Der Laplace-Operator oder Deltaoperator Δ ist in der mehrdimensionalen Analysis ein wichtiger Differentialoperator, der die Summe der reinen zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion von mehreren Variablen ermittelt. Er ist benannt nach Pierre-Simon Laplace.

Der Laplace-Operator erscheint beispielsweise in vielen Wellengleichungen und bei der Beschreibung von Diffusionsvorgängen.

Allgemeines

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Für den Fall von n kartesischen Koordinatenvektoren ist er definiert als

$\backslash Delta=\backslash vec\backslash nabla^2=\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; \{\backslash partial^2\backslash over\; \backslash partial\; x\_k^2\}.$

Dabei ist $\backslash vec\backslash nabla$ der Nabla-Operator. Angewendet auf eine skalare Funktion φ ist auch die Schreibweise

$\backslash Delta\backslash varphi\; =\; \backslash operatorname\{div\}\backslash left(\backslash operatorname\{grad\}\backslash ,\backslash varphi\backslash right)\; =\; \backslash vec\backslash nabla\backslash cdot\backslash left(\backslash vec\backslash nabla\backslash varphi\backslash right).$

möglich. Dabei wird das Resultat wieder eine skalare Funktion sein. Bezüglich div und grad siehe Divergenz und Gradient.

Die Laplace-Operatoren in anderen Koordinatensystemen unterscheiden sich von demjenigen in kartesischen Koordinaten. Zu deren Berechnung geht man normalerweise von der obigen Formel aus, die dann in die jeweiligen Räume transformiert wird.

Laplace-Operator in 1 Dimension

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Für eine Funktion φ(x) in einer Variablen ergibt die Anwendung des Laplace-Operators die zweite Ableitung.

Laplace-Operator in 2 Dimensionen

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Für eine Funktion φ(x,y) von zwei Variablen ergibt sich

in kartesischen Koordinaten mit $\backslash varphi\; (\; x\; ,\; y\; )$

$\backslash Delta\backslash varphi\; =$

\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}

in Polarkoordinaten mit $\backslash varphi\; (\; r\; ,\; \backslash phi\; )$

$\backslash Delta\backslash varphi\; =$

\frac{\partial^2 \varphi}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial \varphi}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 \varphi}{\partial \phi^2} oder

$\backslash Delta\backslash varphi\; =$

\frac{1}{r}\cdot\frac{\partial}{\partial r} \left( r\cdot\frac{\partial\varphi}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 \varphi}{\partial \phi^2}

Laplace-Operator in 3 Dimensionen

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Für eine Funktion φ(x,y,z) von drei Variablen ergibt sich

in kartesischen Koordinaten mit $\backslash varphi\; (\; x\; ,\; y\; ,\; z\; )$

$\backslash Delta\backslash varphi\; =$

\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2}

in Zylinderkoordinaten mit $\backslash varphi\; (\; \backslash rho\; ,\; \backslash phi\; ,\; z\; )$

$\backslash Delta\backslash varphi\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash rho\}\; \backslash cdot\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; \backslash rho\}$

\left( \rho\cdot\frac{\partial\varphi}{\partial \rho} \right) + \frac{1}{\rho^2}\cdot\frac{\partial^2 \varphi}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2}

in Kugelkoordinaten mit $\backslash varphi\; (\; r\; ,\; \backslash vartheta\; ,\; \backslash phi\; )$

$\backslash Delta\backslash varphi\; =\; \backslash frac\{1\}\{r^2\}$

\frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin \vartheta} \cdot \frac{\partial}{\partial \vartheta} \left(\sin\vartheta \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial \vartheta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2\vartheta} \cdot \frac{\partial^2 \varphi}{\partial \phi^2}

Die Greensche Funktion des Laplace Operators hat die Form:

$G\_\{\backslash Delta\}(x,\; x\text{'})\; =\; -\backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\backslash |x-x\text{'}\backslash |\}\; +\; F(x,x\text{'})$ mit $\backslash Delta\; F(x,x\text{'})\; =\; 0$.

Es gilt dann: $\backslash Delta\; G\_\{\backslash Delta\}(x,\; x\text{'})\; =\; \backslash delta(x\; -\; x\text{'})$ mit der Delta-Distribution $\backslash delta$. Die Greensche Funktion wird in der Elektrodynamik als Hilfsmittel zur Lösung von Randwertproblemen benötigt.

Bemerkungen

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Der Laplace-Operator kann auch auf Vektorfelder $\backslash vec\; a$ angewandt werden. $\backslash Delta\; \backslash vec\; a$ wird dann ebenfalls ein Vektorfeld sein. In diesem Fall besteht folgender Zusammenhang :

$\backslash Delta\backslash vec\; a\; =\; \backslash operatorname\{grad\}\backslash left(\backslash operatorname\{div\}\backslash ,\backslash vec\; a\; \backslash right)\; -\; \backslash operatorname\{rot\}\backslash left(\; \backslash operatorname\{rot\}\backslash ,\backslash vec\; a\backslash right)$

Der Laplace-Operator tritt beispielsweise in der Laplace-Gleichung

$\backslash Delta\backslash varphi\; =\; 0$

auf. Zweimal stetig differenzierbare Lösungen dieser Gleichung heißen harmonische Funktionen.

Da die Hesse-Matrix die Matrix aller zweiten partiellen Ableitungen ist, ist der Laplace-Operator gerade die Spur der Hesse-Matrix.

Insbesondere im englischsprachigen Raum (und folglich in der englischsprachigen Literatur) wird der Laplace-Operator nicht mit dem Symbol "$\backslash Delta$" bezeichnet. Stattdessen wird die Schreibweise $\backslash nabla^2$ benutzt.

Eigenschaften

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Der Laplace-Operator ist rotationssymmetrisch, das heißt ist f eine zweimal differenzierbare Funktion und R eine Rotationsmatrix so gilt

$\backslash left(\; \backslash Delta\; f\; \backslash right)\backslash circ\; R=\backslash Delta\backslash left(f\backslash circ\; R\backslash right)$

wobei „$\backslash circ$“ für die Verkettung von Funktionen steht.

Siehe auch: Gradient, Divergenz, Rotation.

Analysis

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