In der linearen Algebra wird eine Menge von Vektoren eines Vektorraums linear unabhängig genannt, wenn sich der Nullvektor allein durch die Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt, indem alle Koeffizienten der Kombination auf den Wert Null gesetzt werden. Man kann zeigen, dass diese Bedingung dazu äquivalent ist, dass sich keiner der Vektoren als Linearkombination der anderen darstellen lässt.

Zum Beispiel sind im dreidimensionalen Euklidischen Raum $\backslash mathbb\{R\}^3$ die Vektoren $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ und $(0,0,1)$ linear unabhängig. Die Vektoren $(2,\; -1,\; 1)$, $(1,\; 0,\; 1)$ und $(3,\; -1,\; 2)$ sind hingegen nicht linear unabhängig, denn der dritte Vektor lässt sich aus der Summe der beiden ersten zusammensetzen. Sind Vektoren nicht linear unabhängig, dann werden sie auch linear abhängig genannt.

Definition

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Es seien $V$ ein Vektorraum über dem Körper $K$ , $\backslash mathbf\{v\}\_1,\; \backslash mathbf\{v\}\_2,\backslash dots,\; \backslash mathbf\{v\}\_n$ Vektoren des Vektorraums $V$ und die Elemente $a\_1,\; a\_2,\backslash dots,a\_n$ von $K$ seien eine Koeffizientenfamilie (mit endlich vielen Elementen $a\_i$ ungleich Null).

Dann sind die Vektoren $\backslash mathbf\{v\}\_1,\; \backslash mathbf\{v\}\_2,\backslash \; ...,\; \backslash mathbf\{v\}\_n$ voneinander linear unabhängig, wenn sich der Nullvektor aus der Linearkombination

$a\_1\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{v\}\_1\; +\; a\_2\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{v\}\_2\; +\backslash \; ...\backslash \; +\; a\_n\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{v\}\_n\; =\; \backslash mathbf\{0\}$

nur darstellen lässt, wenn alle Koeffizienten $a\_i=0$ (für $i=1...n$) sind, also

$0\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{v\}\_1\; +\; 0\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{v\}\_2\; +\backslash \; ...\backslash \; +\; 0\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{v\}\_n\; =\; \backslash mathbf\{0\}$

Das bedeutet

$\backslash sum\_\{i=1\}^n\; a\_i\; \backslash mathbf\{v\}\_i\; =\; \backslash mathbf\{0\}\; \backslash ,$ mit $a\_i=0$

Lässt sich aber der Nullvektor außerdem noch mit Koeffizienten ungleich Null erzeugen, dann sind die Vektoren linear voneinander abhängig.

Achtung: Der Nullvektor $\backslash mathbf\{0\}$ ist ein Element des Vektorraumes V, während 0 ein Element aus dem Körper K ist!

Andere Charakterisierungen und einfache Eigenschaften

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• Die Vektoren $\backslash mathbf\; v\_1,\backslash ldots,\backslash mathbf\; v\_n$ sind genau dann linear unabhängig, wenn sich keiner von ihnen als Linearkombination der anderen darstellen lässt.
  Diese Aussage gilt nicht im allgemeineren Kontext von Modulen über Ringen.

• Eine Variante dieser Aussage ist das Abhängigkeitslemma: Sind $\backslash mathbf\; v\_1,\backslash ldots,\backslash mathbf\; v\_n$ linear unabhängig und $\backslash mathbf\; v\_1,\backslash ldots,\backslash mathbf\; v\_n,w$ linear abhängig, so lässt sich $\backslash mathbf\; w$ als Linearkombination von $\backslash mathbf\; v\_1,\backslash ldots,\backslash mathbf\; v\_n$ schreiben.

• Ist die Menge der Vektoren $\backslash mathbf\{v\}\_1,\; \backslash mathbf\{v\}\_2,\backslash \; ...,\; \backslash mathbf\{v\}\_n$ linear unabhängig, so ist jede Teilmenge dieser Menge ebenfalls linear unabhängig. Ist diese Menge hingegen linear abhängig, so ist jede Vektormenge, die diese abhängige Menge als Teilmenge beinhaltet ebenso linear abhängig.

• Elementare Umformungen der Vektoren verändern die lineare Abhängigikeit oder die lineare Unabhängigkeit nicht.

