Die logarithmische Normalverteilung (kurz Log-Normalverteilung) ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen. Sie beschreibt die Verteilung einer Zufallsvariablen $X$, wenn $ln(X)$ normalverteilt ist.

Definition

---

Dichtefunktion

Eine stetige Zufallsvariable $X$ unterliegt der logarithmischen Normalverteilung $\backslash mathcal\{LN\}(\backslash mu,\backslash sigma^2)$ mit den Parametern $\backslash mu$ (Schwerpunkt) und $\backslash sigma$ (Streuung), wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

besitzt.

Zweidimensionale Log-Normalverteilung

Sind $X$ und $Y$ zwei log-normalverteilte Zufallsvariablen, dann ist mit dem transformierten Korrelationskoeffizienten

$\backslash rho=\backslash frac\{e^\{\backslash rho\_\{N\}\backslash sigma\_\{x\}\backslash sigma\_\{y\}\}-1\}\{\backslash sqrt\{(e^\{\backslash sigma\_\{x\}^2\}-1)(e^\{\backslash sigma\_\{y\}^2\}-1)\}\}$

deren gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte definiert als

$f(x,y)=\backslash frac\{e^\{\backslash sigma\_\{x\}\}^2-2\backslash rho\backslash frac\{\backslash ln(x)-\backslash mu\_\{x\}\}\{\backslash sigma\_\{x\}\}\backslash frac\{\backslash ln(y)-\backslash mu\_\{y\}\}\{\backslash sigma\_\{y\}\}+\backslash frac\{\backslash ln(y)-\backslash mu\_\{y\}\}\{\backslash sigma\_\{y\}\}^2\backslash Big)\}\}\}\{2\backslash pi\; xy\backslash sigma\_\{x\}\backslash sigma\_\{y\}\backslash sqrt\{1-\backslash rho^2\}\}$.

Verteilungsfunktion

Damit hat die logarithmische Normalverteilung die Verteilungsfunktion

$F(x)=\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\backslash pi\}\backslash sigma\}\backslash int\backslash limits\_\{-\backslash infty\}^\{x\}\backslash frac\{1\}\{t\}e^\{\backslash displaystyle\; -\backslash frac\{(\backslash ln\{t\}-\backslash mu)^2\}\{2\backslash sigma^2\}\}\backslash operatorname\{d\}t$

Die Verteilungsfunktion der logarithmischen Normalverteilung stellt sich im doppelt logarithmisch geteilten Wahrscheinlichkeitspapier als Gerade dar.

Eigenschaften

---

Maximum

Die Wahrscheinlichkeitsdichte hat den maximalen Wert von

$f\_\{max\}\; =\; e^\{\backslash mu\}$.

Erwartungswert

Der Erwartungswert der logarithmischen Normalverteilung beträgt

$\backslash operatorname\{E\}(X)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\backslash pi\}\backslash sigma\}\backslash int\backslash limits\_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}$

xe^{-\frac{(\ln{x}-\mu)^2}{2\sigma^2}}\operatorname{d}x = e^{\mu+\frac{\sigma^{2}}{2}}

Varianz

Die Varianz ergibt sich analog zu

$\backslash operatorname\{Var\}(X)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sigma\backslash sqrt\{2\backslash pi\}\}\backslash int\backslash limits\_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}(x-e^\{\backslash mu+\backslash frac\{\backslash sigma^\{2\}\}\{2\}\})^2$

e^{-\frac{(\ln{x}-\mu)^2}{2\sigma^2}}\operatorname{d}x = e^{2\mu+\sigma^{2}}(e^{\sigma^{2}}-1) .

Standardabweichung

Für die Standardabweichung ergibt sich

$\backslash sigma\; =\; \backslash sqrt\{e^\{2\backslash mu+\backslash sigma^\{2\}\}(e^\{\backslash sigma^\{2\}\}-1)\}$.

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten

$\backslash operatorname\{VarK\}(X)\; =\; \backslash sqrt\{e^\{\backslash sigma^2\}-1\}$.

Schiefe

Die Schiefe ergibt sich zu

$\backslash operatorname\{v\}(X)\; =\; (e^\{\backslash sigma^2\}+2)\backslash sqrt\{e^\{\backslash sigma^2\}-1\}\; >\; 0$,

d.h., die Lognormalverteilung ist rechtsschief.

Quantile

Ist $u\_\{(p)\}$ das p-Quantil einer Standardnormalverteilung (d.h. $\backslash Phi(u\_\{(p)\})\; =\; p$, wobei $\backslash Phi$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung sei), so ist das p-Quantil der Logarithmischen Normalverteilung gegeben durch

$x\_\{(p)\}\; =\; e^\{\backslash mu\; +\; u\_\{(p)\}\; \backslash cdot\; \backslash sigma\}$.

