Lagrange-Punkt

Die Librations- oder Lagrange-Punkte sind die nach Joseph-Louis Lagrange benannten Gleichgewichtspunkte des eingeschränkten Dreikörperproblems der Himmelsmechanik. Er konnte beweisen, dass das im Allgemeinen analytisch (durch exakte vollständige Lösung von Gleichungen) nicht lösbare Dreikörperproblem für einige Spezialfälle des eingeschränkten Dreikörperproblems doch analytisch lösbar ist: Für zwei umeinander kreisende Körper gibt es 5 Gleichgewichtspunkte - die Lagrangepunkte - in denen sich ihre Gravitationskraft und die Zentrifugalkraft auf einen dritten Körper mit im Verhältnis zu den anderen beiden verschwindend kleiner Masse aufheben, so dass er in diesen Punkten in Bezug auf die anderen beiden Körper immer denselben Ort einnimmt. Der Allgemeinfall des Dreikörperproblems ist nur genähert lösbar. Man löst das Dreikörperproblem dann iterativ mit numerischen Methoden, heutzutage auf Computern.

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Lage der Lagrange-Punkte

Die Lagrangepunkte sind im mitbewegten Bezugssystem, welches sich mit der Bahnbewegung des Planeten um das Zentralgestirn mitdreht (so dass in ihm der Planet still zu stehen scheint), feste Punkte, in denen sich die Gravitationskräfte der beiden Körper auf den dritten und seine Zentrifugalkraft (aufgrund der Kreisbewegung im ruhenden Bezugssystem) aufheben, so dass er in diesen Punkten ruht und nicht in Richtung eines der beiden anderen Himmelskörper ausgelenkt wird. Im ruhenden Bezugsystem führt ein Körper in einem der Lagrangepunkte also eine zur Umlaufdauer des Planeten synchrone Bewegung um das Zentralgestirn aus.

Drei der Lagrangepunkte liegen auf der Verbindungslinie der anderen beiden Körper, der vierte und fünfte bilden mit diesen beiden Körpern jeweils die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks. Die Punkte nennt man Lagrange-Punkte 1 bis 5 oder kurz L₁ bis L₅. Nur bei den Punkten L₄ und L₅ handelt es sich um ein stabiles Gleichgewicht, bei L₁ bis L₃ dagegen um ein instabiles. Daher können sich in der Umgebung von L₁ bis L₃ keine natürlichen Himmelskörper auf Dauer halten.

L₁

Der innere Lagrangepunkt L₁ befindet sich zwischen den beiden großen Körpern auf ihrer Verbindungslinie. Ein Körper, der die Sonne in einem engeren Abstand als die Erde umkreist, würde normalerweise eine kürzere Umlaufdauer haben als die Erde. Durch die Anziehungskraft der Erde wird jedoch die Anziehungskraft der Sonne auf den Körper geschwächt (die beiden Kräfte wirken entgegengesetzt), wodurch sich seine Umlaufdauer erhöht und er sich im L₁ des Systems Erde-Sonne schließlich synchron zur Erde bewegt. Dieser Punkt befindet sich ca 1,5 Millionen Kilometer von der Erde entfernt in Richtung Sonne.

Beispiel: Der innere Lagrange-Punkt L₁ im System Erde-Sonne dient seit 1995 als "Basis" zur Sonnenbeobachtung. In seiner Nähe ist der Sonnenbeobachtungssatellit SOHO mit einem Bündel von 12 Messinstrumenten stationiert. Aus der Sicht des mit der Erdbewegung mitbewegten Bezugssystems umkreist SOHO den Lagrange-Punkt langsam im Abstand von rund 600.000 km. Auch die Raumsonde Genesis mit Instrumenten zur Erforschung des Sonnenwinds wurde dort positioniert.

L₂

L₂ befindet sich hinter dem kleineren der beiden großen Körper auf ihrer Verbindungslinie. Ursache ist ein ähnlicher Effekt wie im Fall des L₁. Normalerweise wäre außerhalb der Erdbahn die Umlaufdauer länger als die der Erde. Die zusätzliche Anziehung der Erde (Kräfte von Sonne und Erde auf den Körper sind gleichgerichtet) bewirkt jedoch eine kürzere Umlaufdauer, welche im L₂ wiederum gleich der Umlaufdauer der Erde ist. Dieser Punkt befindet sich 1,5 Millionen Kilometer außerhalb der Erdbahn.