Bedeutung

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Lineare Gleichungssysteme

In einer Linearkombination sind die Koeffizienten eindeutig bestimmt, wenn die Vektoren $\backslash mathbf\{v\}\_1,\; \backslash mathbf\{v\}\_2,\backslash \; ...,\; \backslash mathbf\{v\}\_n$ linear unabhängig sind. Dies kann zur Feststellung der Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen benutzt werden. Das lineare Gleichungsystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die einzelnen Spaltenvektoren der Koeffizientenmatrix voneinander linear unabhängig sind.

Die Überprüfung, ob zum Beispiel drei Vektoren aus $\backslash mathbb\{R\}^3$ linear unabhängig sind, entspricht dem Lösen eines linearen Gleichungssystems. Dazu wird aus

$\backslash mathbf\{0\}\; =\; a\_1\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{u\}\; +\; a\_2\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{v\}\; +\; a\_3\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{w\}$

ein homogenes lineares Gleichungssystem gebildet:

$0\; =\; a\_1\; \backslash cdot\; u\_x\; +\; a\_2\; \backslash cdot\; v\_x\; +\; a\_3\; \backslash cdot\; w\_x$

$0\; =\; a\_1\; \backslash cdot\; u\_y\; +\; a\_2\; \backslash cdot\; v\_y\; +\; a\_3\; \backslash cdot\; w\_y$

$0\; =\; a\_1\; \backslash cdot\; u\_z\; +\; a\_2\; \backslash cdot\; v\_z\; +\; a\_3\; \backslash cdot\; w\_z$

und mittels Gaußschen Eliminationsverfahren nach $a\_1,\; a\_2,\; a\_3$ gelöst. Gibt es nur eine einzige Lösung, nämlich dass $a\_1\; =\; a\_2\; =\; a\; \_3\; =\; 0$, dann sind die Vektoren linear unabhängig. Existieren weitere Lösungen, sind sie linear voneinander abhängig.

Basen

Wichtig ist das Konzept der linearen Unabhängigkeit in Bezug auf die Basis eines Vektorraums. Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem, mit dem alle Elemente eines Vektorraums erzeugt werden können, d.h. sie besteht aus einer Menge von Vektoren $\backslash \{\; \backslash mathbf\{v\}\_1,\backslash \; ...,\; \backslash mathbf\{v\}\_n\; \backslash \}$, die voneinander linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden. Basen erlauben es, in beliebigen Vektorräumen mit Koordinaten zu rechnen.

Beispiele

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Beispiel 1: einzelner Vektor

Der Vektor $\backslash mathbf\{v\}$ sei ein Element des Vektorraums $V$ über $K$. Dann ist der einzelne Vektor $\backslash mathbf\{v\}$ für sich genau dann linear unabhängig, wenn gilt, dass $\backslash mathbf\{v\}\; \backslash neq\; \backslash mathbf\{0\}$ (d.h. ungleich dem Nullvektor ist).

Denn aus der Definition des Vektorraums folgt, dass wenn

$a\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{v\}\; =\; 0$ mit $a\; \backslash isin\; K$, $\backslash mathbf\{v\}\; \backslash isin\; V$

nur entweder $a=0$ oder $\backslash mathbf\{v\}=\backslash mathbf\{0\}$ sein kann!

Beispiel 2: zwei bestimmte Vektoren in $\backslash mathbb\{R\}^2$

Die Vektoren $\backslash mathbf\{u\}=(1,1)$ und $\backslash mathbf\{v\}=(-3,2)$ sind in $\backslash mathbb\{R\}^2$ linear unabhängig.

Beweis:    für $a,b\; \backslash isin\; \backslash mathbb\{R\}\backslash \; \backslash \; \backslash wedge\backslash \; \backslash \; \backslash mathbf\{u\},\backslash mathbf\{v\}\; \backslash isin\; V$

$a\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{u\}\; +\; b\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{v\}\; =\; \backslash mathbf\{0\}$

$a\; \backslash cdot\; (1,1)\; +\; b\; \backslash cdot\; (-3,2)\; =\; (0,0)$

$\backslash Rightarrow\; \backslash \; (a-3b,a+2b)=(0,0)$

$\backslash Rightarrow\; \backslash \; a-3b=0\; \backslash \; \backslash wedge\; \backslash \; a+2b=0$

Dieses Gleichungssystem ist nur für die Lösung $a=0$, $b=0$ (die sogenannte triviale Lösung) erfüllt; d.h. u und v sind linear unabhängig.

