Lügner-Paradox

Ein Lügner-Paradox ist ein Paradoxon, das dadurch entsteht, dass ein Satz auf sich selbst Bezug nimmt und dabei seine eigene Wahrheit oder Falschheit aussagt.

Vom Lügner-Paradox gibt es eine ganze Reihe unterschiedlicher Varianten. Die vielleicht einfachste ist die folgende:

Dieser Satz ist falsch.

Das Paradox entsteht wie folgt: Nehmen wir an, der Satz sei falsch. Dies ist aber genau das, was der Satz sagt, der Satz ist damit wahr. Dies ist ein Widerspruch. Nehmen wir nun stattdessen an, der Satz sei wahr. Der Satz sagt aber, dass er falsch ist, daher muss er, wenn er wahr ist, falsch sein - ebenfalls ein Widerspruch. Gehen wir nun davon aus, dass der Satz entweder wahr oder falsch ist, dann erhalten wir in jedem Fall einen Widerspruch, d.h. der Satz ist paradox.

Das Paradox wird oft dem Kreter Epimenides zugeschrieben, der den folgenden Satz geäußert habe

Alle Kreter sind Lügner

("Es hat einer von ihnen gesagt, ihr eigener Prophet: Die Kreter sind immer Lügner, böse Tiere und faule Bäuche. ^*", Epimenides, De oraculis)

Dies ist aber deswegen kein wirkliches Paradox, weil daraus, dass nicht alle Kreter Lügner sind, nicht folgt, dass Epimenides die Wahrheit sagt. (Dies müsste der Fall sein, damit sich das Paradox konstruieren lässt.) Ein wirkliches Paradox ergäbe sich, wenn Epimenides sagen würde

Ich lüge jetzt.

oder

Dieser Satz ist eine Lüge

Spätestens im Mittelalter waren aber wirklich paradoxe Versionen der Lügner-Antinomie bekannt.

Scheinbare Lösungen

Es gibt eine Reihe von scheinbaren Möglichkeiten, das Paradox zu vermeiden, diese führen jedoch immer wieder dazu, dass sich das Paradox in leicht veränderter Form neu stellen lässt.

Die erste Möglichkeit, die einem in den Sinn kommen könnte, wäre, es zu bestreiten, dass Sätze immer entweder wahr oder falsch sind, und es stattdessen zuzulassen, dass Sätze einen dritten Wert, etwa "unbestimmt", haben können. Das Paradox in seiner oben genannten Form löst sich dadurch auf. Es lässt sich jedoch sofort neu in etwas veränderter Form stellen

Dieser Satz ist nicht wahr

Im Falle, dass der Satz wahr wäre, dürfte er nicht wahr sein. Da das nicht sein kann, ist er also nicht wahr. Dies ist wiederum genau das, was er behauptet, er ist also wahr und nicht wahr - erneut ein Widerspruch.

Eine etwas radikalere Möglichkeit, das Paradox aufzulösen, wäre die, zuzulassen, dass Sätze gleichzeitig wahr und nicht wahr (falsch) sind - akzeptiert man einfach diese Möglichkeit, dann ist dies auch nicht mehr paradox. Auch in diesem Falle kann das Paradox jedoch erneut gestellt werden (Currys Paradox):

Wenn dieser Satz wahr ist, ist der Himmel grün

(Statt "Der Himmel ist grün" kann eine beliebige offensichtlich falsche Aussage genommen werden.) Nehmen wir nämlich an, dass dieser Satz wahr ist, dann gilt: Wenn dieser Satz wahr ist, dann ist der Himmel grün. Unter der Annahme, dass der Satz wahr ist, können wir also folgern: "Der Himmel ist grün". Damit gilt: Wenn der Satz wahr ist, ist der Himmel grün. Unser Satz ist also tatsächlich wahr. Da der Satz aber sagt, dass wenn er wahr ist, der Himmel grün ist, müssen wir damit also akzeptieren, dass der Himmel grün ist, was offensichtlich falsch ist.

Tarskis Lösung

Der polnische Logiker Alfred Tarski hat im Rahmen seiner Wahrheitstheorie eine Lösung für das Lügner-Paradox vorgeschlagen, die allerdings nur für formale Sprachen wirklich durchführbar ist. Grundgedanke ist, dass es eine Hierarchie von Sprachebenen und gleichzeitig eine Hierarchie von Wahrheitsprädikaten " $wahr_0$ ", " $wahr_1$ ", " $wahr_2$ " usw. gibt. Ein Wahrheitsprädikat der Hierarchieebene n darf nur von einem Satz einer Hierarchieebene kleiner n ausgesagt werden. Auf diese Weise wird verhindert, dass ein Satz von sich selber seine eigene Wahrheit aussagt, solche Sätze gelten als nicht wohlgeformt. Tarskis Lösung erinnert an die Typentheorie, die als Lösung für ein dem Lügner-Paradox ähnlichen Paradox, der Russellschen Antinomie, vorgeschlagen worden war.

Das Lügner-Paradox in der Populärkultur

In der englischen Science-Fiction-Fernsehserie "Doctor Who" wird das Lügner-Paradoxon dazu verwendet, um einen Computer kampfunfähig zu machen. Der Doktor fragt den (bösartigen) Computer BOSS, ob der ihm glauben würde, wenn er behauptete, dass das, was er als nächstes sagen würde, die Wahrheit sei, was er aber eben gesagt habe, eine Lüge. Der Computer beginnt zu rechnen. Als die Rechnung seine Ressourcen mehr und mehr beansprucht, kann der Doktor fliehen.

Ein ähnliches Motiv taucht in der Folge "Der dressierte Herrscher" der US-amerikanischen Serie Raumschiff Enterprise auf. Spock verwendet hier das Lügner-Paradox um einen Androiden, der das Außenteam gefangen hält, zu verwirren und letztlich außer Gefecht zu setzen.

Siehe auch

Unsinn

Paradoxon | Wahrheit

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Tarskis Lösung

Das Lügner-Paradox in der Populärkultur

Siehe auch