Der Lagrange-Formalismus ist eine 1788 von Joseph Louis Lagrange eingeführte Formulierung der klassischen Mechanik. Die Trajektorie eines Objektes wird im Lagrange-Formalismus bestimmt, indem der Pfad mit einer stationären Wirkung berechnet wird (Hamilton'sches Prinzip), d. h. der Pfad, für den das Integral der Lagrangefunktion L über die Zeit stationär ist.

Diese Betrachtungsweise vereinfacht viele physikalische Probleme, denn im Gegensatz zur Newton'schen Formulierung der Bewegungsgesetze lassen sich im Lagrange-Formalismus Zwangsbedingungen relativ einfach durch das explizite Ausrechnen der Zwangskräfte oder die Wahl geeigneter Koordinaten $q\_i$ (generalisierte Koordinaten) berücksichtigen.

Lagrangesche Methode erster Art

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Man betrachte N Punktteilchen im R³ mit den Ortsvektoren r_i. Diese seien durch s von einander unabhängige Zwangsbedingungen F_k der Form F_k(r₁,...,r_N,t)=0 eingeschränkt. Dadurch werden die Lagen der Teilchen auf eine f=3N-s-dimensionale Mannigfaltigkeit eingeschränkt.

Da nach dem D'Alembertschen Prinzip Zwangskräfte keine Arbeit verrichten, steht der Gradient $\backslash nabla\; F\_k$ senkrecht auf dieser Mannigfaltigkeit. Die Zwangskraft Z selber kann man dann durch eine Linearkombination dieser Vektoren darstellen:

$\backslash mathbf\; Z\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^N\; \backslash sum\_\{k=1\}^s\; \backslash lambda\_k\; \backslash nabla\_i\; F\_k$

Damit kann man die Bewegungsgleichung schreiben als:

$m\_i\; \backslash ddot\{\backslash mathbf\; r\}\_i\; =\; -\; \backslash nabla\_i\; V\; +\; \backslash sum\_\{k=1\}^s\; \backslash lambda\_k\; \backslash nabla\_i\; F\_k,\backslash qquad\; i=1,...,N$

Dies sind 3N+s Gleichungen für die 3N Koordinaten der r_i sowie für die s Lagrangemultiplikatoren λ_k. Somit ist das Gleichungssystem lösbar.

Beispiel

Man betrachte zwei Punktmassen im Gravitationsfeld der Erde, die über eine Rolle aufgehängt und durch ein Seil der Länge l verbunden seien. Die Zwangsbedingung lautet in diesem Fall:

$y\_1\; +\; y\_2\; -\; l\; =\; 0$

Für die Gradienten erhält man

$y\_1\; =\; 1,\backslash qquad\; y\_2\; =\; 1$

Dies führt auf das das System der Lagrange-Gleichungen 1. Art:

m_2 \ddot y_2 &=& m_2 \mathbf g + \lambda\\ y_1 + y_2 - l &=& 0 \end{matrix}

Dies kann man auflösen und erhält z.B. für bekannte Anfangsbedingungen.

\lambda &=& -2 \mathbf g \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}\end{matrix}

Lagrangesche Methode zweiter Art

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Mit Hilfe der Variationsrechnung folgen aus dem Hamiltonschen Prinzip die Bewegungsgleichungen des Lagrange-Formalismus, die (Euler-)Lagrange-Gleichungen:

$$

{\partial{L}\over \partial q_i} = {d\over dt}{\partial{L}\over \partial{\dot{q}_i}}

Für jede generalisierte Koordinate $q\_i$ (und die zugehörige generalisierte Geschwindigkeit $\backslash dot\{q\}\_i$) gibt es eine solche Gleichung. Die Lagrange-Gleichungen bilden ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

Die Lagrange-Funktion $L$ erhält man aus $L=T-U$, wobei $T$ die kinetische Energie und $U$ die potenzielle Energie des Systems sind. Standardbeispiel: System von Massenpunkten mit Newtonscher Gravitations-Wechselwirkung.

Richard Feynman (zusammen mit Albert Hibbs) hat, im Gegensatz zu vielen anderen Physikern, diese Herangehensweise auch für die Herleitung der Gleichungen der Quantenmechanik verwendet. In der klassischen Physik ergeben sich die oben beschriebenen Lagrange-Gleichungen aus der Forderung, dass das Wirkungsintegral (bei dem über die Lagrange Funktion integriert wird) stationär wird (durch die Variation des Integrals erhält man die Differenzialgleichungen). Feynman hat einen mathematischen Formalismus entwickelt, in dem der Betrag des Wirkungsintegrals als Maß für die Wahrscheinlichkeit eingeht, dass ein System einen bestimmten zeitlichen Verlauf erfährt (Pfadintegral). Hieraus ergibt sich dann (in einer mathematisch anspruchsvollen Herleitung) z. B. die Schrödingergleichung. In dieser Theorie bilden klassische Systeme den Grenzfall, bei dem außer der Systemtrajektorie, die sich aus der Lagrange-Gleichung ergibt, alle anderen Trajektorien eine verschwindend geringe Wahrscheinlichkeit haben.