Beispiel 3: "natürliche" Basis in $\backslash mathbb\{R\}^n$

$V=\; \backslash mathbb\{R\}^n$ und folgende Elemente von $V$ sind definiert:

$\backslash mathbf\{e\}\_1=(1,0,0,\backslash \; ...,0)$

$\backslash mathbf\{e\}\_2=(0,1,0,\backslash \; ...,0)$

...

$\backslash mathbf\{e\}\_n=(0,0,0,\backslash \; ...,1)$

Dann ist die Vektorfamilie $(\backslash mathbf\{e\}\_i)\_\{i\; \backslash isin\; I\}$ mit $I=\backslash \{1,2,\backslash \; ...,n\backslash \}$ linear unabhängig.

Beweis:    für $a\_1,\; a\_2,\backslash \; ...,a\_n\; \backslash isin\; \backslash mathbb\{R\}$

$a\_1\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{e\}\_1\; +\; a\_2\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{e\}\_2\; +\backslash \; ...\backslash \; +\; a\_n\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{e\}\_n\; =\; \backslash mathbf\{0\}$

dann gilt aber auch

$a\_1\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{e\}\_1\; +\; a\_2\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{e\}\_2\; +\backslash \; ...\backslash \; +\; a\_n\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{e\}\_n\; =\; (a\_1,a\_2,\backslash \; ...,a\_n)\; =\; \backslash mathbf\{0\}$

und daraus folgt, dass alle $a\_i=0$ ,für $i\; \backslash isin\; \backslash \{1,2,\; ...,n\backslash \}$.

Beispiel 4: Funktionen als Vektoren

(benötigt Kenntnisse über die Differentialrechnung)

$V$ soll der Vektorraum über alle Funktionen $f(t)$ sein.
Die beiden Funktionen $\backslash mathrm\{e\}^t$ und $\backslash mathrm\{e\}^\{2t\}$ in $V$ sind linear unabhängig.

Beweis:       für $a,b\; \backslash isin\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash \; \backslash wedge\backslash \; \backslash mathrm\{e\}^t,\backslash mathrm\{e\}^\{2t\}\; \backslash isin\; V$

$a\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^t\; +\; b\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{2t\}\; =\; 0$              (1)

Nun muss gezeigt werden, dass die Koeffizenten $a$ und $b$ gleich Null sind — die Exponentialfunktion kann niemals 0 werden! Durch die Ableitung von (1) nach $t$ wird festgestellt, wie die Gleichung auf Null gesetzt werden kann.

$a\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^t\; +\; 2b\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{2t\}\; =\; 0$            (2)

Wird (1) von (2) subtrahiert, ergibt $b\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{2t\}\; =0$ und daraus folgt, dass (wenn $t=0$ ) $b=0$ sein muss.

Die erste Gleichung ist nun

$a\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^t\; +\; 0\; =\; 0$

und daraus folgt wieder, dass (für $t=0$) $a=0$ sein muss.

⇒ linear unabhängig

Siehe auch: Wronski-Determinante

Beispiel 5: Zeilen und Spalten einer Matrix

Interessant ist auch die Frage, ob die Zeilen einer Matrix linear unabhängig sind oder nicht. Dabei werden die Zeilen als Vektoren betrachtet. Falls die Zeilen einer quadratischen Matrix linear unabhängig sind, so nennt man die Matrix regulär, andernfalls singulär. Die Spalten sind genau dann linear unabhängig, wenn die Zeilen linear unabhängig sind. Beispiel einer Folge von regulären Matrizen: Hilbert-Matrix.

Verallgemeinerung

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Der Begriff der linearen Unabhängigkeit lässt sich weiter zu einer Betrachtung von unabhängigen Mengen verallgemeinern, siehe dazu Matroid.

Lineare Algebra

Linear independence | Independencia lineal | Indépendance linéaire | תלות לינארית | Lineaire onafhankelijkheid | Wektory liniowo niezależne | Linearna neodvisnost | Linjärt oberoende | 線性相關性