die Einheiten selbst, wie

• Berechnung der Anzahl der Stellen, die zur Darstellung einer Zahl benötigt werden. Als Basis des Logarithmus dient die Basis des Zahlensystems (z.B. 10, 2, 8 oder 16), dem die Zahl, deren Länge berechnet werden soll, zugeordnet ist. (Siehe auch „bit“ im nächsten Punkt.)
• bit = Informationseinheit => Messung der Informationsmenge; die Informationstheorie sagt, dass wenn etwas mit Wahrscheinlichkeit p auftritt, das Wissen über das tatsächliche Auftreten davon eine Informationsmenge von $\backslash log\_2\{\backslash frac\{1\}\{p\}\}$ bits ergibt. Z.B. erhält man beim Ergebnis "Kopf" eines fairen Münzwurfs $(p=\backslash frac12)$ die Informationsmenge $\backslash log\_2\; 2\; =\; 1$ bit, beim Auftreten einer "1" beim Würfeln ($p=\backslash frac16$) dagegen $\backslash log\_2\; 6\; =\; \backslash frac\{\backslash ln\; 6\}\{\backslash ln\; 2\}\; \backslash approx\; 2,585$ bits.
• Der diskrete Logarithmus (erklärt für endliche Zahlenkörper) ist erheblich aufwendiger zu berechnen, als seine Umkehrfunktion, die diskrete Exponentialfunktion, und hilft damit, als sog. Einwegfunktion, in der Kryptografie Daten zu schützen
• pH-Wert (Säurewert von chemischen Lösungen) (Anmerkung: In der Chemie kann man logarithmische Skalen i. A. am vorangestellten p erkennen, z. B. beim pKs- oder pKb-Wert)
• dB (Dezibel) z. B. Messung von Lautstärke, elektronischer Dämpfung
• In der belebten Natur finden sich zahlreiche Beispiele logarithmischer Spiralen, so z. B das Wachstum von Schneckenhäusern oder die Anordnung der Kerne auf der Sonnenblume.
• Die Empfindlichkeit von Sinnesorganen folgt dem logarithmischen Weber-Fechner-Gesetz der Psychophysik, wonach eine Vervielfachung der Reizstärke nur eine lineare Zunahme des wahrgenommenen Reizes bewirkt.
• Sternhelligkeiten werden in astronomischen Größenklassen angegeben, die ein logarithmisches Maß der tatsächlichen Strahlungsstärke darstellt.
• Logarithmische Zeitskalen finden sich in der Geschichte der Technologie ebenso wie in der geologischen Zeitskala.
• Zur graphischen Darstellung von bestimmten mathematischen Funktionen werden spezielle mathematische Papiere verwendet, wie z. B. einfachlogarithmisches Papier oder doppeltlogarithmisches Papier.

Ferner erlaubt der Logarithmus die Lösung von Aufgabenstellungen, die bei Wachstums- oder Zerfallsprozessen typischerweise auftreten, da diese durch seine Umkehrfunktion, die Exponentialfunktion, modelliert werden. (Siehe u.a. Exponentieller Vorgang, Absorption)

Der Logarithmus als Größenmaßstab

Der Logarithmus zur Basis 10 (dekadischer Logarithmus) ist im Dezimalsystem ein Maß für die Größenordnung einer Zahl, denn die Ungleichung

ist gleichwertig mit

.

Gelten diese Ungleichungen für eine ganze Zahl $k$, so besitzt die reelle Zahl $x$ in ihrer Dezimalbruchentwicklung gerade $k+1$ Stellen vor dem Komma (für $k\backslash geq\; 0$) bzw. beginnt bei der $|k|$-ten Stelle nach dem Komma (für ).

