Als Ladungsdichte bezeichnet man die vorhandene Ladung pro Volumen. Sie wird in Coulomb C pro Kubikmeter m³ angegeben. Da es sowohl positive als auch negative Ladungen gibt, sind negative Werte für die Ladungsdichte möglich. Wie jede Dichte kann sie ortsabhängig sein. Nicht verwechselt werden sollte sie mit der Ladungsträgerdichte.

Definition

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Die Integration der Ladungsdichte $\backslash rho\_q(\backslash mathbf\; r)$ über ein Volumen $V$ liefert die Gesamtladung $Q$ dieses Volumens.

$Q=\backslash int\backslash limits\_V\; \backslash rho\_q(\backslash mathbf\; r)\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}V$

Über diese Beziehung wird die Ladungsdichte mathematisch definiert. Ist diese ortsunabhängig gleich einer Konstanten $\backslash rho\_\{q,0\}$, vereinfacht sich obige Formel zu der eingängigen Formel:

$Q=V\backslash cdot\; \backslash rho\_\{q,0\}$

Zwei Spezialfälle der Ladungsdichte erhält man, wenn man die Dichte nicht auf ein Volumen, sondern eine Fläche oder eine Linie bezieht. Um diese Dichten begrifflich voneinander abgrenzen zu können, spricht man von Raum-, Flächen- bzw. Linienladungsdichte. Die Definitionen von Flächenladungsdichte $\backslash sigma\_q$ und Linienladungsdichte $\backslash alpha\_q$ ergeben sich analog zu der oben definierten Raumladungsdichte, nur dass man jetzt über eine Fläche bzw. eine Linie zu integrieren hat.

$Q=\backslash int\backslash limits\_A\; \backslash sigma\_q(\backslash mathbf\; r)\; dA$

$Q=\backslash int\backslash limits\_L\; \backslash alpha\_q(\backslash mathbf\; r)\; dl$

Berechnung

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Besteht die Ladung in einem Volumen aus $N$ diskreten Ladungsträgern (wie z.B. Elektronen) so kann die Ladungsdichte mit Hilfe der Delta-Distribution ausgedrückt werden:

$\backslash rho\_q(\backslash mathbf\; r)=\backslash sum\_\{i=1\}^N\; q\_i\backslash cdot\; \backslash delta(\backslash mathbf\; r\; -\; \backslash mathbf\; r\_i)$

Dabei ist $q\_i$ die Ladung und $\backslash mathbf\; r\_i$ der Ort des $i$-ten Ladungsträgers. Tragen alle Ladungsträger die gleiche Ladung $q$ (bei Elektronen $q=-e$), so kann man obige Formel mit Hilfe der Ladungsträgerdichte $n(\backslash mathbf\; r)$ vereinfachen:

$\backslash rho\_q(\backslash mathbf\; r)=q\backslash cdot\backslash sum\_\{i=1\}^N\; \backslash delta(\backslash mathbf\; r\; -\; \backslash mathbf\; r\_i)=q\backslash cdot\; n(\backslash mathbf\; r)$

Anwendung

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Verwendung findet die Ladungsdichte vor allem in den Maxwellschen Gleichungen.

Physik

Charge density | چگالی بار الکتریکی