In der Mathematik bezeichnet eine Kurve ein eindimensionales Objekt.

Eindimensional bedeutet dabei in etwa, dass man sich auf der Kurve nur in einer Richtung bewegen kann: ob die Kurve in der zweidimensionalen Ebene liegt oder sich in den dreidimensionalen Raum erstreckt, ist in diesem Zusammenhang unerheblich.

Je nach Teilgebiet gibt es unterschiedliche Präzisierungen dieser Beschreibung.

Parameterdarstellungen

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Hauptartikel: Weg (Mathematik)

Eine Kurve kann definiert werden als das Bild eines Weges. Ein Weg ist eine stetige Abbildung von einem Intervall in den betrachteten Raum, also z.B. die euklidische Ebene $\backslash R^2$.

Cubic with double point.svg Beispiele:

• Die Abbildung

$*\backslash to\backslash R^2,\backslash quad\; t\backslash mapsto(\backslash cos\; t,\backslash sin\; t)$

beschreibt den Einheitskreis in der Ebene.

• Die Abbildung

$\backslash R\backslash to\backslash R^2,\backslash quad\; t\backslash mapsto\backslash big(t^2-1,t(t^2-1)\backslash big)$

beschreibt eine Kurve mit einem einfachen Doppelpunkt bei $(0,0)$, entsprechend den Parameterwerten $t=1$ und $t=-1$.

Gelegentlich, insbesondere bei historischen Bezeichnungen, wird zwischen Weg und Kurve nicht unterschieden. So ist die interessante Struktur bei der Hilbert-Kurve der Weg; das Bild dieses Weges ist das Einheitsquadrat, besitzt also keinerlei fraktale Struktur mehr.

Gleichungsdarstellungen

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Eine Kurve kann auch durch eine oder mehrere Gleichung in den Koordinaten beschrieben werden.

Beispiele:

• Die Gleichung

$x^2+y^2=1$

beschreibt den Einheitskreis in der Ebene.

• Die Gleichung

$y^2=x^2(x+1)$

beschreibt die oben in Parameterdarstellung angegebene Kurve mit Doppelpunkt.

Ist die Gleichung wie hier durch ein Polynom gegeben, nennt man die Kurve algebraisch.

Funktionsgraphen

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Hauptartikel: Funktionsgraph

Funktionsgraphen sind ein Spezialfall beider oben angegebenen Formen: Der Graph einer Funktion

$f\backslash colon\; D\backslash to\backslash R,\backslash quad\; x\backslash mapsto\; f(x)$

kann entweder als Parameterdarstellung

$D\backslash to\backslash R^2,\backslash quad\; t\backslash mapsto(t,f(t))$

oder als Gleichung

$\backslash \{(x,y)\backslash in\backslash R^2\backslash mid\; y=f(x)\backslash \}$

angegeben werden.

Kurven als eigenständige Objekte

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Kurven ohne umgebenden Raum sind in der Differentialgeometrie relativ uninteressant, weil jede eindimensionale Mannigfaltigkeit diffeomorph zur reellen Geraden $\backslash R$ oder zur Einheitskreislinie $S^1$ ist. Auch Eigenschaften wie die Krümmung einer Kurve sind intrinsisch nicht feststellbar.

In der algebraischen Geometrie und damit zusammenhängend in der komplexen Analysis sind Kurven jedoch eigenständige Studienobjekte, das prominenteste Beispiel sind die elliptischen Kurven. Siehe Kurve (algebraische Geometrie)

Mathematik