Der Logarithmus als Rechenhilfe

Rechenschieber-Detail.png Im Normalfall tauchen beim Logarithmieren auch Nachkommastellen auf, die Mantisse genannt werden. So ist log₁₀(3) ≈ 0,47712. Multipliziert man eine Zahl mit der Basis, dann ändert sich zwar die Kennzahl, nicht aber die Mantisse. Es ist also

$\backslash log\_\{10\}(3\backslash cdot\; 10)\; =\; 1+\backslash log\_\{10\}(3)\; \backslash approx\; 1\{,\}47712$

Bevor elektronische Rechenmaschinen zur Verfügung standen, nutzte man dies aus, um Multiplikationen zu Additionen und Divisionen zu Subtraktionen zu vereinfachen. Und die Berechnung der Quadratwurzel vereinfacht sich auf der Ebene des Logarithmus zu einer Division durch 2. Weil der Logarithmus selbst nicht so leicht zu berechnen ist, waren Rechenschieber (John Napier) und Logarithmentafeln weit verbreitete Hilfsmittel.

Siehe dazu auch die Logarithmengesetze weiter unten.

Definition

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Der Logarithmus über den positiven reellen Zahlen kann auf verschiedene Art und Weisen eingeführt werden. Je nach Hintergrund und Intention wird man den einen oder anderen Zugang wählen.

Die einzelnen Definitionen sind untereinander äquivalent und erfolgen mit besonderem Fokus auf den Natürlichen Logarithmus, der aus Sicht des Mathematikers auf natürliche Art auftritt, wie bei dem Zugang über die Funktionalgleichung oder über die Stammfunktion von 1/t erkennbar wird.

als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion

Der Logarithmus zur Basis b ist die Umkehrfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion zur Basis b

$x\; \backslash mapsto\; b^x$

Die Funktionen b^x und log_b(x) sind also Umkehrfunktionen voneinander, d.h. Logarithmieren macht Exponenzieren rückgängig und umgekehrt:

$$

b^

Das unbestimmte Integral des natürlichen Logarithmus erhält man mit partieller Integration:

$\backslash int\{\backslash ln\{x\}\backslash ,\backslash mathrm\{d\}x\}\; =\; \backslash int\{1\backslash cdot\backslash ln\{x\}\backslash ,\backslash mathrm\{d\}x\}\; =\; x\backslash cdot\backslash ln\{x\}-\backslash int\{x\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{x\}\backslash ,\backslash mathrm\{d\}x\}\; =\; x\backslash ln\{x\}-x$

Ist bei einem bestimmten Integral des natürlichen Logarithmus eine der Grenzen Null, so kann die Regel von L'Hospital angewendet werden.

Beispiel:

$\backslash int\_0^1\{\backslash ln\{x\}\backslash ,\backslash mathrm\{d\}x\}\; =*\_\{0\}^\{1\}\; =\; -1$,

da

$$

\lim_{x \to 0^+} x\ln{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln{x}}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0

Kurvendiskussion

• Definitionsmenge: $D\; =\; ]0,\backslash infty[$
• Wertemenge: alle reellen Zahlen
• Nullstellen bzw. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: {1} bzw. (1|0)
• Gebräuchliche Limiten / Verhalten im Unendlichen:

$$

\lim_{x \to 0^+} \log_b x = \begin{cases} -\infty, & \mbox{wenn } b>1 \\ +\infty, & \mbox{wenn } b<1 \end{cases}

$$

\lim_{x \to \infty} \log_b x = \begin{cases} +\infty, & \mbox{wenn } b>1 \\ -\infty, & \mbox{wenn } b<1 \end{cases}

• Erste Ableitung:

$(\backslash log\_b\; x)\text{'}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash ln\; b\backslash cdot\; x\}$

• Extrempunkte: keine
• Wendepunkte: keine

Geschichte

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Indische Mathematiker im 2. Jahrhundert v. Chr. haben als Erste Logarithmen erwähnt. Schon in der Antike nutzen sie Logarithmen für ihre Berechnungen zur Basis der Zahl zwei. Im 8. Jahrhundert beschrieb Virasena (Indischer Mathematiker) Logarithmen zur Basis drei und vier. Ab dem 13. Jahrhundert wurden dann ganze logarithmische Tabellenwerke von muslimischen Mathematikern erstellt.

