Lennard-Jones-Potenzial

Das Lennard-Jones-Potenzial (nach John Lennard-Jones) ist ein Begriff aus der physikalischen Chemie. Das Lennard-Jones-Potenzial beschreibt die Wechselwirkung sowohl zwischen ungeladenen Teilchen in der Gas- und Flüssigphase als auch in einem Edelgaskristall (ein Kristall bestehend aus Edelgasen). Geht man in einem idealen Gas noch von keinerlei Interaktion zwischen Teilchen (Molekülen oder Atomen) aus, ist dies für reale Gase nicht mehr der Fall. Hier müssen sowohl anziehende als auch abstoßende (repulsive) Effekte berücksichtigt werden.

12-6-Lennard-Jones-Potential.png So überwiegen in großer Entfernung die anziehenden Kräfte, ab einer bestimmten Entfernung zweier Teilchen zueinander beginnt der repulsive Anteil zu überwiegen und steigt extrem schnell an. Es handelt sich bei den anziehenden Kräften vor allem um van-der-Waals-Kräfte, aber auch um permantente Dipol-Dipol-Wechselwirkungen. Die repulsiven Kräfte kommen durch Pauli-Repulsion zustande, sind also dadurch bedingt, dass sich Elektronen mit gleichem Spin abstoßen, wenn die Orbitale übereinander geschoben werden.

Der anziehende Anteil des Lennard-Jones-Potenzials wird aus der London-Formel (nach Fritz London) abgeleitet, sie lautet

V = - \frac {C} {r^6}

wobei V das Potenzial, r der Abstand zwischen den Teilchen und C ein relativ komplizierter Term ist. Dieser enthält stoffspezifische Konstanten wie die Ionisierungsenergie für beide betrachteten Teilchen. Die Gleichung ist jedoch nur eine Näherung.

Der repulsive Anteil wird ebenfalls durch eine ähnliche Gleichung beschrieben:

V = \frac {C_n} {r^n}

Hierbei ist n eine hohe Potenz und im Lennard-Jones-(n,6)-Potenzial werden die beiden oben genannten Formeln zusammengefasst zu:

V = \frac {C_n} {r^n} - \frac {C} {r^6}

Für n wird aus praktischen Gründen oft 12 ausgewählt, wodurch man das Lennard-Jones-(12,6)-Potenzial erhält, welches meist in folgender Form geschrieben wird:

V = 4 \epsilon \left\{ \left( \frac {r_0} {r} \right)^{12} - \left( \frac {r_0} {r} \right)^6 \right\}

Hierbei ist $\epsilon$ die „Tiefe“ der Potenzialmulde, die durch die beiden Einflüsse entsteht. Der Abstand r₀ ist der Abstand, an dem das Lennard-Jones-Potenzial eine Nullstelle besitzt, also V = 0 gilt. Dies ist dann der Fall, wenn r = r₀ wird - und genau nicht dann, wenn r gegen unendlich geht. Der Abstand r₀ wird auch als der Radius des betrachteten Teilchens aufgefasst, wobei man diesen als van-der-Waals-Radius bezeichnet.

Meist wird das Lennard-Jones-(12,6)-Potenzial jedoch in einer parametrisierten Form angeben:

V = - E_m \left\{\left( \frac {r_m} {r} \right)^{12} -  2 \left( \frac {r_m} {r} \right)^6 \right\}

Dabei ist E_m, der erste Parameter, die stets negative Energie des Minimums, also der „Tiefe“ der Potenzialmulde. Der Abstand r_m, der zweite Parameter, ist der Abstand des Energieminimums E_m vom betrachteten Teilchen.

Die Formel für das Lennard-Jones-(12,6)-Potenzial ist jedoch ungenauer als das Lennard-Jones-(exp,6)-Potenzial, bei welchem der repulsive Term exponentiell ist:

V = \gamma \left\{ e^{-r/r_0} - \left( \frac {r_0} {r} \right)^6 \right\}

Siehe auch: Dipol-Dipol-Kräfte, Van-der-Waals-Bindung

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