Das Lemma von Itō (auch Itō-Formel), benannt nach dem japanischen Mathematiker Itō Kiyoshi, ist eine zentrale Aussage in der stochastischen Analysis. Es ist die Kettenregel aus der Differentialrechnung für stochastische Prozesse.

Voraussetzung

Sei $(W\_t),\; t\; \backslash ge\; 0$ eine (Standard-)Brownsche Bewegung. Ein stochastischer Prozess $(X\_t),t\; \backslash ge\; 0$ heißt Itō-Prozess, falls

$X(t)=\; X(0)+\backslash int\_0^t\; f(s,X\_s)ds+\backslash int\_0^t\; g(s,X\_s)dW\_s$ für zwei Funktionen f ,g gilt (genaueres dazu unter stochastische Integration). In Differentialschreibweise:

$dX\_t=f(t,X\_t)dt+g(t,X\_t)dW\_t$.

Das Lemma

Das Lemma von Itō besagt: Ist $h:\backslash mathbb\{R\}\_\{+\}\; \backslash times\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\}$ eine in der ersten Komponente einfach und in der zweiten zweifach stetig differenzierbare Funktion, so ist auch $Y\_t\; :=h(t,X\_t)$ ein Itō-Prozess und es gilt

$dY\_t=\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; h(t,X\_t)\; f(t,X\_t)\}\{\backslash partial\; X\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; h(t,X\_t)\}\{\backslash partial\; t\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash frac\{\backslash partial^2\; h(t,X\_t)\; g^2(t,X\_t)\}\{\backslash partial^2\; X\}\backslash right)dt+\backslash frac\{\backslash partial\; h(t,X\_t)\; g(t,X\_t)\}\{\backslash partial\; X\}dW\_t$.

Ein Beispiel

Mit Hilfe des Lemmas kann man einfach beweisen, dass die geometrische Brownsche Bewegung

$S\_t=a\; e^\{rt-0.5\; \backslash sigma^2\; t\; +\backslash sigma\; W\_t\}$

$dS\_t=r\; S\_t\; dt+\; \backslash sigma\; S\_t\; dW\_t,\backslash ;\; S\_0=a$

löst: hierzu wählt man $X\_t=W\_t$, also $f(t,W\_t)=0,\backslash ;\; g(t,W\_t)=1$.

Dann ergibt das Lemma (mit h=S):

$dS\_t=\backslash left\backslash sigma^2+\backslash frac\{\backslash sigma^2\}\{2\}\backslash right)e^\{rt-0.5\; \backslash sigma^2\; t\; +\backslash sigma\; W\_t\}\; \backslash rightdt+\backslash lefte^\{rt-0.5\; \backslash sigma^2\; t\; +\backslash sigma\; W\_t\}\backslash rightdW\_t\; =rS\_t\; dt+\backslash sigma\; S\_t\; dW\_t$

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