Im 17. Jahrhundert entwickelte der schweizer Uhrmacher Jost Bürgi das erste bekannte System zur Berechnung von Logarithmen. Veröffentlicht hat er dieses aber erst 1620. Schon vorher im Jahre 1614 veröffentlichte der schottische Denker John Napier ein Buch über Logarithmen, dessen Grundlagen er unabhängig von denen Jost Bürgis entwickelte.

Natürlicher Logarithmus und andere spezielle Logarithmen

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Der Logarithmus zur Basis e (der Eulerschen Zahl) wird auch als natürlicher Logarithmus bezeichnet und mit „ln“ oder einfach „log“ (ohne Subskript) abgekürzt:

Wenn $y\; =\; e^x$ dann ist $x\; =\; log\_e(y)\; =\; ln(y)$.

Die Zahl e ist z.B. dadurch ausgezeichnet (und könnte auch so definiert werden), dass die Exponentialfunktion $e^x$ sich bei Ableitung wieder selbst reproduziert, als Formel:

$\backslash frac\{d\}\{d\; x\}\; e^x\; =\; e^x$

Der Begriff natürlicher Logarithmus wurde gewählt, weil sowohl die Exponentialfunktion als auch der Logarithmus zur Basis e in vielen Zusammenhängen (Integralrechnung, Differentialrechnung, Komplexe Zahlen, Trigonometrie) auftreten. Zudem lässt sich der natürliche Logarithmus sehr einfach integrieren und differenzieren.

Der natürliche Logarithmus vom Betrag von x, also f(x)=ln|x| ist die Stammfunktion der Potenzfunktion $f\text{'}(x)=x^\{(-1)\}$ bzw. 1/x.

Der Logarithmus zur Basis Zehn wird oft mit „lg“ (bei Taschenrechnern oft mit „LOG“) abgekürzt; er heißt dekadischer Logarithmus oder auch Briggscher Logarithmus, benannt nach dem Mathematiker Henry Briggs.

Der Logarithmus zur Basis Zwei – abgekürzt mit „lb“ oder „ld“ – heißt binärer, dualer oder dyadischer Logarithmus.

Berechnung des Logarithmus, Potenzreihe

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Die Potenzreihenentwicklung

$$

\ln(1+x) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^{k} \frac{x^{k+1}}{k+1} = x-\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} -\frac{x^4}{4} \pm \cdots , \qquad -1 < x \le 1 des natürlichen Logarithmus um den Entwicklungspunkt 1 konvergiert nicht sonderlich schnell.

Zur Berechnung verwendet man besser folgende Reihendarstellung, die auf der Potenzreihenentwicklung des Areatangens Hyperbolicus beruht:

$$

\ln(x) = 2 \cdot \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{2k+1} \cdot \left( \frac{x-1}{x+1}\right)^{2k+1} + \; R_{n+1}(x) , \qquad x > 0 mit der Restgliedabschätzung

Die Reihe zeigt für x und 1/x ähnliches Konvergenzverhalten und konvergiert um so besser, je näher x bei 1 liegt. Um dies zu erreichen, verwendet man

$$

\ln(x) = m \ln (2) + \ln(2^{-m} x).\quad Durch Wahl einer geeigneten ganzen Zahl m kann man immer erreichen, dass gilt $1\; /\; \backslash sqrt\{2\}\; \backslash le\; 2^\{-m\}x\; \backslash le\; \backslash sqrt\{2\}$ und erhöht damit die Konvergenzgeschwindigkeit der Reihe, die man jetzt für $\backslash left(\; 2^\{-m\}\; \backslash right)\; \backslash cdot\; x$ berechnet. Allerdings braucht man dann auch eine gute Näherung für ln 2.

Für den natürlichen Logarithmus gilt zudem:

$$

\ln(x) = \lim_{n \to \infty} n \, \left(\!\sqrt^*{x} -1 \right) sowie

$$

\ln(x) = \lim_{h \to 0} \frac{x^h-1}{h}.

Für eine praktische Berechnung von ln x sind die beiden letzten Formeln jedoch nicht sonderlich geeignet.

