Die Klasse der Lévy-Prozesse, benannt nach dem französischen Mathematiker Paul Lévy (1886-1971), fasst eine große Menge von stochastischen Prozessen zusammen, die durch die gemeinsame Eigenschaft der stationären, unabhängigen Zuwächse vereint werden. Lévy-Prozesse kommen überall dort zur Anwendung, wo die zeitliche Entwicklung einer Größe beschrieben werden soll, die zwar zufälligen, aber über die Zeit (in Verteilung) gleich bleibenden und voneinander unabhängigen Einflüssen ausgesetzt ist. Viele wichtige Prozesse wie der Wiener-Prozess oder der Poisson-Prozess sind Lévy-Prozesse.

Definition

Sei $(X\_t),\backslash ;\; t\; \backslash in\; T$ ein stochastischer Prozess über der Indexmenge T (meist $T=\; \backslash mathbb\{R\}\_\{+\}$ oder $T\; =\; \backslash mathbb\{N\}\_0$). Man sagt, X habe unabhängige Zuwächse, wenn für alle Zuwächse von X) unabhängig sind.

Ist die Verteilung der Zuwächse über gleich langen Zeitintervallen dieselbe, d. h. gilt

$X\_\{t\_1+h\}-X\_\{t\_1\}\; \backslash sim\; X\_\{t\_2\; +h\}-X\_\{t\_2\}\; \backslash ;\; \backslash forall\; t\_t,t\_2\; \backslash in\; T,\; \backslash ;\; h>0$, so nennt man X einen Prozess mit stationären Zuwächsen.

Als Lévy-Prozesse bezeichnet man genau jene Prozesse, die unabhängige und stationäre Zuwächse aufweisen.

Zeitdiskrete Lévy-Prozesse

Gilt speziell $T\; =\; \backslash mathbb\{N\}\_0$, so lässt sich die Klasse der Lévy-Prozesse sehr einfach charakterisieren: Es gibt nämlich für alle solchen Prozesse $(X\_n),\backslash ;\; n\; \backslash in\; T$ eine Darstellung

$X\_n=\; X\_0+\backslash sum\_\{i=1\}^n\; Y\_i$, wobei $Y\_1,\; Y\_2,\; \backslash ldots$ unabhängig und identisch wie $X\_1-X\_0$ verteilt sind. Andererseits ist für jede beliebige Startverteilung $X\_0$, jede Verteilungsfunktion F und jede unabhängige Folge von Zufallsvariablen $Y\_1,\; Y\_2,\; \backslash ldots\; \backslash sim\; F$ durch $X\_n=X\_0+\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; Y\_i$ ein Lévy-Prozess X definiert. Im zeitdiskreten Fall ist ein Lévy-Prozess also im Prinzip nichts anderes als ein Random Walk mit beliebiger, aber gleich bleibender Sprungverteilung. Das einfachste Beispiel für einen zeitdiskreten Lévy-Prozess ist demnach auch der einfache, symmetrische Random Walk, bei dem $2(X\_1-X\_0)-1$ symmetrisch Bernoulli-Verteilt ist. Hier bewegt sich der Prozess X, startend bei $X\_0=0\; \backslash ;(f.s.)$, in jedem Schritt mit Wahrscheinlichkeit ½ um Eins nach oben, andernfalls um Eins nach unten.

Zeitstetige Lévy-Prozesse

Im Fall $T=*$ ist die Charakterisierung nicht mehr so leicht: so gibt es zum Beispiel keinen zeitstetigen Lévy-Prozess, bei dem $X\_1$ wie oben Bernoulli-Verteilt ist.

Jedoch sind zeitstetige Lévy-Prozesse eng verwandt mit dem Begriff der unendlichen Teilbarkeit: Ist nämlich $(X\_t),\; \backslash ;\; t\backslash ge\; 0$ ein Lévy-Prozess, so ist $X\_1-X\_0$ unendlich teilbar. Andererseits legt eine Startverteilung $X\_0$ und eine unendlich teilbare Zufallsvariable Y die Verteilung eines Lévy-Prozesses X durch $X\_1=X\_0+Y$ eindeutig fest. Jedem Levy-Prozess entspricht eine unendlich teilbare Verteilungsfunktion und umgekehrt.

Wichtige Beispiele für zeitstetige Lévy-Prozesse sind der Wiener-Prozess (auch Brownsche Bewegung genannt), bei dem die unendlich teilbare Zufallsvariable normalverteilt ist, oder der Poisson-Prozess, bei dem Y Poisson-verteilt ist. Doch auch viele andere Zufallsvariablen, beispielsweise die Gammaverteilung oder die Cauchy-Verteilung, können zur Konstruktion von Lévy-Prozessen herangezogen werden. Der Wiener-Prozess ist der einzige stetige Lévy-Prozess, dh aus der Stetigkeit eines Lévy-Prozesses folgt schon die Normalverteilung der Inkremente. Es existiert jedoch kein Lévy-Prozess mit gleichverteilten Zuständen.

Wichtig ist auch der Begriff der endlichen und unendlichen Aktivität: Gibt es in einem Intervall unendlich viele (und damit unendlich kleine) Sprünge oder nicht? Auskunft darüber gibt auch das Levy-Maß.

wichtige Eigenschaften

• Mit Hilfe der charakteristischen Funktion des Prozesses

$\backslash psi\_X:\; T\; \backslash times\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash to\; \backslash mathbb\{C\};\; \backslash ;\; (t,u)\; \backslash to\; E(e^\{iuX\_t\})$
lässt sich ein einfaches Kriterium für Lévy-Prozesse aufstellen: so ist ein stochastischer Prozess genau dann ein Lévy-Prozess, wenn Funktionen k,l existieren, sodass

$\backslash psi\_X\backslash ;\; (t,u)\; =\; e^\{t\; k(u)+l(u)\}$
gilt.

• Die Erwartungswertfunktion eines Lévy-Prozesses $X\_t$ ist linear in t, d.h.

$E(X\_t)=E(X\_0)+tE(X\_1-X\_0)$. Analog gilt für die Varianz

$Var(X\_t)=Var(X\_0)+tVar(X\_1-X\_0)$ (vorausgesetzt die entsprechenden Momente existieren zum Zeitpunkt 1). Für die Kovarianzfunktion gilt

$Cov(X\_s,X\_t)=Var(X\_\{min(s,t)\})=Var(X\_0)+min(s,t)Var(X\_1-X\_0)$.

• Falls $E(X\_1-X\_0)=0$ gilt, so ist $(X\_t)$ ein Martingal.

Stochastische Prozesse

Lévy process | Vikipedio:Projekto matematiko/Procezo de Lévy