Beispiel: Der L₂-Punkt des Systems Erde-Sonne wird gerne für Weltraumteleskope verwendet. Da ein Körper im L₂ dieselbe Orientierung in Bezug auf Sonne und Erde beibehält, ist dort die Abschirmung (vor Sonnenstrahlung) und Kalibrierung des Satelliten wesentlich einfacher. Der WMAP-Satellit (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe), welcher die kosmische Hintergrundstrahlung des Urknalls untersucht, befindet sich in einer Umlaufbahn um den L₂-Punkt des Systems Erde-Sonne. Die ESA plante, den Satelliten Eddington zur Suche nach extrasolaren Planeten am Lagrange-Punkt L₂ zu platzieren. Ende 2007/Anfang 2008 will die ESA das bisher größte Weltraumteleskop Herschel am L₂ positionieren. Für 2011 planen NASA, ESA und CSA, den L₂ für ihr James Webb Space Telescope zu benutzen.

L₃

L₃ befindet sich hinter dem größeren der beiden großen Körper auf ihrer Verbindungslinie etwas außerhalb der Umlaufbahn des kleineren der beiden großen Körper. Dieser dritte Lagrangepunkt existiert auf der gegenüberliegenden Seite der Sonne, etwas weiter weg von der Sonne als die Erde. In diesem Punkt bewirken die (gleichgerichteten) kombinierten Anziehungskräfte von Erde und Sonne wieder eine Umlaufdauer, welche gleich der der Erde ist.

Beispiel: Der L₃-Punkt war in Science-Fiction-Büchern und Comics ein beliebter Platz für eine hypothetische (für uns aufgrund der Sonne nicht sichtbare) "Gegenerde".

L₄ und L₅

Diese beiden Lagrangepunkte befinden sich jeweils am dritten Punkt eines gleichseitigen Dreiecks, dessen Grundlinie die Verbindungslinie der beiden großen Körper ist. L₄ befindet sich in Umlaufrichtung des kleineren der beiden großen Körper vor ihm, L₅ hinter ihm. Der L₄- und L₅-Punkt liegen also 60° vor beziehungsweise 60° hinter dem um den Zentralkörper umlaufenden Körper in seiner Umlaufbahn. Asteroiden, die sich in diesen Punkten befinden, werden von Astronomen auch Trojaner genannt.

Beispiele:

Jupitertrojaner

In der Umgebung der Punkte L₄ und L₅ des Jupiter halten sich die (erstmalig bei Jupiter so genannten) Trojaner auf, eine Gruppe von Asteroiden. Sie haben dieselbe Umlaufperiode wie Jupiter, eilen ihm aber im Mittel 60° vor bzw. nach und umkreisen dabei die Punkte L₄ und L₅ periodisch in weiten Bögen. Bislang sind in L₄ und L₅ rund 900 beziehungsweise 600 Trojaner bekannt, die Gesamtzahl wird auf einige Tausend geschätzt. Der erste Trojaner, (588) Achilles, wurde 1906 von Max Wolf entdeckt. Der weitaus größte Trojaner dürfte der 1907 entdeckte (624) Hektor sein, ein unregelmäßig geformter Asteroid von 370 × 195 km Ausdehnung.

Trojaner anderer Planeten

1990 wurde auch im Librationspunkt L₅ des Mars ein Mars-Trojaner entdeckt, der Eureka getauft wurde. Mittlerweile hat man vier weitere Mars-Trojaner entdeckt, davon einen im L₄-Punkt. Ende 2001 fand man auch 60° hinter Neptun einen Trojaner. Mit dem 4 m-Spiegelteleskop am Cerro Tololo aufgenommen, erhielt der 230 km-Körper die Asteroiden-Nummer 2001 QR322, war aber erst nach einem Jahr "gesichert". Er umrundet die Sonne - genau wie Neptun - in 166 Erdjahren. Weitere Trojaner gibt es in den Mondsystemen von Jupiter und Saturn. So hat der Saturnmond Tethys die kleinen Monde Telesto in seinem L₄- und Calypso in seinem L₅-Punkt und der Saturnmond Dione hat die Monde Helene in seinem L₄- und Polydeuces in seinem L₅-Punkt.

