Im mathematischen Teilgebiet der Algebra bezeichnet die Länge ein Maß für die Größe eines Moduls.

Definition

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Es sei $M$ ein Modul über einem Ring $A$. Die Länge von $M$ ist das Supremum der Längen $n$ von Ketten von Untermoduln der Form

$0=N\_0\backslash subsetneq\; N\_1\backslash subsetneq\; N\_2\backslash subsetneq\backslash ldots\backslash subsetneq\; N\_n=M.$

Die Länge wird oft mit $\backslash ell\; \_A(M)$ oder $\backslash ell\; (M)$ bezeichnet.

Eigenschaften

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• Nur der Nullmodul hat Länge 0.
• Ein Modul ist genau dann einfach, wenn seine Länge 1 ist.
• Ein Modul hat genau dann endliche Länge, wenn er artinsch und noethersch ist.
• Die Länge ist additiv auf kurzen exakten Folgen: Ist

$0\backslash to\; M\text{'}\backslash to\; M\backslash to\; M\text{'}\text{'}\backslash to\; 0$

exakt, so ist $\backslash ell(M)=\backslash ell(M\text{'})+\backslash ell(M\text{'}\text{'})$; sind zwei dieser Zahlen endlich, so ist es auch die dritte.

• Eine Kompositionsreihe ist eine Kette von Untermoduln, die einfache Subquotienten besitzt. Die Länge jeder Kompositionsreihe ist gleich der Länge des Moduls.

Beispiele

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• Vektorräume haben genau dann endliche Länge, wenn sie endlichdimensional sind; in diesem Fall ist ihre Länge gleich ihrer Dimension.
• Der $\backslash mathbb\; Z$-Modul $\backslash mathbb\; Z$ hat unendliche Länge: Für jede natürliche Zahl $n$ ist

$0\backslash subset\; 2^n\backslash mathbb\; Z\backslash subset\; 2^\{n-1\}\backslash mathbb\; Z\backslash subset\backslash ldots\backslash subset\backslash mathbb\; Z$

eine Kette von Untermoduln der Länge $n+1$.

Algebra

length of a module