Komplexer Logarithmus

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Ln_abs.png | Ln_re.png | Ln_im.png Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl $w$, die die Gleichung

$e^\{w\}\; =\; z\; \backslash ,$

erfüllt, ein natürlicher Logarithmus von $z$. Dies ist im Unterschied zum reellen Logarithmus jedoch nicht eindeutig, da gilt:

$e^\{2k\backslash pi\; i\}\; =\; 1,\; \backslash \; k\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}$

Hat man also einen Logarithmus $w\_\{0\}$ von $z$ gefunden, so ist auch

$w\; =\; w\_\{0\}\; +\; 2k\backslash pi\; i\; \backslash ,$

ein Logarithmus von $z$, da gilt:

$e^\{w\}\; =\; e^\{w\_\{0\}\; +\; 2k\backslash pi\; i\}\; =\; e^\{w\_\{0\}\}\; \backslash cdot\; e^\{2k\backslash pi\; i\}\; =\; e^\{w\_\{0\}\}\; \backslash cdot\; 1\; =\; e^\{w\_\{0\}\}\; =\; z$

Um Eindeutigkeit zu erreichen, schränkt man $w$ auf einen Streifen in der komplexen Zahlenebene ein. Man kann z.B. den Streifen

verwenden. Ein $w$ aus diesem Streifen heißt Hauptwert des Logarithmus und man schreibt $w\; =\; \backslash ln\{(z)\}$. Stellt man $z$ in Polarkoordinaten dar, so erhält man eine einfache Darstellung des k-ten Zweigs der Logarithmusfunktion:

$w\; =\; \backslash ln\{|z|\}\; +\; i\backslash left(\backslash arg\{(z)\}\; +\; 2k\backslash pi\backslash right),\; \backslash \; k\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}$

Für $k\; =\; 0$ hat man dann den Hauptzweig des Logarithmus:

$\backslash ln\{(z)\}\; =\; \backslash ln\{|z|\}\; +\; i\backslash arg\{(z)\}$

ln(z) ist nicht stetig auf $\backslash mathbb\{C\}\; \backslash setminus\; \backslash \{0\backslash \}$. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist ln(z) auf dem Gebiet

$\backslash mathbb\{C\}\; \backslash setminus\; \backslash \{x\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}:\; x\; \backslash leq\; 0\backslash \}$

stetig und sogar holomorph.

Mit dem Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus von negativen, reellen Zahlen bestimmen:

$\backslash ln\{(-x)\}\; =\; \backslash ln\{|-x|\}\; +\; i\backslash arg\{(-x)\}\; =\; \backslash ln\{(x)\}\; +\; i\backslash pi,\; \backslash \; x\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}^\{+\}$

Man muss jedoch beachten, dass im komplexen die Rechenregeln für Logarithmen nicht immer gelten, sondern nur noch modulo $2\; \backslash pi\; i$:

• $\backslash ln\{x\}\; +\; \backslash ln\{y\}\; \backslash neq\; \backslash ln\{(x\; \backslash cdot\; y)\}$

Beispiel: $\backslash ln\{(-1)\}\; +\; \backslash ln\{(-1)\}\; =\; 2\backslash pi\; i\; \backslash neq\; 0\; =\; \backslash ln\{1\}\; =\; \backslash ln\{((-1)\; \backslash cdot\; (-1))\}$

• $y\; \backslash cdot\; \backslash ln\{x\}\; \backslash neq\; \backslash ln\{x^y\}$

Beispiel: $2\backslash pi\; i\; \backslash cdot\; \backslash ln\{(e)\}\; =\; 2\backslash pi\; i\; \backslash neq\; 0\; =\; \backslash ln\{1\}\; =\; \backslash ln\{(e^\{2\backslash pi\; i\})\}$

Literatur

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• Walter, Wolfgang: Analysis I, Grundwissen Mathematik Band 3, Springer-Verlag (1985), ISBN 3-540-12780-1 und ISBN 0-387-12780-1

Siehe auch

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• Wurzel (Mathematik)
• Exponentialfunktion
• Potenzfunktion
• Ableitung

Weblinks

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• Logarithmusrechner mit Quelltext
• Logarithmen
• Logarithmen und Logarithmusgesetze (Onlinekurs, Übungen, Applets und Links)

Analytische Funktion

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