Erdbegleiter

Von der Erde ist bis jetzt noch kein Trojaner bekannt. Es wurden bislang in den L₄- und L₅-Punkten des Erde-Sonne-Systems in den 1950ern Staubwolken gefunden. In den L₄- und L₅-Punkten des Systems Erde-Mond wurden ebenfalls sehr schwache Staubwolken gefunden, die Kordylewskische Wolken, die noch schwächer als der lichtschwache Gegenschein ausgeprägt sind. Jedoch gibt es einige Asteroiden, welche sich auf einer sogenannten Hufeisenumlaufbahn zusammen mit der Erde (also einer mittleren Umlaufdauer von einem Jahr) um die Sonne bewegen. Der Übergang von einem Trojaner zu einer Hufeisenbahn ist fließend: Wenn der Abstand eines Trojaners zum L₄- oder L₅-Punkt zu groß ist, dann wird er einmal auf der Erdbahn den der Erde entgegengesetzten Punkt überschreiten und dann in Richtung des anderen Lagrange-Punktes wandern. Insbesondere die Bahn des am 9. Januar 2002 mit Hilfe der automatischen Himmelsüberwachung LINEAR (Lincoln Near Earth Asteroid Research) entdeckte Asteroiden 2002 AA₂₉ (ein Objekt mit nicht einmal 100 m Durchmesser) ist bemerkenswert. Er umkreist die Sonne auf einer der Erdbahn sehr ähnlichen Umlaufbahn, wobei er vom mit der Erdbewegung mitbewegten Bezugssystem aus gesehen entlang der Erdbahn im Lauf von 95 Jahren einen Bogen von fast 360° beschreibt, den er in weiteren 95 Jahren wieder zurück schwingt. Die Form des Bogens erinnert an ein Hufeisen, daher der Name Hufeisenbahn.

Koorbitale Monde

In den L₄- und L₅-Punkten des Tethys-Saturn-Systems laufen die beiden Monde Telesto und Calypso 60° vor beziehungsweise hinter Thetys um den Saturn. Im L₄ Punkt des Dione-Saturn Systems läuft außerdem der Mond Helene Dione 60° voraus.

Stabilität der Lagrange-Punkte

Die ersten drei Lagrangepunkte sind nur in der Ebene senkrecht auf der Verbindungslinie zwischen den beiden großen Körpern stabil. Am einfachsten kann man dies anhand des L₁-Punkts sehen. Eine Testmasse, die vom L₁ aus senkrecht von der Verbindungslinie entfernt wird, spürt eine Kraft zurück in den Gleichgewichtspunkt. Dies liegt daran, dass die waagerechten Kraftkomponenten der beiden großen Körper sich gegenseitig aufheben, während sich ihre senkrechten Kraftkomponenten addieren. Wird hingegen ein Objekt aus dem L₁-Punkt heraus etwas näher an einen der beiden anderen Körper bewegt, so ist die Gravitationskraft des Körpers, dem er näher ist, größer. Somit heben sich die Kräfte nicht mehr vollständig gegenseitig auf, und die Testmasse wird weiter in Richtung des näheren Körpers beschleunigt. Die Punkte L₁ und L₂ sind dennoch von Nutzen, da geringe Korrekturmanöver eines Satelliten ausreichen, um ihn dort zu halten.

Im Gegensatz dazu sind L₄ und L₅ Gleichgewichtszustände (CF-Attraktor), sofern das Massenverhältnis der beiden großen Körper größer als 24,96 ist. Wird ein Körper in einem dieser Punkte gestört, so entfernt er sich von ihm, aber die Corioliskraft zwingt ihn aus der Sicht des rotierenden Bezugssystems, in dem die Lagrangepunkte ruhen, in eine nierenförmige Umlaufbahn um diesen Punkt.

Siehe auch

Trojaner (Astronomie), Koorbitales Objekt, Gravitation, Keplersche Gesetze

Weblinks

http://www.winkler-berlin.de/Deutsch/Dorbit.htm - Umlaufbahnen im Weltraum (Deutsch)
http://www.astronews.com/news/artikel/2002/07/0207-015.shtml - Eine Schnellstraße durch das Sonnensystem (Deutsch)
http://map.gsfc.nasa.gov/ContentMedia/lagrange.pdf - Artikel zum Thema mit einfachen Formeln und Diagrammen (Englisch)
http://www.physics.montana.edu/faculty/cornish/lagrange.html - Artikel zu Lagrangepunkten mit weiterführenden Links (Englisch)

Video

Himmelsmechanik

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