Insbesondere ist der Median, d.h. der Wert, bei dem die Verteilungsfunktion den Wert 0,5 annimmt, gegeben durch

$x\_\{(0,5)\}=e^\backslash mu$.

Je größer die Differenz zwischen Erwartungswert und Median, desto ausgeprägter ist i.a. die Schiefe einer Verteilung. Hier unterscheiden sich diese Parameter um den Faktor $e^\{\backslash frac\{\backslash sigma^2\}\{2\}\}$. Die Wahrscheinlichkeit für extrem große Ausprägungen ist also bei der Lognormalverteilung hoch.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion ist für die logarithmische Normalverteilung nicht explizit darstellbar.

Momente

Für die logarithmische Normalverteilung existieren alle Momente und es gilt:

$\backslash operatorname\{E\}(X^n)=e^\{n\backslash mu+\backslash frac\{n^2\backslash sigma^2\}\{2\}\}$.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion existiert nicht für die logarithmische Normalverteilung.

Beziehungen zu anderen Verteilungen

---

In der Versicherungsmathematik wird die Verteilung der Schadensanzahl häufig mit Hilfe von Zufallsvariablen modelliert, die der Poisson-Verteilung, der Negativ-Binomialverteilung oder der logarithmischen Verteilung genügen. Dagegen eignen sich zur Modellierung der Schadenshöhe insbesondere die Gammaverteilung, die Log-Gammaverteilung oder die Log-Normalverteilung.

Beziehung zur Normalverteilung

Der Logarithmus einer logarithmisch-normalverteilten Zufallsvariablen ist normalverteilt. Genauer: Ist $Y$ eine $N(\backslash mu,\backslash sigma^2)$-verteilte reelle Zufallsvariable (d.h. normalverteilt mit Erwartungswert $\backslash mu$ und Varianz $\backslash sigma^2$), so ist die Zufallsvariable $X=e^Y$ Log-normalverteilt mit diesen Parametern $\backslash mu$ und $\backslash sigma^2$, allerdings bilden diese Parameter nicht Erwartungswert und Varianz von $X$.

Anwendungen

---

Black-Scholes-Modell

Die logarithmische Normalverteilung liegt dem Black-Scholes-Modell zur Preisfeststellung von Finanzoptionen zugrunde.

Einkommensverteilung

Häufig sind Einkommen lognormalverteilt. Ein Grund ist, dass es einfach viel weniger bestdotierte Positionen gibt, die Hauptmasse sind Jobs mit mehr oder weniger geringem Einkommen, wobei besonders niedrige Einkommen wieder seltener werden. Das entspricht genau dem Verlauf der meisten Lognormalverteilungen. Dieser Umstand kann in jedem operativ funktionierenden Unternehmen überprüft werden.

Schätzung von Umsatzziffern von Unternehmen

Die Logarithmen aller Fakturenbeträge eines Unternehmens folgen annähernd einer Normalverteilung. Der Abstand zwischen dem Logarithmus des kleinsten und dem Logarithmus des größten Fakturenbetrages repräsentiert annähernd die 6-fache Standardabweichung der Normalverteilung der Logarithmen. Dadurch ist es möglich, auf den Mittelwert oder Erwartungswert der Fakturenbeträge (s.o.) der Lognormalverteilung zu schließen. Multiplikation dieses Mittelwertes mit der Anzahl der gültigen Fakturen ergibt in den meisten Fällen einen akzeptablen Schätzwert für die Größenordnung des Umsatzes eines Unternehmens; wertmäßig liegt er tendenziell zu hoch: Da für solche Schätzungen auch das Benfordsche Gesetz (vgl. Benfordsches Gesetz) gelten muss, sollte eher die Benford-Verteilung verwendet werden. Dabei ist zu beachten, dass die Größenordnungen (Stellenwerte) der Rechnungsbeträge nicht gleichverteilt (s.u. Gleichverteilung), sondern annähernd normalverteilt sind.

Versicherungsmathematik

Die logarithmische Normalverteilung wird wegen der oben besprochenen Schiefe und der damit verbundenen Großschadenneigung bei der Modellierung von Risiken häufig als Verteilung der Schadenhöhe eingesetzt. Sind der Erwartungswert E und die Standardabweichung stdev vorgegeben, so erhält man die Parameter der logarithmischen Normalverteilung wie folgt:

$\backslash sigma\; =\; \backslash sqrt\{\backslash ln\; \backslash left(\; 1\; +\; \backslash left(\; \backslash frac\; \backslash right)^2\; \backslash right)\}$

und

$\backslash mu\; =\; \backslash ln\; \{\backslash rm\; E\}\; -\; \backslash frac\{\backslash sigma^2\}\{2\}$.

Literatur

---

• ^*

Wahrscheinlichkeitsverteilung Statistik

Log-normal distribution | Distribución lognormal | Variabile casuale logonormale | Логнормальное распределение | Sebaran Log-normal