Beispiel

schwinger1.png Für einen eindimensionalen harmonischen Oszillator gilt

$T=\backslash frac\{1\}\{2\}\; m\; \backslash dot\{x\}^2$

$V=\backslash frac\{1\}\{2\}\; c\; x^2$

Mit $x$ als generalisierter Koordinate folgt die Bewegungsgleichung direkt aus der Euler-Lagrange-Gleichung:

$L=\backslash frac\{1\}\{2\}m\backslash dot\{x\}^2-\backslash frac\{c\}\{2\}x^2$
$\backslash Rightarrow\backslash \; \backslash \; \backslash \; -c\; x\; =\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\}\{\backslash mathrm\{d\}t\}\backslash left(m\backslash dot\{x\}\backslash right)$
$\backslash Rightarrow\backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash ddot\{x\}\; =\; -\backslash frac\{c\}\{m\}\; x$

Zwei Lösungen dieser Gleichung sind $x(t)=\backslash cos(\backslash omega\; t)$ und $x(t)=\backslash sin(\backslash omega\; t)$, wobei $\backslash omega\; =\backslash sqrt\{c/m\}$. Alle Lösungen dieser Gleichung sind von der Form $x(t)=A\backslash cdot\backslash cos(\backslash omega\; t)+B\backslash cdot\backslash sin(\backslash omega\; t)$ mit $A,B\backslash in\backslash mathbb\{R\}$.

Erweiterung auf nicht-konservative Systeme

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Für nicht-konservative Systeme (Systeme, bei denen nicht alle Kräfte Potentialkräfte sind) lassen sich die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen wie folgt formulieren:

$$

{d\over dt}{\partial{L}\over \partial{\dot{q}_i}}-{\partial{L}\over \partial q_i} = Q_i^*

bzw.

$$

{d\over dt}{\partial{T}\over \partial{\dot{q}_i}}-{\partial{T}\over \partial q_i} = Q_i

$T$: kinetische Energie

$Q\_i$: generalisierte Kräfte

$\{Q\_i\}*$: generalisierte Kräfte ausschließlich nicht-konservativer Natur

Die generalisierten Kräfte bestimmt man aus der virtuellen Arbeit der eingeprägten Kräfte

$\backslash delta\; W\; =\; \backslash sum\_\{i\}\; Q\_i\backslash ;\backslash delta\; q\_i$

durch Vergleich der Koeffizienten von $\backslash delta\; q\_i$.

Beispiel

aufzug_lg.png Die Achse einer Aufzugtrommel wird durch ein Moment M angetrieben. Die Masse der Last beträgt m, das Massenträgheitsmoment der Trommel ist J. Der Radius der Trommel ist r.

Zwischen den Koordinaten x und φ besteht folgende Beziehung:

$x\; =\; r\; \backslash varphi$

$\backslash Rightarrow\; \backslash ;\backslash dot\{x\}\; =\; r\; \backslash dot\{\backslash varphi\}$

$\backslash Rightarrow\; \backslash ;\backslash delta\; x\; =\; r\; \backslash delta\; \backslash varphi$

Die kinetische Energie ist:

$T\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left(\; m\; \backslash dot\{x\}^2\; +\; J\; \backslash dot\{\backslash varphi\}^2\; \backslash right)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left(\; m\; r^2\; +\; J\; \backslash right)\; \backslash dot\{\backslash varphi\}^2$

Die virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte ist

$\backslash delta\; W\; =\; -mg\backslash ,\backslash delta\; x\; +\; M\backslash ,\backslash delta\; \backslash varphi\; =\; (-mgr\; +\; M)\backslash ,\backslash delta\; \backslash varphi$

$\backslash Rightarrow\; \backslash ;Q\; =\; -mgr\; +\; M$

Daraus folgt schließlich die Bewegungsgleichung

$\backslash left(\; m\; r^2\; +\; J\; \backslash right)\; \backslash ddot\{\backslash varphi\}\; =\; -mgr\; +\; M$

Die Auflösung dieser Gleichung nach der Winkelbeschleunigung ergibt

$\backslash ddot\; \{\backslash varphi\}=\backslash frac\{-mgr\; +\; M\}\{\; m\; r^2\; +\; J\; \}$

Erweiterung auf Systeme mit Nebenbedingungen

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Zwischen den generalisierten Koordinaten mögen noch n Nebenbedingungen folgender Form existieren:

$$

\sum_i a_{ki}(q_1, q_2 ... q_n, \dot{q}_1, \dot{q}_2 ... \dot{q}_n, t)\;\delta q_i = 0

(Nur bei holonomen Systemen lassen sich mit Hilfe der Nebenbedingungen überzählige Koordinaten eliminieren.)

Für Systeme mit Nebenbedingungen lassen sich die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen wie folgt formulieren:

$$

{d\over dt}{\partial{T}\over \partial{\dot{q}_i}}-{\partial{T}\over \partial q_i} = Q_i + \lambda_{k} a_{ki}

$\backslash lambda\_k$: beim Integrationsprozess zu bestimmende Lagrangesche Multiplikatoren

Siehe auch: Hamilton-Formalismus

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